第3章 計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)及其應(yīng)用.ppt

1、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造,廈門大學(xué)機(jī)電工程系 卓 勇,第3章 計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)及其應(yīng)用,3.1 計(jì)算機(jī)繪圖概述,3.2 圖形的概念,3.3 圖形系統(tǒng)與圖形標(biāo)準(zhǔn),需要達(dá)到的要求：,掌握,（課時(shí)：約4學(xué)時(shí)）,3.4 圖形變換與處理,3.5 曲線描述的基本原理和方法,3.6 曲線設(shè)計(jì),3.7 曲面設(shè)計(jì),本章 學(xué)習(xí)目標(biāo),掌握二維圖形處理技術(shù)基礎(chǔ)知識(shí) 了解三維圖形變換方法 理解曲線描述的基本原理和方法 學(xué)習(xí)曲線、曲面設(shè)計(jì)技術(shù),重點(diǎn)：二、三維圖形幾何變換,難點(diǎn)：曲線、曲面設(shè)計(jì),3.1 計(jì)算機(jī)繪圖概述,本章的部分內(nèi)容為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)范疇的內(nèi)容。 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(computer graphics,CG)用計(jì)算機(jī)生

2、成景物的數(shù)字模型，并將它顯示在計(jì)算機(jī)屏幕上，或者繪制在紙張或膠片上。它是研究如何在計(jì)算機(jī)環(huán)境下生成、處理和顯示圖形的一門學(xué)科。 計(jì)算機(jī)圖形處理是利用計(jì)算機(jī)高速運(yùn)算能力和實(shí)時(shí)顯示功能處理各類圖形信息的技術(shù)。 包括圖形的存儲(chǔ)、生成、顯示、輸出、以及圖形變換、組合、分解和運(yùn)算，控制繪圖儀等圖形輸出設(shè)備完成繪圖 發(fā)展：硬件，軟件，圖形，圖像 應(yīng)用：設(shè)計(jì)，仿真，模擬等,1946年，第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)的問世推動(dòng)了許多學(xué)科的發(fā)展和新學(xué)科的建立，其中就包括現(xiàn)代圖形學(xué)技術(shù)。,1959年，美國(guó)Calcomp公司研制出的世界上第一臺(tái)滾筒式繪圖機(jī)，使計(jì)算機(jī)輔助繪圖儀開始代替人工繪圖。,20世紀(jì)50年代末期，美國(guó)MIT林

3、肯實(shí)驗(yàn)室研制出的空中防御系統(tǒng)標(biāo)志著交互式圖形技術(shù)的誕生。,1962年，I.E.薩瑟蘭德在其博士論文SKETCHPAD:一個(gè)人機(jī)通信的圖形系統(tǒng)中首次提出計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、交互技術(shù)、分層存儲(chǔ)符號(hào)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等新思想。這些基本理論和技術(shù)至今仍是現(xiàn)代圖形技術(shù)的基礎(chǔ)。,20世紀(jì)90年代，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)進(jìn)入開放式、標(biāo)準(zhǔn)化、集成化和智能化的發(fā)展時(shí)期。,計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的應(yīng)用,計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造 (computer aided design and manufactory, CAD/CAM),地理信息系統(tǒng) (geographical information system, GIS),科學(xué)計(jì)算可視化 (visuali

4、zation in scientific computing),計(jì)算機(jī)動(dòng)畫和藝術(shù),計(jì)算機(jī)模擬和仿真,虛擬現(xiàn)實(shí) (virtual reality, VR),（1）計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造,計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)已廣泛應(yīng)用于飛機(jī)、汽車、船舶的外形設(shè)計(jì)、超大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)，以及建筑、服裝、印染、玩具設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。 CAD技術(shù)使得工程、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和施工圖紙不必再由人工繪制，可大大縮短設(shè)計(jì)周期,雪佛萊敞篷轎車曲面造型,（2）地理信息系統(tǒng),地理信息系統(tǒng)記錄著關(guān)于人口、城鎮(zhèn)鄉(xiāng)村、高山平原地形、礦藏、森林、旅游等大量信息。利用地理系統(tǒng)中的圖形軟件可繪制出地理、地質(zhì)的以及其他自然現(xiàn)象的高精度勘探、測(cè)量圖形，如地理圖

