2016年北京工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模初賽試題

1、2016年北京工業(yè)大學(xué)“太和顧問(wèn)杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽初賽參賽說(shuō)明1. 北京工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模初賽試題共有三道（A、B、C），請(qǐng)選擇你最熟悉的一道題目回答，不必做其他題目。2. 請(qǐng)按規(guī)定的時(shí)間內(nèi)上交試卷，過(guò)期無(wú)效。試卷要在用A4紙打印完成，手寫無(wú)效。3. 由于題目難度不可能完全相同，評(píng)審中將向難度較大的題目?jī)A斜，請(qǐng)參賽選手在選題時(shí)加以考慮。4. 盡管本次競(jìng)賽研究生和本科生均能參加，但在評(píng)分上兩者的要求是不同的，在閱卷時(shí)將對(duì)研究生有更高的要求。2016年北京工業(yè)大學(xué)“太和顧問(wèn)杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽初賽A題：二維STEWART平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)圖A1給出的是平面型Stewart平臺(tái)示意圖，它模擬一個(gè)操作裝置，其中包括一

2、個(gè)三角形（）平臺(tái)，平臺(tái)位于一個(gè)由3個(gè)支柱（和）控制的固定平面中。圖中的三角形（）表示平面型Stewart平臺(tái)，它的尺寸由3個(gè)長(zhǎng)度確定。平臺(tái)的位置由3個(gè)支柱的可變長(zhǎng)度的3個(gè)參數(shù)所控制。圖A1 平面型Stewart平臺(tái)示意圖需要解決的問(wèn)題是，在給定一組參數(shù)的值后，計(jì)算出A點(diǎn)的坐標(biāo)和角度的值。請(qǐng)你完成：1. 數(shù)學(xué)建模。參數(shù)，是固定常數(shù)，在給定一組參數(shù)的值后，判斷能否得到Stewart平臺(tái)的一個(gè)位置，即能否得到A點(diǎn)坐標(biāo)和角度的值。如果能，則稱它為Stewart平臺(tái)的一個(gè)位姿。但位姿并不一定是唯一的，如何讓你的模型能夠計(jì)算出一組固定參數(shù)下的全部位姿。2. 模型檢驗(yàn)。假設(shè)有如下參數(shù)：，請(qǐng)根據(jù)你的模型，計(jì)算

3、出Stewart平臺(tái)的全部位姿，即計(jì)算出每個(gè)Stewart平臺(tái)中的A點(diǎn)坐標(biāo)和角度的值。3. 將問(wèn)題2中的支柱長(zhǎng)度改為，其他條件不變，請(qǐng)計(jì)算出Stewart平臺(tái)的全部位姿。4. 在其他條件不變的前提下，確定問(wèn)題2中的長(zhǎng)度，使得Stewart平臺(tái)有且僅有兩種位姿。當(dāng)取何值時(shí)，沒(méi)有位姿？2016年北京工業(yè)大學(xué)“太和顧問(wèn)杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽初賽B題：制定學(xué)生的課表某學(xué)院教務(wù)科負(fù)責(zé)為該學(xué)院兩個(gè)班制定每周的課表。除去高等數(shù)學(xué)課和體育課之外，這兩個(gè)班級(jí)各門課的教師都相同。在此大學(xué)中，每節(jié)課的長(zhǎng)度都是95分鐘。此外，同一個(gè)班級(jí)的所有學(xué)生都將參與相同的課程。從周一到周五，每節(jié)課的時(shí)間安排為：8:009:35,9:5

4、511:30,13:3015:05,15:2517:00。表B1列出每位教師每周需要為這兩個(gè)班各上的課時(shí)數(shù)。表B1 每位教師為每個(gè)班級(jí)授課節(jié)數(shù)教師課程名稱1班2班A先生英語(yǔ)11B女士線性代數(shù)33C先生概率22D先生高等數(shù)學(xué)04E女士高等數(shù)學(xué)40F女士物理33G先生政治11H先生體育1（男生）1（男生）I女士體育1（女生）1（女生）體育課必須安排在下午的13:3015:05，且必須在同一時(shí)間。因?yàn)镠先生為這兩個(gè)班（合班）的男生上課，I女士為這兩個(gè)班（合班）的女生上課。D先生是系主任，周一要處理系里的一些事務(wù)，因此，周一最好不安排課程。B女士每周三需要接送小孩學(xué)鋼琴，她希望周三不要給她排課。最后，

5、為了避免學(xué)生疲勞，每天每門課只能占一節(jié)課。請(qǐng)幫助學(xué)院教務(wù)科制定出這兩個(gè)班級(jí)每周的課表。注：需要有數(shù)學(xué)模型和計(jì)算結(jié)果。2016年北京工業(yè)大學(xué)“太和顧問(wèn)杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽初賽C題：定容量加油 VS 定錢數(shù)加油對(duì)于私家汽車的車主來(lái)說(shuō)，有兩種加油方式，一種是一次將油箱加滿，或者加一個(gè)固定升數(shù)的油，我們稱為定容量加油。另一種是加一個(gè)固定錢數(shù)的油，如200元，我們稱為定錢數(shù)加油。在油價(jià)變化的今天，是采用定容量加油，還是采用定錢數(shù)加油？這兩種加油方式，哪一種對(duì)車主更有利？1. 建立數(shù)學(xué)模型，分析兩種加油方式各自的優(yōu)缺點(diǎn)，給出你的結(jié)論。2. 假設(shè)有位車主，每天上下班（周一至周五）需要行駛30 km，周末用車有一

6、定的隨機(jī)性。汽車的耗油量是每百公里8升，油箱加滿是50升。請(qǐng)根據(jù)前一段國(guó)內(nèi)成品油的價(jià)格，檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論。如果是定容量加油，每次加多少升？如果是定錢數(shù)加油，每次加多少錢？3. 假定每次加油需要多花15分鐘的時(shí)間以及5km的路程，你的結(jié)論又是什么？4. 假定表C1是2016年3月31日以后油價(jià)可能出現(xiàn)三種情形（具體出現(xiàn)哪種情形事先并不知道），你的結(jié)論是否要作調(diào)整？如果作調(diào)整，調(diào)整后的結(jié)論又是什么？5. 請(qǐng)為私家車主的加油行為給出你的結(jié)論（最好不超過(guò)20個(gè)字）。表C1 2016年油價(jià)（單位：元）可能出現(xiàn)的三種情形日 期情形1情形2情形32016/3/316.476.476.472016/4/107.107.266.582016/4/207.357.046.912016/4/306.566.136.002016/5/106.486.486.192016/5/206.306.526.442016/5/305.846.717.352016/6/96.566.596.422016/6/196.126.577.072016/6/295.366.418.062016/7/96.016.656.272016/7/195.127.467.452016/7/295.866.458.152016/8/84.816.508.042016/8/184.926.4