自動控制原理 王劃一 第二版 5-1頻率特性.ppt

1、1,第五章 頻率響應(yīng)法,5.1 頻率特性 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 5.3 控制系統(tǒng)的頻率特性 5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 5.5 穩(wěn)定裕量 5.6 閉環(huán)頻率特性 5.7 頻率特性分析,第五章 頻率響應(yīng)法,第五章 頻率響應(yīng)法,2,1 頻率法的思路是： 建立頻率特性 作為一種數(shù)模 相應(yīng)的系統(tǒng)分析方法 頻率指標(biāo) 利用與時(shí)域指標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系 轉(zhuǎn)換成時(shí)域指標(biāo),2 頻率法的特點(diǎn)： (1) 應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性，而不必解特征方程的根； (2) 系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測出； (3) 用頻率法設(shè)計(jì)系統(tǒng)，可使噪聲忽略或達(dá)到規(guī)定的程度； (4) 頻率法可用某些非線性系統(tǒng)。,3,

2、5-1 頻率特性,5.1.1 頻率特性的基本概念,解： RC電路的微分方程為,式中，T=RC。網(wǎng)絡(luò)的傳函為：,例： RC線性電路，當(dāng)輸入為正弦電壓r(t)=Asint 時(shí)，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？,4,如果輸入為正弦電壓r(t)=Asint ，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出：,5,css(t),6,7,由此可見： 網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出電壓仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓頻率相同。 穩(wěn)態(tài)輸出電壓幅值是輸入電壓幅值 ，是頻率 的函數(shù)，稱為RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性。, 穩(wěn)態(tài)輸出電壓相角比輸入電壓相角遲后了arctanT，是頻率 的函數(shù)，稱為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。 ,上式完全地描述了網(wǎng)絡(luò)在正弦輸入電壓作用下，穩(wěn)態(tài)輸出電壓幅值

3、和相角隨正弦輸入電壓頻率變化的規(guī)律，稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。,8, 即把傳函中的s 用j 代替就可得到頻率特性。, 幅頻特性, 相頻特性,css(t) = A G( j) sin t + G( j) ,下面證明對圖所示的線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)與頻率特性的關(guān)系， 。,9,r(t) = r0 cos( t + ) 假設(shè) = 0，則 r(t) = r0 cos t,C(s) = G(s) R(s),10,11,1 頻率特性：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下穩(wěn)態(tài)輸出與輸入復(fù)數(shù)符號之比對頻率的關(guān)系特性，用G(j) 表示。 物理意義：反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力 同頻，變幅，相移。 2 幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸

4、出與輸入振幅之比，用A() 表示。 A() = G(j) 3 相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相位差，用 ()表示。 ()= G(j) 4 實(shí)頻特性： G(j) 的實(shí)部，用Re()表示。 5 虛頻特性： G(j) 的虛部，用Im()表示。 G(j) = A() e j() = Re() + j Im(),4.1.2 定義,12,特點(diǎn)是：把頻率 看成參變量，當(dāng)從0時(shí)，將幅頻特性和相頻特性表示在同一個(gè)復(fù)數(shù)平面上。前面討論的RC電路的極坐標(biāo)圖。,5.1.3 幾何表示 1. 極坐標(biāo)圖（幅相頻率特性曲線）,=1,=,=0,2. 伯德圖（對數(shù)頻率特性曲線） 包括對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。橫坐標(biāo)表示頻率

5、，按對數(shù)分度，單位是rad/s 。,G(j),1 0, lg,2 0.301,3 0.477,4 0.602,5 0.699,6 0.778,7 0.845,8 0.903,9 0.954,10 1,13,橫軸按頻率的對數(shù)lg標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是頻率本身的數(shù)值。因此，橫軸的刻度是不均勻的。 橫軸壓縮了高頻段，擴(kuò)展了低頻段。 在軸上，對應(yīng)于頻率每一倍變化，稱為一倍頻程，例如 從1到2，2到4，3到6，10到20等的范圍都是一倍頻程 ；,=1,=10,2,3,4,5,6,7,8,9,每變化十倍，稱為十倍頻程（dec)，例如 從1到10，2到20 ，10到100等的范圍都是十倍頻程 ；所有的十倍頻程