5、、人口分布圖、水資源分布圖等。,（3）科學(xué)計(jì)算可視化,可視化技術(shù)廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、有限元分析、醫(yī)學(xué)、天氣預(yù)報(bào)、海洋和空間探測(cè)等領(lǐng)域。已成為一種從海量的計(jì)算數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)中發(fā)掘其蘊(yùn)含的自然、物理現(xiàn)象和規(guī)律的新的通用手段。,（4）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫和技術(shù),計(jì)算機(jī)動(dòng)畫和藝術(shù)是用計(jì)算機(jī)來生成各種逼真的虛擬場(chǎng)景畫面和特效效果，從而為人們提供一個(gè)充分展示個(gè)人想象力和藝術(shù)才能的空間。,（5）計(jì)算機(jī)模擬和仿真,計(jì)算機(jī)模擬和仿真已廣泛應(yīng)用到產(chǎn)品和工程設(shè)計(jì)、航空駕駛和實(shí)驗(yàn)等工作中，如構(gòu)造虛擬天空、地面、山峰、樹木等，并產(chǎn)生出巨大的經(jīng)濟(jì)效益。,（6）虛擬現(xiàn)實(shí),虛擬現(xiàn)實(shí)是指由計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)生成一個(gè)虛擬的三維空間，用戶可在其中自

6、由運(yùn)動(dòng)，隨意觀察周圍的景物，并通過一些特殊的設(shè)備與虛擬物體進(jìn)行交互操作。,3.2 圖形的概念,廣義的圖形概念 凡是能夠在人的視覺系統(tǒng)中形成視覺印象的客觀對(duì)象都稱為圖形。如： 自然景物 照片和圖片 工程圖、設(shè)計(jì)圖和方框圖 人工美術(shù)繪畫、雕塑品 用數(shù)學(xué)方法描述的圖形（包括幾何圖形、代數(shù)方程、分析表達(dá)式或列表所確定的圖形）,計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的圖形概念 是指由點(diǎn)、線、面、體等幾何要素和明暗、灰度（亮度）、色彩等非幾何要素構(gòu)成的，從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的帶有灰度、色彩及形狀的圖或形。,構(gòu)成圖形的要素 幾何要素：刻畫對(duì)象的輪廓、形狀等 非幾何要素：刻畫對(duì)象的顏色、材質(zhì)等,計(jì)算機(jī)圖形處理與數(shù)學(xué)中研究圖形不同，比

7、數(shù)學(xué)中描述的圖形更為具體，但仍是一種抽象，因?yàn)橐恢徊ＡПc一只塑料杯只要形狀一樣，顏色一樣，透明度一樣，則從計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的觀點(diǎn)來看，它們的圖形是一樣的,點(diǎn)陣表示 枚舉出圖形中所有的點(diǎn)（強(qiáng)調(diào)圖形由點(diǎn)構(gòu)成、點(diǎn)陣圖形） 存儲(chǔ)信息：灰度 ，色彩 簡(jiǎn)稱為圖像（數(shù)字圖像），如照片、位圖、圖片 參數(shù)表示 由圖形的形狀參數(shù)（方程或分析表達(dá)式的系數(shù)，線段的端點(diǎn)坐標(biāo)等） + 屬性參數(shù)（顏色、線型等）來表示圖形 簡(jiǎn)稱為圖形（矢量圖形 ）,計(jì)算機(jī)中表示圖形的方法,矢量圖形與圖象的區(qū)別：,矢量圖形可以容易縮放而不影響圖形的輸出質(zhì)量,3.3 圖形系統(tǒng)與圖形標(biāo)準(zhǔn),計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng),1. 圖形系統(tǒng)的基本功能與層次結(jié)構(gòu),運(yùn)算功能

