三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心和旁心(五心定理);

1、三角形五心定理 （三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。一、 三角形重心定理 三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名） 重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為21。 2、重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。 3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、在平面直角坐

2、標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3。二、三角形外心定理 三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。 外心的性質(zhì)： 1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。 2、若o是abc的外心，則boc=2a（a為銳角或直角）或boc=360-2a（a為鈍角）。 3、當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。 4、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時變量：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點(diǎn)連向另外兩個頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2

3、d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等三、三角形垂心定理 三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。 垂心的性質(zhì)： 1、三角形三個頂點(diǎn)，三個垂足，垂心這7個點(diǎn)可以得到6個四點(diǎn)圓。 2、三角形外心o、重心g和垂心h三點(diǎn)共線，且oggh=12。（此直線稱為三角形的歐拉線（euler line） 3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。 4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。 定理證明 已知：abc中，ad、be是兩條高，ad、b

4、e交于點(diǎn)o，連接co并延長交ab于點(diǎn)f ，求證：cfab 證明： 連接de adb=aeb=90度 a、b、d、e四點(diǎn)共圓 ade=abe eao=dac aeo=adc aeoadc ae/ao=ad/ac eadoac acf=ade=abe 又abe+bac=90度 acf+bac=90度 cfab 因此，垂心定理成立！四、三角形內(nèi)心定理 三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。 內(nèi)心的性質(zhì)： 1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。 2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 3、p為abc所在平面上任意一點(diǎn)，點(diǎn)i是abc內(nèi)心的充要條件是：向

5、量pi=(a向量pa+b向量pb+c向量pc)/(a+b+c). 4、o為三角形的內(nèi)心，a、b、c分別為三角形的三個頂點(diǎn)，延長ao交bc邊于n，則有ao:on=ab:bn=ac:cn=(ab+ac):bc五、三角形旁心定理 三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。 旁心的性質(zhì)： 1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。 2、每個三角形都有三個旁心。 3、旁心到三邊的距離相等。 如圖，點(diǎn)m就是abc的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。有關(guān)三角形五心的詩歌 三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁） 三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心， 五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混 重 心 三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了， 重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好 外 心 三角形有六元素，三個內(nèi)角有三邊 作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn) 此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓 內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交 高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整， 直角三角形有十二，構(gòu)成六對相似形