6、在軸上對應(yīng)的長度都相等。,20,30,40,14,對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是dB(分貝)。 L() = 20lgA() 相頻曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。 () =G(j),15,16,下圖是 RC網(wǎng)絡(luò)G(j) =1/(1+ jT)，T = 0.5時(shí)對應(yīng)的伯德圖。,17,5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,1 .比例環(huán)節(jié) 其傳遞函數(shù)為 G(s) = K 頻率特性為 G(j ) = K （1）極坐標(biāo)圖 A( ) = K () = 0,（2）伯德圖 L( ) = 20lgK () = 0,K,20lgK,() = 0,18,（2）伯德圖 L(

7、) = 20lgA() = 20lg () = 90,=0,=,（1）極坐標(biāo)圖,() = 90,20dB/dec,1,10,2 積分環(huán)節(jié) 頻率特性,19,3 微分環(huán)節(jié) 頻率特性 G(j) = j （1）極坐標(biāo)圖 A() = () = 90,（2）伯德圖 L() = 20lgA() = 20lg () = 90,由于微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)， L()和 () 僅相差一個(gè)符號。因此，伯德圖是對稱于軸的。,=0,=,10,1,20dB/dec,20,4 慣性環(huán)節(jié) 頻率特性為,（1）極坐標(biāo)圖 實(shí)部與虛部表達(dá)式為：,其模角表達(dá)式為：,=,=0 1,21,（2）伯德圖 對數(shù)幅頻特性,因此，慣性

8、環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可用兩條直線近似表示，這兩條直線稱為漸近線。兩條直線交于T = 1或 =1/T。頻率1/T 稱為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。,1/T,1當(dāng) 1/T時(shí)，L() 20lg1 = 0,20dB/dec,2當(dāng) 1/T時(shí)，L() 20lgT,22,如圖可見，交接頻率的地方誤差最大，約3dB。,用漸近線近似表示L()，必然存在誤差L()，L()可按以下公式計(jì)算： L() = L() La() 式中，L()表示準(zhǔn)確值，La()表示近似值，有,23,相頻特性為：() = arctanT T = 0 () = 0 T = 0.3 () = 16.7 T = 0.8 () = 38.7 ,

9、T = 1 () = 45 T () = 90,24,5 一階微分環(huán)節(jié) 頻率特性 G(j) = 1 + jT （1）極坐標(biāo)圖,（2)伯德圖 幅頻特性,相頻特性為 ()=arctanT,幅頻特性為,相頻特性 ()=arctanT,=0,=,1/T,20dB/dec,25,(1) 極坐標(biāo)圖 幅頻特性為,相頻特性為,根據(jù)零-極點(diǎn)分布圖繪制極坐標(biāo)圖,6 振蕩環(huán)節(jié) 頻率特性為,26,1,A,B,P,j,2,G(j0)=10 G(jn )=1/2 90 G(j)=0180 ,27,1, =0, , 值小, 值大,n,28,由圖可見，幅頻特性的最大值隨 減小而增大其值可能大于1?？梢郧蟮迷谙到y(tǒng)參數(shù)所對應(yīng)的條