8、。它包括定義圖形的各種元素屬性，各種坐標(biāo)系及幾何變換等。 數(shù)據(jù)交換功能。它包括圖形數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)與恢復(fù)、圖形數(shù)據(jù)的編輯以及不同系統(tǒng)之間的圖形數(shù)據(jù)交換等。 交互功能。它提供人機(jī)對(duì)話的手段，使圖形能夠?qū)崟r(shí)地、動(dòng)態(tài)地交互生成。 輸入功能。它接收?qǐng)D形數(shù)據(jù)的輸入，而且輸入設(shè)備應(yīng)該是多種多樣的。 輸出功能。它實(shí)現(xiàn)在圖形輸出設(shè)備上產(chǎn)生逼真的圖形,一個(gè)計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)應(yīng)該具有的最基本功能有：,各功能關(guān)系如下：,基于圖形標(biāo)準(zhǔn)化的圖形系統(tǒng)層次結(jié)構(gòu)：,基于圖形標(biāo)準(zhǔn)化的圖形系統(tǒng)層次結(jié)構(gòu)：,對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化主要包括以下幾個(gè)方面：,應(yīng)用程序接口API標(biāo)準(zhǔn)化：GKS，GKS 3D和PHIGS 語言連接規(guī)范，如Fortran，C，Pas

9、cal與GKS，PHIGS等的連接標(biāo)準(zhǔn)； 計(jì)算機(jī)圖形接口CGI的標(biāo)準(zhǔn)化； 圖形數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)：元文件概念，CGM標(biāo)準(zhǔn)。,GKS標(biāo)準(zhǔn)下的圖形,ISO 標(biāo)準(zhǔn): GKS, GKS 3D 第一個(gè)圖形軟件標(biāo)準(zhǔn)是由德國(guó)提出的圖形核心系統(tǒng)GKS，這是一個(gè)二維圖形軟件包。 1988年，GKS的三維擴(kuò)充GKS-3D成為三維圖形軟件標(biāo)準(zhǔn)。,ISO 標(biāo)準(zhǔn): PHIGS PHIGS(Programmers Hierarchical Interactive Graphics System)是為三維圖形應(yīng)用而設(shè)計(jì)的圖形軟件工具庫 1986年，ISO提出程序員分層交互圖形系統(tǒng)PHIGS，支持三維圖形的層次嵌套結(jié)構(gòu),PHIGS

10、標(biāo)準(zhǔn)下的圖形,非官方標(biāo)準(zhǔn): OpenGL，Java 3D， DirectX等 OpenGL(Graphics Library)是廣泛應(yīng)用的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圖形程序庫。其具有如下功能：基本圖素(線、多邊形等)、坐標(biāo)變換、設(shè)置屬性和顯示方式、輸入輸出處理、真實(shí)圖形顯示等。,OpenGL制作的游戲,Java 3D制作的游戲,DirectX制作的游戲,2. 圖形系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn),為使圖形系統(tǒng)可移植，必須解決以下幾個(gè)問題：,獨(dú)立于設(shè)備。交互式圖形系統(tǒng)中有多種輸入、輸出設(shè)備，作為標(biāo)準(zhǔn)的通用圖形系統(tǒng)，在應(yīng)用程序設(shè)計(jì)這一級(jí)應(yīng)具有對(duì)圖形設(shè)備的相對(duì)無關(guān)性。 獨(dú)立于機(jī)器。圖形系統(tǒng)應(yīng)能在不同類型的計(jì)算機(jī)主機(jī)上運(yùn)行。 獨(dú)立于語言。程

