數(shù)列通項公式求法及答案

1、 數(shù)列通項公式、求和的常見題型 一、定義法 若，, 則= aaa2?aa中，：(1) 在數(shù)列例題13?nn1nn1? 等差數(shù)列定義：公差，n+5 naaad)3?(2?(?31)?nnn1? (2) 在數(shù)列中，若，, 則= aaa2?aa3?nn1nn1? an?13 等比數(shù)列定義：公差，aq?23?n1?n an 練習11 )a?3,?￥?2(n，則求這個數(shù)列的通項公式。若數(shù)列的遞推公式為 1aan1n?3a?）（ nn6?7 二、公式法?nSaaa可用公式的關系，求數(shù)列與已知數(shù)列的前的通項項和nnnnS?n?1?1a?. 求解?nS?S?n?2?1nn?naSSaa1,?23?的通項公式的

2、前項和求數(shù)列滿足. 例2已知數(shù)列nnnnnnn?1aaS2?3?） （注意 , n11?2nSn1?2?Saa的通項公式，求數(shù)列已知數(shù)列滿足. 的前項和nnnnnassa?4n-2得 應用 nnnn1?1a?b?ab?aa，的通項為， 已知等比數(shù)列設數(shù)列公比的首項1?q021nn?n?nn1?b的通項公式。求數(shù)列 n?a?a?ba是等比數(shù)列，公比為：由題意， ，又解析q3n?1nn?2?nba?a?3?21n?nn?2q?b， 是等比數(shù)列，故數(shù)列)?(q1aa?baa?q?q?q n13112ba?an?n?12n - 1 - / 10 n?1n )?q1)?q1(q?b?q(q?n練習 3?

3、NnaS)(?的通項公滿足（1） 數(shù)列項和求數(shù)列的前Saan),?1( nnnnn2na3? ） 式. （ n 三、歸納法：11111111）2 （ 例3、（） ,?,?,?,? 82461357（） 9，99，999，9999， （4） 8，88 , 888 , 8888, 118nnn1?aaaa 4） （ （1）（3）（ 21?10?)1)?(10?(1nnnn nn92?21四、分組求和法： 把整個式子拆分成等差數(shù)列和等比數(shù)列 例4、求和 n32naaaa)?(?3(1?)?()?2) （1） n?31?2?n)?3?5(6)?(?3?5255(2?3?)3)?(4? (2) 1111

4、1n?4?12?3 (3) n248162 解：n32naSaaa)?2?3?1()?(?(?1?n nnnaa)(1(?1?)? a2?1n?23?1?nS)5?5?)5?5?)(2(?2?46?2?)3?(n11n)(1?nn)2?2( 55?3? 12?1 513nn)1?(?1)? n45 10/ - 2 - 11111nS?3?4?(3)2?1? nn16824211n1?() 22n ?)?(1?2?3? 1?1 2nn1(1?)?1? n22 五、升次，錯位相減法： 含x的項是等比數(shù)列，系數(shù)是等差數(shù)列、求和例5n123?xnxSxx?(1?1?24?3?)nn423xxnxxSx

5、xx?4?3得?2 nnn13?2nxxxxxSx?)?1?得(1?nnnnn11?nxxnxx?1)?11?(?S?n xx?1?1 練習nn3?22?11357S?3? （求和 ） n nn1?234222222 六、累加法nfnafaaa)(，()?則是一個常數(shù)， 型，累加法形如相鄰兩項系數(shù)相等，nnnn11?nf)(的變量，根據(jù)遞推公式，）是一個關于n之（）直接用等差數(shù)列通項公式求出（例1aa 到的所有的遞推關系式，然后將它們分別相加即可得到通項公式。寫出n1?naa3?aaa2? 。中，求通項 例6. 若在數(shù)列nnnn1?1ananaanaa22?1(?)?2?，找出關鍵一步：由得解

6、析， nnnnnn11?1?aa1?2? ，12aa2?2 ，23aa3?2 ， 34? / - 3 - 10 aan )?2?(?1?nn1?將以上各式左右兩邊分別相加得： aan?1)?(?2?3?4?2?1a?3 ，又n11nn?1)()?11? 得所以-3= =n(n-1)+3 aa?2 nn2 練習?aaaacnaa2?成且，（c是常數(shù)，n、在數(shù)列11，中，2,3,），,a,?nn1n1?321?a 公比不為1的等比數(shù)列。（1）求c的通項公式。（） 求數(shù)列的值；nnna (2) c=2 （1）2?1)?(n?n1?anaa1?a3? ）， 中， ，2、若在數(shù)列（2?nn11?nn?3

