近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識

1、近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識初等代數(shù)、高等代數(shù)和線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù)（Classical algebra），它的研究對象主要是代數(shù)方程和線性方程組）。近世代數(shù)（modern algebra）又稱為抽象代數(shù)（abstract algebra），它的研究對象是代數(shù)系，所謂代數(shù)系，是由一個集合和定義在這個集合中的一種或若干種運算所構(gòu)成的一個系統(tǒng)。近世代數(shù)主要包括：群論、環(huán)論和域論等幾個方面的理論，其中群論是基礎(chǔ)。下面，我們首先簡要回顧一下集合、映射和整數(shù)等方面的基礎(chǔ)知識，然后介紹本文需要用到的近世代數(shù)的相關(guān)知識。31 集合、映射、二元運算和整數(shù)311 集合集合是指一些對象的總體，這些對象稱為集合的元或元素。

2、“元素是集合A的元”記作“”，反之，“”表示“不是集合的元”。設(shè)有兩個集合A和B，若對A中的任意一個元素（記作）均有，則稱A是B的子集，記作。若且，即A和B有完全相同的元素，則稱它們相等，記作。若，但，則稱A 是B的真子集，或稱B真包含A，記作。不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一個集合的子集。集合的表示方法通常有兩種：一種是直接列出所有的元素，另一種是規(guī)定元素所具有的性質(zhì)。例如：；，其中表示元素具有的性質(zhì)。本文中常用的集合及記號有：整數(shù)集合；非零整數(shù)集合；正整數(shù)（自然數(shù)）集合；有理數(shù)集合Q，實數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C等。一個集合A的元素個數(shù)用表示。當(dāng)A中有有限個元素時，稱為有限集，否則稱為無限

3、集。用表示A是無限集，表示A是有限集。312 映射映射是函數(shù)概念的推廣，它描述了兩個集合的元素之間的關(guān)系。定義1 設(shè)A，B為兩個非空集合，若存在一個A到B的對應(yīng)關(guān)系f，使得對A中的每一個元素x，都有B中唯一確定的一個元素y與之對應(yīng)，則稱f是A到B的一個映射，記作y=f(x)。y稱為x的像，x稱為y的原像，A稱為f的定義域，B稱為f 的定值域。定義2 設(shè)f是A到B的一個映射(1) 若和均有，則稱f是一個單射。(2) 若均有使，則稱f是滿射。(3) 若f既是單射又是滿射，則稱f是雙射。313 二元運算3131 集合的笛卡兒積由兩個集合可以用如下方法構(gòu)造一個新的集合。定義3 設(shè)A，B是兩個非空集合，

4、由A的一個元素和B的一個元素可構(gòu)成一個有序的元素對（a,b），所有這樣的元素對構(gòu)成的集合，稱為A與B的笛卡兒積，記作，即。用笛卡兒積還可定義一個集合中的運算。定義4 設(shè)S是一個非空集合，若有一個對應(yīng)規(guī)則f，對S中每一對元素和都規(guī)定了一個唯一的元素與之對應(yīng)，即f是的一個映射，則此對應(yīng)規(guī)則就稱為S中的一個二元運算，并表示為，其中“”表示運算符，若運算“”是通常的加法或乘法，就分別記作或。由定義可見，一個二元運算必須滿足：(1) 封閉性：；(2) 唯一性：是唯一確定的。定義5 設(shè)S是一個非空集合，若在S中定義了一種運算（或若干種運算+，等），則稱S是一個代數(shù)系統(tǒng)，記作（S，）或（S，+，）等。313