11、序員在編寫應(yīng)用程序來表達(dá)算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)，通常采用高級(jí)語言，通用圖形系統(tǒng)應(yīng)是具有圖形功能的子程序組，以便不同的高級(jí)語言調(diào)用。 獨(dú)立于不同的應(yīng)用領(lǐng)域。圖形系統(tǒng)的應(yīng)用范圍十分寬廣，若所開發(fā)系統(tǒng)只適用于某一領(lǐng)域的應(yīng)用，在其他場(chǎng)合下使用就要作很大的修改，就需要付出巨大的代價(jià)，為此要求通用圖形系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)獨(dú)立于不同的應(yīng)用領(lǐng)域，即提供一個(gè)不同層次的圖形功能組。, 解決圖形系統(tǒng)的可移植性問題。使涉及圖形的應(yīng)用程序易于在不同的系統(tǒng)環(huán)境間移植，便于圖形數(shù)據(jù)的變換和傳送，降低圖形軟件研制的成本，縮短研制周期。 有助于應(yīng)用程序員理解和使用圖形學(xué)方法，給用戶帶來極大的方便。 為廠家設(shè)計(jì)制造智能工作站提供指南，使其可依據(jù)

12、此標(biāo)準(zhǔn)決定將哪些圖形功能組合到智能工作站中，可以避免軟件開發(fā)工作者的重復(fù)勞動(dòng)。,制定圖形系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的目的在于：,3.4 圖形變換與處理,圖形變換基本知識(shí) 二維圖形基本幾何變換 二維圖形的復(fù)合變換 三維圖形的幾何變換 投影變換,圖形變換指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形，提出的構(gòu)造或修改圖形的方法 除圖形的位置變動(dòng)外，可以將圖形放大或縮小，或者對(duì)圖形作不同方向的拉伸來使其扭曲變形,構(gòu)成圖形的基本要素及其表示方法,圖形由圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)之間的拓?fù)潢P(guān)系以及組成圖形的面和線的表達(dá)模型所決定,任何一個(gè)圖形都可以認(rèn)為是點(diǎn)之間的連線構(gòu)成 對(duì)一個(gè)圖形作幾何變換，實(shí)際上就是對(duì)一系列點(diǎn)進(jìn)行變換,點(diǎn)和圖

13、形的表示,二維平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)通常用坐標(biāo) (x , y) 來表示，矩陣形式為：,或,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) a( x1, y1 ), b( x2, y2 ), c( x3, y3 )，用矩陣表示：,三維形體矩陣表示形式為：,1. 點(diǎn)和圖形的齊次坐標(biāo)表示,齊次坐標(biāo)是將一個(gè)n維空間的點(diǎn)用n1維，即附加一個(gè)坐標(biāo)表示:,二維點(diǎn)x y的齊次坐標(biāo)通常用三維坐標(biāo)Hx Hy H表示 三維點(diǎn)x y z的齊次坐標(biāo)通常用四維坐標(biāo) Hx Hy Hz H 表示,齊次坐標(biāo)系中，附加的坐標(biāo)H稱為比例因子 HxHx、HyHy、HzHz H的取值是任意的，任何一個(gè)點(diǎn)可用許多組齊次坐標(biāo)來表示,當(dāng)取H1時(shí)，稱為齊次坐標(biāo)的規(guī)格化形式 如

14、：二維點(diǎn) 3 2可表示為3 2 1 ， 6 4 2 ,四邊形用齊次坐標(biāo)可表示：,采用齊次坐標(biāo)表示的主要優(yōu)點(diǎn)：,（1）為幾何圖形的二維、三維甚至高維空間的坐標(biāo)變換提供統(tǒng)一的矩陣運(yùn)算方法，并可以方便地將它們組合在一起進(jìn)行組合變換 平移、比例和旋轉(zhuǎn)等變換的組合變換處理形式不統(tǒng)一，將很難把它們級(jí)聯(lián)在一起,（2）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的處理比較方便。 如，對(duì)二維的齊次坐標(biāo) A B H，當(dāng)H0時(shí)，表示直線上 Ax+By=0 的連續(xù)點(diǎn)（x，y）逐漸趨近于無窮點(diǎn) 三維情況下，利用齊次坐標(biāo)表示視點(diǎn)在世界坐標(biāo)系原點(diǎn)時(shí)的投影變換,2. 變換矩陣,設(shè)一個(gè)幾何圖形的齊次坐標(biāo)矩陣為A，另有一個(gè)矩陣T，則由矩陣乘法運(yùn)算可得一新矩陣B：

