線性代數(shù)應(yīng)用實例

1、. 線性代數(shù)應(yīng)用實例l 求插值多項式右表給出函數(shù)上4個點的值，試求三次插值多項式，并求的近似值。ti0123f(ti)30-16解：令三次多項式函數(shù)過表中已知的4點，可以得到四元線性方程組：對于四元方程組，筆算就很費事了。應(yīng)該用計算機(jī)求解了，鍵入：A=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27, b=3;0;-1;6, s=rref(A,b)得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1得到，三次多項函數(shù)為，故近似等于。在一般情況下，當(dāng)給出函數(shù)在n+1個點上的值時，就可以用n次多項式對進(jìn)行插值。l 在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用-

2、數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)u2x1y1/4-1/4z-1x3x2z-13/8圖1 某數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)圖數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖實際上也是一種信號流圖。它的特點在于所有的相加節(jié)點都限定為雙輸入相加器；另外，數(shù)字濾波器器件有一個遲延一個節(jié)拍的運算，它也是一個線性算子，它的標(biāo)注符號為z -1。根據(jù)這樣的結(jié)構(gòu)圖，也可以用類似于例7.4的方法，求它的輸入輸出之間的傳遞函數(shù)，在數(shù)字信號處理中稱為系統(tǒng)函數(shù)。圖1表示了某個數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)在要求出它的系統(tǒng)函數(shù)，即輸出y與輸入u之比。先在它的三個中間節(jié)點上標(biāo)注信號的名稱x1,x2,x3，以便對每個節(jié)點列寫方程。由于遲延算子z -1不是數(shù)，要用符號代替，所以取q= z

3、-1，按照圖示情況，可以寫出：寫成矩陣形式為經(jīng)過移項后，系統(tǒng)函數(shù)W可以寫成： 現(xiàn)在可以列寫計算系統(tǒng)函數(shù)的MATLAB程序ea705，syms q% 規(guī)定符號變量Q(1,2)=q; Q(2,3)=3/8*q-1/4; Q(3,1)=1; % 給非零元素賦值Q(3,3)=0; % 給右下角元素Q（3,3）賦值后，矩陣中未賦值元素都自動置零P=2;1/4;0% 給P賦值W=inv(eye(3)-Q)*P% 用信號流圖求傳遞函數(shù)的公式程序運行的結(jié)果為W = -16/(-8+3*q2-2*q)-2*q/(-8+3*q2-2*q) -2*(3*q-2)/(-8+3*q2-2*q)-2/(-8+3*q2-2

4、*q)-16/(-8+3*q2-2*q)-2*q/(-8+3*q2-2*q)我們關(guān)心的是以y=x3作為輸出的系統(tǒng)函數(shù)，故再鍵入 pretty(W(3)整理后得到用線性代數(shù)方法的好處是適用于任何復(fù)雜系統(tǒng)，并能用計算機(jī)解決問題。l 信號與系統(tǒng)課程中的應(yīng)用-線性時不變系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 描述n階線性時不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 nm已知y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值為y(0)，y(1)(0)，y(n-1)(0)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：當(dāng)LTI系統(tǒng)的輸入為零時，其零輸入響應(yīng)為微分方程的齊次解（即令微分方程等號右端為0），其形式為（設(shè)特征根均為單根）其中p1，p2，pn是特征方程a1ln+a2ln-1+

5、 anl+ an+1 =0的根，它們可用roots(a)語句求得。各系數(shù)C1，Cn由y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值來確定。對此有C1+ C2+Cn = y0 y0 = y(0)p1C1+ p2C2+ pnCn=Dy0 (Dy0表示y的導(dǎo)數(shù)的初始值y(1)(0)寫成矩陣形式為 即 VC = Y0 ， 其解為 C =V Y0式中 V為范德蒙矩陣，在MATLAB的特殊矩陣庫中有vander函數(shù)可直接生成。MATLAB程序ea703.ma=input(輸入分母系數(shù)向量a=a1，a2，.= ); n=length(a)-1;Y0=input(輸入初始條件向量 Y0=y0，Dy0，D2y0，.= );p=root

6、s(a);V=rot90(vander(p);c= VY0;dt=input(dt=); tf=input(tf= ) 圖2 三階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)t=0:dt:tf; y=zeros(1，length(t);for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t，y)，gridn 程序運行結(jié)果用這個通用程序來解一個三階系統(tǒng)，運行此程序并輸入a=3，5，7，1; dt=0.2; tf=8;而Y0取1，0，0;0，1，0;0，0，1三種情況，用hold on語句使三次運行生成的圖形畫在一幅圖上，得到圖2。 l 減肥配方的實現(xiàn)設(shè)三種食物每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪

7、的含量如下表，表中還給出了80年代美國流行的劍橋大學(xué)醫(yī)學(xué)院的簡捷營養(yǎng)處方。現(xiàn)在的問題是：如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多少？才能全面準(zhǔn)確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求。營養(yǎng)每100g食物所含營養(yǎng)(g)減肥所要求的每日營養(yǎng)量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質(zhì)36511333碳水化合物52347445脂肪071.13設(shè)脫脂牛奶的用量為x1個單位（100g），大豆面粉的用量為x2個單位（100g），乳清的用量為x3個單位（100g），表中的三個營養(yǎng)成分列向量為： 則它們的組合所具有的營養(yǎng)為使這個合成的營養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程：用MATLAB解這個問題非常方便，列出程序

8、ag763如下：A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1b=33;45;3x=Ab程序執(zhí)行的結(jié)果為：即脫脂牛奶的用量為27.7g，大豆面粉的用量為39.2g，乳清的用量為23.3g，就能保證所需的綜合營養(yǎng)量。l 人口遷徙模型設(shè)在一個大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問十年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個分量表示，即其中xc為市區(qū)人口所占比例，x

9、s為郊區(qū)人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始狀態(tài)：。一年以后，市區(qū)人口為xc1= (1-0.02) xc0+0.06xs0，郊區(qū)人口xs1= 0.02xc0 + (1-0.06)xs0，用矩陣乘法來描述，可寫成：此關(guān)系可以從初始時間到k年,擴(kuò)展為,用下列MATLAB程序進(jìn)行計算：A=0.94,0.02;0.06,0.98x0=0.3;0.7x1=A*x0,x10=A10*x0x30=A30*x0x50=A50*x0程序運行的結(jié)果為：無限增加時間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù) 0.25/0.75。為了弄清為什么這個過程趨向于一個穩(wěn)態(tài)值，我們改變一下坐標(biāo)系統(tǒng)。在這個坐標(biāo)系統(tǒng)中可以更

10、清楚地看到乘以矩陣A的效果。選u1為穩(wěn)態(tài)向量0.25,0.75T的任意一個倍數(shù)，令u1=1,3T和u2=-1,1T?？梢钥吹?，用A乘以這兩個向量的結(jié)果不過是改變向量的長度，不影響其相角（方向）：初始向量x0可以寫成這兩個基向量u1和u2的線性組合；因此式中的第二項會隨著k的增大趨向于零。如果只取小數(shù)點后兩位，則只要k27，這第二項就可以忽略不計而得到適當(dāng)選擇基向量可以使矩陣乘法結(jié)果等價于一個簡單的實數(shù)乘子，避免相角項出現(xiàn)，使得問題簡單化。這也是方陣求特征值的基本思想。這個應(yīng)用問題實際上是所謂馬爾可夫過程的一個類型。所得到的向量序列x1,x2,.,xk稱為馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特點是k時刻的

11、系統(tǒng)狀態(tài)xk完全可由其前一個時刻的狀態(tài)xk-1所決定，與k-1時刻之前的系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)。l 交通流的分析某城市有兩組單行道，構(gòu)成了一個包含四個節(jié)點A,B,C,D的十字路口如圖6.5.2所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進(jìn)出此十字路口的流量（每小時的車流數(shù)）標(biāo)于圖上?，F(xiàn)要求計算每兩個節(jié)點之間路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每個節(jié)點上，進(jìn)入和離開的車數(shù)應(yīng)該相等，這就決定了四個流通的方程：節(jié)點A: x1+450x2+610節(jié)點B: x2+520x3+480節(jié)點C: x3+390x4+600節(jié)點D: x4+640x2+310將這組方程進(jìn)行整理，寫成矩陣形式：圖3 單行線交通流圖其系數(shù)增廣矩陣

12、為： 用消元法求其行階梯形式，或者直接調(diào)用U0=rref(A,b),可以得出其精簡行階梯形式為注意這個系數(shù)矩陣所代表的意義，它的左邊四列從左至右依次為變量x1,x2,x3,x4的系數(shù)，第五列則是在等式右邊的常數(shù)項。把第四列移到等式右邊，可以按行列寫恢復(fù)為方程，其結(jié)果為：x1=x4+330, x2=x4+170, x3=x4+210 00由于最后一行變?yōu)槿?，這個精簡行階梯形式只有三行有效，也就是說四個方程中有一個是相依的，實際上只有三個有效方程。方程數(shù)比未知數(shù)的數(shù)目少，即沒有給出足夠的信息來唯一地確定x1,x2,x3,和x4。其原因也不難從物理上想象，題目給出的只是進(jìn)入和離開這個十字路區(qū)的流量