7、1aaaaa?13?1,? 求(1) （ （2）證明 ） n22112?anaa3?aa的通項公式。，求數(shù)列中，3、若在數(shù)列 ?nn1nn1?nn?1)(a?3） （ n 2 七、累乘法nfa)a?f(n)(之是一個常數(shù)，則直接用等比數(shù)列通項公式求出例形如型的數(shù)列，1n1?nnfaa)(的所有的遞推關系式，是一個關于（），到n的變量，根據(jù)遞推公式，寫出n1 然后將它們左右兩邊分別或相乘，即可得到通項公式。?n*a3?aaa2?aN?n ，求通項中，。）例6、在數(shù)列（n1n?1nnaa1?nnn1?n2?2 ，對應找出解析：由已知 ， aa1nn?aaaan?1312n4232? ， 22?2?

8、 aaaa1n?321等號左右兩邊對應相乘得 aaaan321?1n423 2?22?2? aaaan1?312 - 4 - / 10 nn)(1?a n)(1?3?1?2na3?2 ，所以得 又=3 a2?2? 1na1 練習n2?nnaaaa，求通項公式。），（ 滿足1、已知數(shù)列a)1?(2?nnnn 11?n1nnaaaa，求通項公式。2、數(shù)列a滿足 )?1?(1?nnnn 11?n1? 八、裂項相消法1? ，anaa3?)(2?,a滿足、已知數(shù)列例8 nn11?nnn)?(1?aa 的通項求數(shù)列公式nn111111 注意應用式子：nnk)?( )?(? knnnnkkk?)?(nkn?

9、11aa ? 122111aa ? 233211aa ? 3443? 11aa ?nn 1?nn1? 將以上各式左右兩邊分別相加得：1aa?1?3?a ，又 n11n11a =所以?4?13? nnn 練習： 10/ - 5 - S?nN)均在函數(shù)y=x） (n設數(shù)列的圖象上， 的前項和，點（n, San? nnn1baT 項和，求數(shù)列的前（） 求通項n；（）設 nnnaa?nn?11naT （） 答案：（） 12?nn n?12 九、待定系數(shù)法：形如a=p a+q（p、q為非零常數(shù) 且p1），設a+k=p（a+k），通過待定系數(shù)法n1?n1nn?ak,? 公比為p的等比數(shù)列 求出常數(shù)，得到新

10、數(shù)列a+k，首項是n11anaaa=1滿足，例9的通項公式。 、（1+1（）數(shù)列2），求數(shù)列a nnn?1n1211aaaana ，12），而解：由=+1（2=12）得2=（2= 11nn?nn?1221 a 的等比數(shù)列為公比，首項是數(shù)列12是以 n2111n?n?1aa （ 2=（）=2 nn22aaa的通項公式。 ,求數(shù)列滿足=1，（2）數(shù)列07?a?3ann1n1n?17a?a? 解：由得0?a?73a? nn?1nn?1331k77a?k?(a?k)?k?k? ，比較系數(shù)得設解得 n1n?333471773a?a?1?為首項的等比數(shù)列為公比，以是以 n143444731731n?1n?

11、1)?(?)(?a?a? nn443443?a2a?a?3a1a?滿足（3）、已知數(shù)列，且，求 nn1n1n?1?a1(a?)?t?2t?1a?1?3?at?3(at)a3a是設解：， ，則nnnnn?1n?11n?n?1n?1n?1?)1a?(?31a?2?a?1?(a3?3)?2?1 為公比的等比數(shù)列以為首項以,3n1n11anaaa=1，a（4）、數(shù)列+1（2），求數(shù)列的通項公式。 滿足 nn1n?n1211anaaaa ，而2=12=1，）22=2+1（=解：由）得（ 1nn1n?n?1221 a 數(shù)列1是以為公比，2為首項的等比數(shù)列 n2 - 6 - / 10 11n?1n?1aa