15、BAT,矩陣B是矩陣A經(jīng)變換后的圖形矩陣 用來對(duì)原圖形施行坐標(biāo)變換矩陣T 稱為變換矩陣,根據(jù)矩陣運(yùn)算原理： 二維圖形變換矩陣T為33階矩陣， 三維圖形的變換矩陣T為44階矩陣 通過矩陣的乘法可以對(duì)圖形進(jìn)行諸如比例、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、投影等各種變換,圖形變換的主要工作就是求解變換矩陣T,3. 坐標(biāo)系統(tǒng),從定義一個(gè)零件的幾何外形到圖形設(shè)備上生成相應(yīng)圖形，需要建立相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)來描述，并通過坐標(biāo)變換來實(shí)現(xiàn)圖形的表達(dá)。,實(shí)物物體所處空間中（二維或三維空間）用以協(xié)助用戶定義圖形所表達(dá)物體幾何尺寸的坐標(biāo)系，也稱用戶坐標(biāo)系，多用右手直角坐標(biāo)系,設(shè)備坐標(biāo)系（DC）,視點(diǎn)坐標(biāo)系,世界坐標(biāo)系（WC）,從定義一個(gè)零

16、件的幾何外形到圖形設(shè)備上生成相應(yīng)圖形，需要建立相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)來描述，并通過坐標(biāo)變換來實(shí)現(xiàn)圖形的表達(dá)。,設(shè)備坐標(biāo)系（DC）,視點(diǎn)坐標(biāo)系,世界坐標(biāo)系（WC）,與圖形輸出設(shè)備相關(guān)聯(lián)，用以定義圖形幾何尺寸及位置的坐標(biāo)系，也稱物理坐標(biāo)系 設(shè)備坐標(biāo)系是一個(gè)二維平面坐標(biāo)系，通常使用左手直角坐標(biāo)系 度量單位：象素(顯示器)或步長(zhǎng)(繪圖儀),3. 坐標(biāo)系統(tǒng),從定義一個(gè)零件的幾何外形到圖形設(shè)備上生成相應(yīng)圖形，需要建立相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)來描述，并通過坐標(biāo)變換來實(shí)現(xiàn)圖形的表達(dá)。,設(shè)備坐標(biāo)系（DC）,視點(diǎn)坐標(biāo)系,世界坐標(biāo)系（WC）,在三維形體的透視圖的生成過程中，需要用到，視點(diǎn)坐標(biāo)系是一個(gè)左手直角坐標(biāo)系,3. 坐標(biāo)系統(tǒng),4

17、. 二維圖形的基本幾何變換,平移變換 比例變換 對(duì)稱變換 旋轉(zhuǎn)變換 錯(cuò)切變換,二維圖形幾何變換主要有:,圖形的每一個(gè)點(diǎn)在給定的方向上移動(dòng)相同距離所得的變換稱為平移變換,圖形在x軸方向的平移量為l， 在y軸方向的平移量為m， 則坐標(biāo)點(diǎn)的平移變換：,（1）平移變換,（2）比例變換,a = e = 1時(shí)，為恒等比例變換，即圖形不變 a = e 1時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比放大 a = e 1時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比縮小 ae時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向進(jìn)行非等比變換，稱為畸變,圖形中的每一個(gè)點(diǎn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，按相同的比例進(jìn)行放大或縮小所得到的變換稱為比例變換,圖形在x，y兩個(gè)坐標(biāo)方向放大或縮小比

18、例分別為 a 和e，則坐標(biāo)點(diǎn)的比例變換：,對(duì)稱變換也稱反射變換，指變換前后的點(diǎn)對(duì)稱于x軸、y軸、某一直線或點(diǎn),（3）對(duì)稱變換,根據(jù)a b c d不同的取值情況，可以獲得不同的對(duì)稱變換。,a)以x軸為對(duì)稱線的對(duì)稱變換 變換后，圖形點(diǎn)集的x坐標(biāo)值不變，y坐標(biāo)值不變，符號(hào)相反,b）以Y軸為對(duì)稱線的對(duì)稱變換,變換后，圖形點(diǎn)集的y坐標(biāo)值不變，x坐標(biāo)值不變，符號(hào)相反,c）以原點(diǎn)為對(duì)稱的對(duì)稱變換,變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)值不變，符號(hào)均相反,d)以直線y=x為對(duì)稱線的對(duì)稱變換,變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)對(duì)調(diào),e)以直線y=x為對(duì)稱線的對(duì)稱變換,變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)對(duì)調(diào)，符號(hào)相反,（4）旋轉(zhuǎn)變換,