5、2 二元關(guān)系我們經(jīng)常需要研究兩個集合元素之間的關(guān)系或者一個集合內(nèi)元素間的關(guān)系。定義6 設(shè)A，B是兩個集合，若規(guī)定一種規(guī)則R：使對和對均可確定和是否適合這個規(guī)則，若適合這個規(guī)則，就說和有二元關(guān)系R，記作，否則就說和沒有二元關(guān)系R，記作。3123 等價關(guān)系和等價類等價關(guān)系是集合中一類重要的二元關(guān)系。定義7 設(shè)是集合A上的一個二元關(guān)系，滿足以下條件：(1) 對，有； （反身性）(2) 對，有 ； （對稱性）(3) 對，有和 。 （傳遞性）則稱為A中的一個等價關(guān)系。子集即所有與等價的元素的集合，稱為所在的一個等價類，稱為這個等價類的代表元。例如：設(shè)n是一取定的正整數(shù)，在整數(shù)集合Z中定義一個二元關(guān)系如下

6、：，這個二元關(guān)系稱為模的同余（關(guān)系），與模同余指和分別用來除所得的余數(shù)相同。同余關(guān)系是一個等價關(guān)系，每一個等價類記作稱為一個同余類或剩余類。314 整數(shù)在近世代數(shù)中整數(shù)是最基本的代數(shù)系。這里僅重述有關(guān)整數(shù)的基本性質(zhì)和常用概念。3141 整數(shù)的運算整數(shù)的運算包括加、減、乘、除、開方、乘方、取對數(shù)等，這些運算及其性質(zhì)這里不再贅述。在整數(shù)運算中有以下兩個基本的定理：帶余除法定理 設(shè)，則存在唯一的整數(shù)，滿足：。當(dāng)時，稱能被整除，或整除，記作；當(dāng)時，稱不能被整除。只能被1和它本身整除的正整數(shù)稱為素數(shù)；除1和本身外，還能被其它整數(shù)整除的正整數(shù)稱為合數(shù)。算術(shù)基本定理 每一個不等于1的正整數(shù)可以分解為素數(shù)的冪

7、之積：，其中為互不相同的素數(shù)，。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式稱為整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。3142 最大公因子和最小公倍數(shù)設(shè)，不全為0，它們的正最大公因子記作，正最小公倍數(shù)記作。設(shè)，由算術(shù)基本定理可將它們表示為：，其中為互不相同的素數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，某些可以等于0。令：，則，且有。最大公因子還有以下重要性質(zhì)：最大公因子定理 設(shè)，不全為0，則存在使。3143 互素若，滿足，則稱與互素。關(guān)于整數(shù)間的互素關(guān)系有以下性質(zhì)：(1)，使。(2)且。(3)設(shè)，為素數(shù)，則有：或。(4)，。(5)，且。(6) 歐拉函數(shù)：設(shè)n為正整數(shù)，為小于n并與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，小于n并與n互素的正整數(shù)的集合記為：。若n的

8、標(biāo)準(zhǔn)分解式為：，則。32 群近世代數(shù)的研究對象是代數(shù)系，最簡單的代數(shù)系是在一個集合中只定義一種運算，群是由一個集合和一個二元運算構(gòu)成的代數(shù)系，它在近世代數(shù)中是最基本的一個代數(shù)系。321 群的基本概念 定義1 設(shè)G是一個非空集合，若在G上定義一個二元運算滿足：(1)結(jié)合律：對，有。則稱G是一個半群，記作。若還滿足：(2)存在單位元使對，有；(3)對有逆元，使，則稱是一個群。當(dāng)二元運算“”為通常的加法時，稱為加法群或加群；當(dāng)二元運算“”為通常的乘法時，稱為乘法群或乘群。定義中條件(2)可改為：有一個左單位元（或右單位元），使（或），對成立。因為由此可推出。定義中條件(3)可改為：對，有一個左逆元（