13、，如果有些車沿著這四方的單行道繞圈，那是不會影響總的輸入輸出流量的，但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量，實際上它的取值也不能完全自由，因為規(guī)定了這些路段都是單行道，x1,x2,x3,和x4。都不能取負(fù)值。所以要準(zhǔn)確了解這里的交通流情況，還應(yīng)該在x1,x2,x3,和x4中，再檢測一個變量。l 價格平衡模型在Leontiff成為諾貝爾獎金獲得者的歷史中，線性代數(shù)曾起過重要的作用，我們來看看他的基本思路。假定一個國家或區(qū)域的經(jīng)濟(jì)可以分解為n個部門，這些部門都有生產(chǎn)產(chǎn)品或服務(wù)的獨立功能。設(shè)單列n元向量x是這些n個部門的產(chǎn)出，組成在Rn空間的產(chǎn)出向量。先假定該社會是自給自足的經(jīng)濟(jì)，這是

14、一個最簡單的情況。因此各經(jīng)濟(jì)部門生產(chǎn)出的產(chǎn)品，完全被自己部門和其它部門所消費。Leontiff提出的第一個問題是，各生產(chǎn)部門的實際產(chǎn)出的價格p應(yīng)該是多少，才能使各部門的收入和消耗相等，以維持持續(xù)的生產(chǎn)。Leontiff的輸入輸出模型中的一個基本假定是：對于每個部門，存在著一個在Rn空間單位消耗列向量vi，它表示第i個部門每產(chǎn)出一個單位（比如100萬美金）產(chǎn)品，由本部門和其他各個部門消耗的百分比。在自給自足的經(jīng)濟(jì)中，這些列向量中所有元素的總和應(yīng)該為1。把這n個vi，并列起來，它可以構(gòu)成一個nn的系數(shù)矩陣，可稱為內(nèi)部需求矩陣V。舉一個最簡單的例子，假如一個自給自足的經(jīng)濟(jì)體由三個部門組成，它們是煤炭

15、業(yè)、電力業(yè)和鋼鐵業(yè)。它們的單位消耗列向量和銷售收入列向量p如下表：由下列部門購買每單位輸出的消耗分配銷售價格p（收入）煤炭業(yè)電力業(yè)鋼鐵業(yè)煤炭業(yè)0.0.40.6pc電力業(yè)0.60.10.2pe鋼鐵業(yè)0.40.50.2ps如果電力業(yè)產(chǎn)出了100個單位的產(chǎn)品，有40個單位會被煤炭業(yè)消耗，10個單位被自己消耗，而被鋼鐵業(yè)消耗的是50個單位，各行業(yè)付出的費用為：這就是內(nèi)部消耗的計算方法，把幾個部門都算上，可以寫出其中于是總的價格平衡方程可以寫成為：p Vp = 0( I V ) p =0此等式右端常數(shù)項為零，是一個齊次方程。它有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，或者用行階梯簡化來求解。用MATLAB語句寫

16、出其解的表示式：V=0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2,U0 = rref(eye(3)-V,zeros(3,1)程序運行的結(jié)果為這個結(jié)果是合理的，簡化行階梯形式只有兩行，說明I-V的秩是2，所以它的行列式必定為零。由于現(xiàn)在有三個變量，只有兩個方程，必定有一個變量可以作為自由變量。記住U0矩陣中各列的意義，它們分別是原方程中pc，pe，ps，的系數(shù)，所以簡化行階梯矩陣U0表示的是下列方程：這里取ps為自由變量，所以煤炭業(yè)和電力業(yè)的價格應(yīng)該分別為鋼鐵業(yè)價格的0.94和0.85倍。如果鋼鐵業(yè)產(chǎn)品價格總計為100萬元，則煤炭業(yè)的產(chǎn)品價格總計為94萬，電力業(yè)的價格總計為85萬l 網(wǎng)絡(luò)的矩陣分割和連接在電路設(shè)計中，經(jīng)常要把復(fù)雜的電路分割為局部電路，每一個電路都用一個網(wǎng)絡(luò)黑盒子來表示。黑盒子的輸入為u1,i1，輸出為u2,i2，其輸入輸出關(guān)系用一個矩陣A來表示(如圖7.6.1所示)： A i1 i2A是22矩陣，稱為該局部電路的傳輸矩陣。 u1u2 把復(fù)雜