19、圖形繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，變換后的點(diǎn)（x* , y*）的數(shù)學(xué)表達(dá)式:,規(guī)定： 逆時(shí)針方向?yàn)檎槙r(shí)針方向?yàn)樨?fù),旋轉(zhuǎn)變換是將圖形繞固定點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn),（5）錯(cuò)切變換,錯(cuò)切變換是圖形的每一個(gè)點(diǎn)在某一方向上坐標(biāo)保持不變，而另一坐標(biāo)方向上坐標(biāo)進(jìn)行線性變換，或都進(jìn)行線性變換,有x和y方向的錯(cuò)切變換,a) 圖形沿x方向的錯(cuò)切矩陣表示為：,圖形的 y 坐標(biāo)不變，x 坐標(biāo)隨坐標(biāo)（x, y）和系數(shù) b 作線性變化，b0 b0，圖形沿+x方向錯(cuò)切； b0，圖形沿-x方向錯(cuò)切,b) 形沿y方向的錯(cuò)切矩陣表示為：,圖形的 x 坐標(biāo)不變，y 坐標(biāo)隨坐標(biāo)（x, y）和系數(shù) d 作線性變化，d0 d0，圖

20、形沿 +y 方向錯(cuò)切； d0，圖形沿y 方向錯(cuò)切,c) 圖形同時(shí)沿x、y兩方向的錯(cuò)切,c為x方向錯(cuò)切系數(shù)， d為y方向錯(cuò)切系數(shù)。,二維圖形基本變換小結(jié)：,從二維圖形的基本幾何變換可見，各種圖形變換完全取決于變換矩陣中各元素的取值 按照變換矩陣中各元素的功能，可將二維變換矩陣的一般表達(dá)式按如下虛線分為4個(gè)子矩陣：,實(shí)現(xiàn)圖形比例變換： s1， 圖形等比例縮小 0s1，圖形等比例放大 s1， 圖形大小不變,T ,實(shí)現(xiàn)圖形比例、對(duì)稱、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)變換,實(shí)現(xiàn)圖形平移變換,實(shí)現(xiàn)圖形透視變換（常用于三維圖形）,5. 二維圖形的復(fù)合變換,組合變換中，多個(gè)變換矩陣之積稱為組合變換矩陣,CAD/CAM中的圖形變換比

21、較復(fù)雜，往往僅用一種基本變換不能實(shí)現(xiàn)，需經(jīng)由兩種或多種基本變換的組合才能得所需的最終圖形。這種由兩個(gè)以上基本變換構(gòu)成的變換稱為復(fù)合變換（組合變換）或基本變換的級(jí)聯(lián)。,設(shè)各次變換的矩陣分別為T1 ，T2 ， ，Tn，則復(fù)合變換的矩陣是各次變換矩陣的乘積，即： TT1 T2 Tn,復(fù)合變換例1：,求三角形以點(diǎn)（4, 6）為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30的組合變換矩陣,相對(duì)于 (e, f ) 點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換，由以下三個(gè)矩陣相乘來實(shí)現(xiàn)：,（1）平移 （2）旋轉(zhuǎn) （3）平移,基本步驟：,復(fù)合變換例2：,圖形對(duì)于任一條線 y=ax+b 對(duì)稱的組合變換矩陣,基本步驟：,（1）平移 （2）旋轉(zhuǎn) （3）對(duì)稱 （4）旋轉(zhuǎn) （5