9、或右逆元），使（或）成立。因為由此可推出。定理1 半群是群的充要條件是：對，方程和在G中均有解。定理2 半群是群的充要條件是左、右消去律都成立：，。如果半群中含有單位元，則稱為含幺半群。如果群適合交換律：對，有，則稱G為可換群或阿貝爾(Abel)群。通常把群的定義概括為四點：封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。如果一個群G是個有限集，則稱G是有限群，否則稱為無限群。G的元素個數(shù)稱為群的階。元素的倍數(shù)和冪定義為：，n為正整數(shù)，并規(guī)定。且有：，當(dāng)時有。滿足的元素稱為冪等元，滿足的元素稱為冪零元。例1：是整數(shù)模n的同余類集合，在中定義加法（稱為模n的加法）為。由于同余類的代表元有不同的選擇，我們必須驗證以

10、上定義的運算結(jié)果與代表元的選擇無關(guān)。設(shè)，則有，所以模的加法是中的一個二元運算。顯然，單位元是，的逆元是。所以是群。例2：設(shè)，在中定義乘法（稱為模n的乘法）為。對這個運算不僅需要檢驗它的唯一性，而且要檢驗它的封閉性，因為由，得出并不明顯。先證封閉性：因為由和，所以。再證唯一性：設(shè)，則有， 所以模n的乘法是中的一個二元運算。結(jié)合律顯然滿足。單位元是。對，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。綜上，對模n的乘法構(gòu)成群。的階數(shù)為歐拉函數(shù)：小于n并與n互素的正整數(shù)的個數(shù)。322 群的基本性質(zhì)(1)群中單位元是唯一的證明：設(shè)G中有兩個單位元和，則有：，所以單位元是唯一的。在不致混淆的情況下，單

11、位元簡記為1。(2)群中每個元素的逆元是唯一的證明：設(shè)，有兩個逆元和，則有：，所以的逆元是唯一的。的逆元有以下性質(zhì)：(1)；(2)若可逆，則也可逆，且有；(3) 若可逆，則也可逆，且有。323 子群定義2 設(shè)S是群G的一個非空子集，若S對G的運算也構(gòu)成群，則稱S是G的一個子群，并記作：。當(dāng)且時，稱S是G的真子群，記作。定理3 設(shè)S是群G的一個非空子集，則以下三個命題互相等價：()S是G的子群；()對，有和；()對，有。324 元素的階定義3 設(shè)G是有限群，可以證明一定存在最小的正整數(shù)使： (1)成立，稱為的階或周期，記作o()。若沒有這樣的正整數(shù)存在，則稱的階是無限的。由定義3可知，單位元的階

12、是1。在加群中，式(1)變?yōu)椋?(2)定理4 設(shè)G是群，則：。關(guān)于元素的階還有以下重要結(jié)果：(1) 有限群中每一個元素的階是有限的；(2) 設(shè)G是群，若和，則；(3) 設(shè)G是群，若除單位元外其它元素都是2階元，則G是Abel群。325 循環(huán)群和生成群設(shè)G是群，令：，因為，有，所以H是G的子群，此子群稱為由生成的循環(huán)子群，記作，稱為它的生成元。若G=，則稱G是循環(huán)群。循環(huán)子群是由一個元素生成的，由幾個元素或一個子集也可生成一個子群。定義4 設(shè)S是群G的一個非空子集，包含S的最小子群稱為由S生成的子群，記作，S稱為它的生成元集。如果，且任何S的真子集的生成子群均不是G，則稱S是G的極小生成元集。任

13、何一個生成子群都有一個極小生成元集。當(dāng)時，元素個數(shù)最少的生成元集稱為最小生成元集。定義5 設(shè)（G，）是一個群，則稱為H的一個左陪集，稱為H的一個右陪集。定義6 設(shè)G是群，H在G中的左（右）陪集個數(shù)稱為H在G中的指數(shù)，記作。當(dāng)G是有限群時，則子群的階數(shù)與指數(shù)也都是有限的，它們有以下關(guān)系：定理5（拉格朗日(Lagrange)） 設(shè)G是有限群，則：這就是說，有限群G的子群的階是群G的階的一個因子。由拉格朗日定理立即可得如下推論：(1) 設(shè)G是有限群，則；(2) 當(dāng)時，對任何，有；(3) 若(素數(shù))，則(階循環(huán)群)，即素數(shù)階群必為循環(huán)群。33 環(huán)環(huán)是有兩個二元運算并建立在群的基礎(chǔ)上的一個代數(shù)系統(tǒng)。定義