10、件下，在某一頻率 =r（諧振頻率）處振蕩環(huán)節(jié)會產(chǎn)生諧振峰值Mr 。在產(chǎn)生諧振峰值處，必有,29,可以看出： 1） 0.707，沒有峰值，A()單調(diào)衰減； 2） = 0.707， Mr = 1，r = 0，這正是幅頻特性曲線的初始點(diǎn)； 3） 1， r 0，幅頻A()出現(xiàn)峰值。而且 越小，峰值Mr 及諧振頻率r 越高； 4） = 0，峰值Mr 趨于無窮，諧振頻率r 趨于n 。 這表明外加正弦信號的頻率和自然振蕩頻率相同，引起環(huán)節(jié)的共振。環(huán)節(jié)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。 峰值過高，意味著動態(tài)響應(yīng)的超調(diào)大，過程不平穩(wěn)。 對振蕩環(huán)節(jié)或二階系統(tǒng)來說，相當(dāng)于阻尼比 小，這和時(shí)域分析法一章所得結(jié)論是一致的。,30,根

11、據(jù)上式可以作出兩條漸近線。 當(dāng) n時(shí)，L() 20lg2 / n2 = 40lg / n 。,（2）伯德圖 幅頻特性,n,40dB/dec,31,誤差計(jì)算公式是：,這是一條斜率為 40dB/dec直線，和零分貝線交于 = n的地方。故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為n 。,32,下圖為L(, ) 的曲線, = 0.05, =1,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,33,相頻特性, = 0 (0) = 0 = n ( n) = 90 () = 180,由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，( )在 = n鄰域的角度變化率也不同，阻尼比越小，變化率越大。,34,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1

12、,2,35,=0 1,=,7 二階微分環(huán)節(jié) 其頻率為特性,由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，其伯德圖可以參照振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖翻轉(zhuǎn)畫出。 極坐標(biāo)圖為：,36,由于( )隨頻率的增長而線性滯后，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性,大,0,小,=0,8 延遲環(huán)節(jié) 其頻率特性為 ：G(j) = e jT 幅值為：A() = e jT = 1 相角為：() = (rad) = 57.3() 由于幅值總是1，相角隨頻率而變化，其極坐標(biāo)圖為一單位圓。,37,5.3 控制系統(tǒng)的頻率特性5.3.1 開環(huán)極坐標(biāo)圖,1. 用幅頻特性和相頻特性計(jì)算做圖 設(shè)開環(huán)頻率特性為：,式中,分別計(jì)算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，

13、按上式便可計(jì)算出開環(huán)幅值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標(biāo)圖。,38,解: RC超前網(wǎng)絡(luò)的傳函為,() = 90 arctanT,例5-1 如圖所示RC超前網(wǎng)絡(luò),要求繪制它的幅相曲線。,式中 T=RC 。其頻率特性為,39,5.0 0.982 11.3,2.0 0.895 30,1.0 0.707 45,幅相曲線如圖,T=1,2,5,T=,T=0,1,T A() ()(),0 0 90,0.1 0.0995 84.3,0.3 0.288 73.3, 1 0,() = 90 arctanT,40,2.按實(shí)頻特性和虛頻特性計(jì)算作圖 把開環(huán)頻率特性按實(shí)部和虛部分開，然后再用一系列值代入，計(jì)算相應(yīng)的實(shí)頻

14、和虛頻值,繪制出開環(huán)幅相曲線。 3. 由極點(diǎn)零點(diǎn)分布圖繪制 由開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)形式先標(biāo)出每一零點(diǎn)和極點(diǎn)，當(dāng)s=j時(shí)，可作出相應(yīng)零點(diǎn)或極點(diǎn)對應(yīng)的矢量(頻率特性)，根據(jù)所對應(yīng)的值，計(jì)算出有關(guān)矢量的長度和角度，就能求得頻率特性。 例5-2 由極點(diǎn)零點(diǎn)分布圖求例1中的頻率特性 解：,41,G(j0) = 090 G(j1/T) = 0.70745 G(j2/T) = 0.89530 G(j5/T) = 0.98211.3 G(j) = 10,j,-1/T,j+1/T, =1/T,2/T,5/T, = ,42,4. 開環(huán)極坐標(biāo)圖的近似繪制 (1) 根據(jù)開環(huán)零-極點(diǎn)圖確定起點(diǎn)( =0)：精確求出 A(0