22、）平移,6. 三維圖形幾何變換,三維圖形的幾何變換是二維圖形幾何變換的簡(jiǎn)單擴(kuò)展。與二維圖形一樣，用適當(dāng)?shù)淖儞Q矩陣也可以對(duì)三維圖形進(jìn)行各種幾何變換。,平移變換 比例變換 對(duì)稱變換 旋轉(zhuǎn)變換 錯(cuò)切變換,三維圖形的基本幾何變換主要有:,三維圖形基本變換規(guī)律：,對(duì)三維空間的點(diǎn)如（x，y，z），可用齊次坐標(biāo)表示為： （x，y，z，1），或（X，Y，Z，H） 因此，三維空間里的點(diǎn)的變換可寫為：,其中M是4X4階變換矩陣，即：,（1）平移變換,平移變換是使立體在三維空間移動(dòng)一個(gè)位置，而形狀保持不變。,其中：l、m、n分別為 X、Y、Z方向的平移量,（2）比例變換,比例變換兩種變換形式： 對(duì)于整體圖形進(jìn)行縮放

23、 沿各坐標(biāo)軸分別調(diào)節(jié)每個(gè)坐標(biāo)方向上的大小,空間立體頂點(diǎn)坐標(biāo)按規(guī)定比例放大或縮小稱三維比例變換,變換方程：,沿每個(gè)坐標(biāo)軸方向分別調(diào)節(jié)各坐標(biāo)大小的比例變換齊次矩陣：,對(duì)X0Z平面的對(duì)稱變換,（3）對(duì)稱變換,標(biāo)準(zhǔn)三維空間對(duì)稱變換是相對(duì)于坐標(biāo)平面進(jìn)行,對(duì)X0Y平面的對(duì)稱變換,對(duì)Y0Z平面的對(duì)稱變換,（4）旋轉(zhuǎn)變換,三維旋轉(zhuǎn)變換是將空間立體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，且角的正負(fù)按右手定則確定：右手大拇指指向旋轉(zhuǎn)軸的正向，其余四個(gè)手指的指向即為角的正向,二維變換中，圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換實(shí)際上是XOY平面圖形繞Z軸旋轉(zhuǎn)的變換,a）繞X軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣,空間立體繞x軸旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)的x坐標(biāo)不變，只是y和 z坐標(biāo)發(fā)生變化

24、,c）繞Z軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣,b）繞Y軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣,空間立體繞y軸旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)的y坐標(biāo)不變，只是 x和 z坐標(biāo)發(fā)生變化,空間立體繞z軸旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)的Z坐標(biāo)不變，只是 x和 y坐標(biāo)發(fā)生變化,（5）錯(cuò)切變換,錯(cuò)切變換是指空間立體沿x、y、z三個(gè)方向都產(chǎn)生錯(cuò)變形。,如：沿X軸含Y向錯(cuò)切,沿X軸含Y向錯(cuò)切變換矩陣為：,錯(cuò)切變換為：,即 x = x + dy y = y z = z,錯(cuò)切變形是畫軸測(cè)圖的基礎(chǔ)，其變換矩陣為：,變換后點(diǎn)坐標(biāo)：,Tsh,（6）三維形體的投影變換和透視變換,投影變換的分類：,a）主視圖,主視圖： 變換矩陣中坐標(biāo)y0， 其它坐標(biāo)不變,主視圖是沿著Y向向V面投影的視圖，如圖所示，它是

25、將空間物體沿Y向壓縮而得，因此需要將物體的坐標(biāo)乘壓縮矩陣。,b）俯視圖,俯視圖是將空間物體先沿Z向壓縮，然后繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，為了與主視圖間保持一定的距離，最后沿Z的負(fù)向平移。,變換矩陣為： 令z0， 繞x順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90， 再在負(fù)z方向平移，,c）左視圖,左視圖是將空間物體先沿X向壓縮，然后繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，為了與主視圖間保持一定的距離，最后沿X的負(fù)向平移。,變換矩陣為： 令x0 繞z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)90 再沿負(fù)x方向平移,3.5 曲線描述的基本原理和方法,工程中常用的曲線有兩種類型： 規(guī)則曲線可以用函數(shù)或參數(shù)方程來表示，如園、圓錐、擺線和漸開線等，計(jì)算機(jī)根據(jù)方程很容易顯示和畫出它們；