14、1 設(shè)A是一個非空集合，在A中定義兩中二元運算，一種叫加法，記作+，另一種叫乘法，記作。且滿足：(1)（A，+）是一個可換群；(2)（A，）是一個半群；(3)左、右分配律成立，對，有：，則稱代數(shù)系（A，+，）是一個環(huán)。例：設(shè)是整數(shù)模n的同余類集合，在中定義加法和乘法分別為模n的加法和乘法：，。在前面我們已經(jīng)知道是群，是半群。下面我們證明分配律成立：。類似有，所以是環(huán)，稱為整數(shù)模n的同余類（或剩余類）環(huán)。如果環(huán)（A，+，）對乘法也是可交換的，則稱A是可換環(huán)。設(shè)（A，+，）是一個環(huán)，加群（A，+）中的單位元通常記作0，稱為零元。元素在加群中的逆元記作，稱為負(fù)元。環(huán)中的單位元指乘法半群（A，）中的單

15、位元，記作1。一個元素的逆元指的是它在乘法半群中的逆元，記作。定義2 設(shè)A是一個環(huán)，若，且和，則稱為左零因子，為右零因子。若一個元素既是左零因子又是右零因子，則稱它為零因子。定義3 設(shè)（A，+，）是環(huán)若，可交換，且無零因子，則稱A是整環(huán)。若A滿足：(1)A中至少有兩個元0和1（即環(huán)中有單位元）；(2)構(gòu)成乘法群。則稱A是一個除環(huán)。若A是一個可換的除環(huán)，則稱A是域。在前述例子中，當(dāng)n不是素數(shù)時，Zn中有零因子，因而不是整環(huán)，但當(dāng)n是素數(shù)時，Zn是域。定理1 是域的充要條件是n是素數(shù)。環(huán)中無左（右）零因子的充分必要條件是乘法消去律成立。因此，在整環(huán)中，乘法消去律成立。定理2 一個非零的有限的無左（

16、右）零因子環(huán)是除環(huán)。推論 有限整環(huán)是域。定義4 設(shè)和是兩個環(huán)，若有一個 到的映射f滿足：對任何有：，則稱f是一個到的同態(tài)。如果f是單射，則稱f是一個單同態(tài)。如果f是滿射，則稱f是一個滿同態(tài)。如果f是雙射，則稱f是到一個同構(gòu)映射，和稱為同構(gòu)。34 域341 素域和域的特征域是環(huán)的一種，如果一個環(huán)至少含有0和1兩個元素，每一個非零元均有逆元，即非零元構(gòu)成乘法群，則此環(huán)稱為除環(huán)，可交換的除環(huán)為域。在一個除環(huán)中，由于非零元素構(gòu)成群，消去律成立，因而除環(huán)中無零因子。同樣，域中也無零因子，因而域必須是整環(huán)。如果一個域F是個有限集，則稱F是有限域，否則稱為無限域。F的元素個數(shù)稱為域的階。定理1 設(shè)F是域，則

17、元素1在(F，+)中的階數(shù)或為某個素數(shù)p，或為無窮大。定義1 設(shè)F是域，若元素1在(F，+)中的階數(shù)為素數(shù)p，則稱p為域F的特征。若元素1在(F，+)中的階數(shù)為無窮大，則稱F的特征為0，F(xiàn)的特征記作chF。關(guān)于域有以下的結(jié)論：(1)若chF=0，則F是無限域。若F是有限域，則chF是某個素數(shù)。(2)若F是特征為p的域，則：()對任何，有；()對任何(=F0)，且，則；()對任何，有，m為任意正整數(shù)。(3)，為素數(shù)，且不能被整除，則有：。(4)域F的乘群的任何有限子群都是循環(huán)群。342 子域與擴域定義2 設(shè)(K，+，)是域，F(xiàn)是K的非空子集，且(K，+，)也是域，則稱F是K的子域，K是F的擴域，