15、) ，(0) ； (2) 確定終點(diǎn)( =)：求出A() ，() ； (3) 確定曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： G(j)=Re()+j Im() 與實(shí)軸的交點(diǎn)： 令 Im() = 0 求出 x 代入 Re(x) (4) 由起點(diǎn)出發(fā)，繪制曲線的大致形狀。,試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。 解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性,例5-3 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為,43,（1）Gk (j0) = k0 （2）Gk (j) = 0180 （3）當(dāng) 增加時(shí)，()是單調(diào)減的，從0變化到180。,j,44,=0,幅相曲線大致形狀如圖:,45,例5-4 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為,試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。 解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性,（1）Gk (j0) =

16、 90 （2）Gk (j) = 0180 （3）與實(shí)軸的交點(diǎn):,j+1,當(dāng) =0時(shí)，實(shí)部函數(shù)有漸近線為1，可以先作出漸近線。通過分析實(shí)部和虛部函數(shù)，可知與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)。,46,開環(huán)概略極坐標(biāo)圖如下所示：,=0,1,47,例5-5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為,試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。 解：根據(jù)零-極點(diǎn)分布圖,1）Gk (j0) = 180 2）Gk (j) = 0270 3）與實(shí)軸的交點(diǎn)：,令 Im()= 0 x = 0.707 Re(x) = 2.67k,48,=0,2.67k,開環(huán)概略極坐標(biāo)圖如下所示：,49,5.3.2 開環(huán)伯德圖,開環(huán)對數(shù)幅頻特性和開環(huán)對數(shù)相頻特性分別為,說明： Lk()和k(

17、)分別都是各典型環(huán)節(jié)的疊加。,例5-6 已知一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為,要求繪制伯德圖。,50,1,20dB/dec,10,5,40dB/dec,20dB/dec,解：開環(huán)傳函由以下三個(gè)典型環(huán)節(jié)組成： 比例環(huán)節(jié) 10 積分環(huán)節(jié) 1/s 慣性環(huán)節(jié) 1/(0.2s+1),51,分析開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，有下列特點(diǎn)： （1）最左端直線的斜率為20 dB/dec，這一斜率完全由G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)決定； （2） =1時(shí)，曲線的分貝值等于20 lgk； （3）在慣性環(huán)節(jié)交接頻率5(rad/s)處，斜率從20dB/dec變?yōu)?0 dB/dec 。,52,一般的近似對數(shù)幅頻曲線特點(diǎn)： (1) 最左端直線的斜率

18、為20NdB/dec，N是積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù); (2) 在 =1時(shí)，最左端直線或其延長線的分貝值等于20lgk (3) 在交接頻率處，曲線的斜率發(fā)生改變，改變多少取決于典型環(huán)節(jié)種類。例如，在慣性環(huán)節(jié)后，斜率減少20dB/dec；而在振蕩環(huán)節(jié)后，斜率減少40 dB/dec。,繪制近似對數(shù)幅頻曲線的步驟： 在半對數(shù)坐標(biāo)上標(biāo)出所有的轉(zhuǎn)折頻率； 確定低頻段的斜率和位置； 由低頻段開始向高頻段延伸，每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，曲線的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。,53,對數(shù)相頻特性作圖時(shí)，首先確定低頻段的相位角，其次確定高頻段的相位角，再在中間選出一些插值點(diǎn)，計(jì)算出相應(yīng)的相位角，將上述特征點(diǎn)連線即得到對數(shù)相頻特性的草圖。 k() = 090arctan(0.2),k(0)= 90 k() = 180 k(1)= 101.3 k(5)= 135 k(10) = 153.4,1 5 10,54,例5-7 繪制單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為,試?yán)L制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線。 解：將傳函化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,-20dB/dec,-40dB/dec,-20dB/dec,1,10,2,20,-40dB/dec,