12、=2（） 2=（ nn22 、練習1311aaa?） （ ，求1、設數(shù)列滿足 .aa,2a? nn nn11?n2222n?aNSanSa，且的前項和 （）數(shù)列?2?4?1),(nnn11?nn?的通項公式及前項和。. 求數(shù)列annnn1?nTan）（ 102?4)?25?)?(?(51?nn?b?)1,2,?ba?2a(n?是等比數(shù)列；（公比設數(shù)列q2） ，求證：數(shù)列nn?1nna?nc是等差數(shù)列；（公差d設數(shù)列2.5，求證：數(shù)列） )?,?,c?(n?1,2 nnn2 十、取倒數(shù)法、 通過取倒數(shù)，可得出有等差數(shù)列，或等比數(shù)列，an),(n?a?N.aa,2a? 求10、（）設數(shù)列滿足例 1

13、?nnn13?ana?3113n. 解：左右同時取倒數(shù)，得 1,? aaaannnn1?1?11111111?3(?)?1，公比為3 首項的等比數(shù)列。新數(shù)列 aaaa2222nnn11?112n?1?3 .?a n1n?a21?2?3n練習 22aaanaaa?.（，求通項、數(shù)列中，=1，= ） N1n n?1?nnn1 n?12a?n 1aa2a?aaa2n1?a,? ，求通項公式。滿足2、已知數(shù)列（）時，.? nn?1?nnn1n1n12? - 7 - / 10 a1a1n? ），求數(shù)列a3、已知數(shù)列a滿足：（的通項公式。.?1a?,ann n1nn?233?a?11n? 十一、觀察系數(shù)與

14、底數(shù)法：?naa 求滿足，例11、（1）已知數(shù)列 aa1?a3?3)(n?2，nnnn1?1aaaannnnnn?1?1aa?1?1? ，得兩邊同除解：將?3?33nn 1?nnnn11?3333aa1n1? 首項，公差為1的等差數(shù)列。 新數(shù)列 n1333a212nnnnna?1)?1?( 則 3?)?( nn3333?naa1?a 求2a（2） 已知數(shù)列，a?滿足3 ?)?2(n，1?nnnn1aaa2a2nnnn?11nn?1?a32?a?3 兩邊同除：解將，得?1? 1?nn nnnn?133333aa2nn?1?1? nn?1333aa2nn1?tt?(?)令t=-3 , , 得 nn

15、1?333aa2nn1?3?(?3) nn1?333aaa2288n1?nn1?3, 得新數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列?3?)?( nn333333382nn1?2?1nna?2?3?a (?3)?(?3? nn33十二、相鄰三項求法， aka?nnkaaakap1?p)?(?，代定系數(shù)，找出新數(shù)列滿足關系式： 即?nnnn 11?aka?nn1?kaakaa? 得到新數(shù)列，公比為p是首項的等比數(shù)列。nn1?1212?aa2a?1a?a?aa? 已知數(shù)列12例、，求,中，, nn21n?n21n331212aaaa?aa 對應寫成（） 由 ? nnn11?nn?n2?13333 - 8 - 1

16、0/ apkaapkkaaakap，去括號合并得 （） 設 )?(?()?nnnnnnn1?11?1211pkpkpk ，解得（）對應項系數(shù)相等得 （）、?,?1?, 33311117aaaaaaaa 1得，所以，公比p?)?1(? nnnnnn1?1?11233333151711717aaaaaaa?，所以 ?n nnnn1211?n22333333 練習?*a 1.已知數(shù)列滿足 ).a(n?N?a?1,a3,a?3a?2n1?12?2nnn?a?a是等比數(shù)列（答案公式為）證明：數(shù)列2）； （In1n?n?1aa）的通項公式；（II）求數(shù)列 3?2nn 十三、取對數(shù)法 ?2aa的通項公式.2設正項數(shù)列）求數(shù)列. 滿足，（n例13、 1?aaa?2nn1n?n1aaaaab?log?1)1?2log1?2log(loglog?1?， ，設解：兩邊取對數(shù)得：nn1nn?1?n2n2222?1b?1log2b?1b?b?. 是以 2則為公比的等比數(shù)列，n211nn?n?1aa1n?1n1?1nn?212?b?1?22?log?1log2?1 ， 2a?nnn22n練習、 2?Saaaa , 數(shù)列滿足，求、13?2? nnn11?n3n?1()3?a? 答案：5?nn2?n?2)(?4()? 3?1?NansSan 項和的前設數(shù)列2、 ，?)?1(? nnnn3aa, （） 求21?