18、記作FK。設(shè)S是域F中的一個非空子集，則包含S的最小子域，稱為由S生成的子域，記作。由元素1生成的子域稱為素域。343 擴張次數(shù)、代數(shù)元和超越元設(shè)是域，是的擴域，由于對任何和對任何，有，我們可以把中元素看作向量，則是向量與在上的線性組合，從而是上的一個向量空間或線性空間，此空間的維數(shù)就稱為對的擴張次數(shù)，記作()。當(dāng)()有限時，稱K是F上的有限擴張，否則稱為無限擴張。擴張次數(shù)反映了擴域與子域之間的相對大小，但還沒有反映它們的元素在性質(zhì)上的差別。我們對域中的元素作以下的分類：設(shè)K是F的擴域，uK，若u是F上的一個多項式f(x)的根，則稱u是F上的代數(shù)元，否則稱為超越元，多項式f(x)稱為u的化零多

19、項式， F上次數(shù)最低的首1多項式的根，稱為u在F上的最小多項式。設(shè)u在F上的最小多項式為m(x)，且degm(x)=r，則稱u是F上的r次代數(shù)元。有理數(shù)域Q上的代數(shù)元稱為代數(shù)數(shù)，Q上的超越元稱為超越數(shù)。設(shè)K是F的擴域，若K中的每一元素都是F上的代數(shù)元，則稱K是F上的代數(shù)擴張域，否則，稱K為F上的超越擴張域。344 有限域具有有限個元素的域，稱為有限域。一個有限域的特征必然是某個素數(shù)p，即chF=p，F(xiàn)的素域為Zp，設(shè)F對Zp的擴張次數(shù)為n，即(F:Zp)=n，因為F是Zp上的n維線性空間，存在一組基使，所以F中元素個數(shù)（即F中元素在基下坐標(biāo)組的個數(shù)）為：。這就是說，有限域的階為特征之冪。有限域

20、又稱為伽羅瓦（Galois）域，將階有限域記作。345 有限域元素的性質(zhì)的非零元的集合是一個乘群，具有以下性質(zhì)：定理2 是一個階循環(huán)群。的生成元又叫本原元。定義3(1)乘群中階的元素稱為域的n次本原元。的n次本原元在上的最小多項式稱為上的n次本原多項式。(2)若是方程的根，但不是任何的根，則稱是r次本原單位根或單位原根。由以上定義可以看出，上的n次本原元就是乘群的生成元，也是次本原單位根（即），可以通過本原元把表示的更簡單一些。設(shè)是的一個n次本原元，則又可表示為：。定理3 任何兩個元素個數(shù)相同的有限域是同構(gòu)的。兩個同構(gòu)的域，如果不管它們的實際背景而只考慮它們的代數(shù)性質(zhì)，可以將它們等同起來看作一

21、個域。伽羅瓦（Galois）域，有兩種類型：第一種：包含q=p個元素，p為一個素數(shù)，這種域同構(gòu)于整數(shù)模p的同余類域Zp。例如：若在集合（為素數(shù)）中定義模p加法和模p乘法,則Zn是域。第二種：包含個元素，p為素數(shù)，n為大于或等于2的整數(shù)，稱為的擴域?？煽闯梢粋€多項式環(huán)，多項式的最高次數(shù)為(n-1)，多項式的系數(shù)為Zp的元素，環(huán)中的運算為模f(x)的多項式加法和乘法，其中，f(x)為Zp上的任一個n次不可約多項式（即f(x)的所有根都不在Zp上），則這個多項式環(huán)就是有限域。例 設(shè)Fx是數(shù)域F上的多項式環(huán)例 構(gòu)造一個8階的域。解 因為，則p=2，取，由于，故在上不可約，所以上的擴域：就是一個8階的有

22、限域。有限域還具有以下的性質(zhì)：(1)若F是有限域，則F的特征(characteristic)chF是某個素數(shù)。(2)若F是特征為p的域，則：()對任何，有；()對任何，且，則；()對任何，有，n為任意正整數(shù)。(3)，為素數(shù)，且pn，則有：。(4)域F的乘群的任何有限子群都是循環(huán)群。以下給出有限域性質(zhì)(5)(14)的證明，性質(zhì)(1)(4)的證明參看文獻121315。(5)中含有個本原元，表示歐拉函數(shù)，且一定為偶數(shù)。證明 設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為29：，式中：為互不相同的素數(shù)，。則： (A-1)注意到一定為正偶數(shù)，設(shè)。因為，所以：若，則，所以一定為2的倍數(shù)，即一定為偶數(shù)；若，則，所以中至少有一個不為2的素

23、數(shù)，即中至少有一個為奇數(shù)，所以一定為2的倍數(shù)，即一定為偶數(shù)。綜上，一定為偶數(shù)。(1)中含有個本原元，表示歐拉函數(shù)。例 對，因為，故，所以具有40個本原元。(6)中含有的本原元最多為個，當(dāng)且僅當(dāng)時，本原元的個數(shù)達到最大值。證明 因為q為大于或等于2的素數(shù)。當(dāng)q=2時，中含有一個本原元1。設(shè)q為大于2的奇數(shù)，則(q-1)為偶數(shù)。所以與(q-1)互素的正整數(shù)必須為奇數(shù)，而小于(q-1)的奇數(shù)個數(shù)為，這樣小于(q-1)并與(q-1)互素的個數(shù)一定小于或等于，即。所以，中含有的本原元個數(shù)最多為個。當(dāng)時，即中含有的本原元達到最大值。若中含有的本原元達到最大值，即，由此可推出：，且，即。 (7)設(shè)為的本原元

24、，則：。證明 因為為的本原元，所以的階為(q-1)，即(q-1)是使的最小正整數(shù)。由，可得。若，與(q-1)是使的最小正整數(shù)矛盾，所以。(8) 設(shè)為的本原元，則：也是的本原元，且。證明 因為為的本原元，所以的各次冪（）生成的所有非零元素，這些非零元素構(gòu)成循環(huán)群，所以的逆元存在且唯一。又因為的逆元為，所以每個存在且唯一。即的各次冪生成的所有非零元素，所以也是的本原元。因為 (A-2)所以 (A-3)(9)設(shè)為中的非零元素，則：。證明 設(shè)，為本原元，為任意非零元素，且： (A-4)得到： (A-5)(10)設(shè)和為的本原元，則：，且m為奇數(shù)。特別地，若為的本原元， 為小于(q-1)并與(q-1)互素

25、的正整數(shù)的集合，則：的所有本原元可表示為：，即。證明 假設(shè)為的本原元，則：，當(dāng) q2時，這與性質(zhì)(7)是矛盾的（在中，但這種情況只出現(xiàn)在中）。因此，當(dāng) q2時，中的一個本原元不能是另一個本原元的偶次冪。即中的一個本原元只能是另一個本原元的奇次冪。即：，且m為奇數(shù)。設(shè)，且，則存在，使得，則：，因為，所以不是本原元。另外，設(shè)，且，n是使的最小正整數(shù)，則n等于(q-1)，即的階為(q-1)，所以是本原元。所以的所有本原元可表示為：，即中含有個本原元。(11)有限域中，具有個本原元，其中，為歐拉函數(shù)，為正整數(shù)。所有個本原元可分為兩組，設(shè)為和，每組個元素，這兩組的元素之間可用某個冪指數(shù)n(1nq-1)，且(n,q-1)=1)