26、自由曲線只能用一定數(shù)量的離散點(diǎn)來描述的任意形狀的曲線；可以看成由一系列的曲線段連接而成。,1. 造型空間與參數(shù)空間坐標(biāo)系統(tǒng),造型空間是指曲面、曲線等幾何實(shí)體存在的三維空間。我們可通過坐標(biāo)系由數(shù)學(xué)模型來精確地描述幾何實(shí)體。 如圖3.5所示，對(duì)于曲線上每一位置點(diǎn)的（x，y，z）坐標(biāo)都可由一個(gè)單變量u的方程來定義。對(duì)于曲面上任意位置點(diǎn)的（x，y，z）坐標(biāo)都可由一個(gè)雙變量u和v的方程來定義。參數(shù)域上的一對(duì)值（u，v）產(chǎn)生曲面上的一個(gè)三維點(diǎn) 。,2. 曲線的數(shù)學(xué)描述方法,1）參數(shù)曲線或參數(shù)曲面,曲線和曲面可以用隱函數(shù)、顯函數(shù)或參數(shù)方程來表示。,顯式表示 一個(gè)坐標(biāo)變量能夠顯式地表示為另一個(gè)變量的函數(shù)。 平

27、面曲線顯式表示的一般形式是 一條直線方程 每一個(gè)x值只對(duì)應(yīng)一個(gè)y值 用顯式方程不能表示封閉或多值曲線,隱式表示 平面曲線隱式表示的般形式為： 三維空間曲線的隱式表示式為交面式:,曲線的非參數(shù)表示存在的問題是 與坐標(biāo)系相關(guān) 會(huì)出現(xiàn)斜率為無窮大的情況(如垂線) 非平面曲線難用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示 不利于計(jì)算和編程,用隱函數(shù)表示曲線和曲面不直觀、作圖也不方便，而用顯函數(shù)表示又存在多值性和斜率無窮大等問題。因此，隱函數(shù)和顯函數(shù)只適合表達(dá)簡(jiǎn)單、規(guī)則的曲線和曲面（例如二次圓錐曲線）。 自由曲線和自由曲面多用參數(shù)方程（Parametric Representation）表示，相應(yīng)地被稱為參數(shù)曲線（Par

28、ametric Curve）或參數(shù)曲面。,參數(shù)表示 將曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)變量顯式地表示成參數(shù) t 的函數(shù)形式： 其中x(t)，y(t) 和 z(t) 分別是參數(shù) 的顯式函數(shù) 通常將參數(shù)區(qū)間規(guī)范化為 0, 1 參數(shù)方程中的參數(shù)可以代表任何量，如時(shí)間、角度等 連接 和 兩點(diǎn)的直線段的參數(shù)方程可寫為,參數(shù)表示比非參數(shù)表示更優(yōu)越： 參數(shù)方程的形式不依賴于坐標(biāo)系的選取，具有形狀不變性； 在參數(shù)表示中，變化率以切矢量表示，不會(huì)出現(xiàn)無窮大的情況； 對(duì)參數(shù)表示的曲線、曲面進(jìn)行平移、比例、旋轉(zhuǎn)等幾何變換比較容易； 用參數(shù)表示的曲線曲面的交互能力強(qiáng)，參數(shù)的系數(shù)幾何意義明確，并提高了自由度，便于控制形狀。,2）曲線次

29、數(shù),樣條曲線中的每一段曲線都由一個(gè)多項(xiàng)式來定義，它們都有相同的次數(shù)，即樣條曲線的次數(shù)。 曲線的次數(shù)決定了曲線的柔韌性。次數(shù)為1的樣條曲線是連接所有控制頂點(diǎn)的直線段，它至少需要2個(gè)控制頂點(diǎn)。2次樣條曲線至少需要3個(gè)控制頂點(diǎn)，3次樣條曲線至少需要4個(gè)控制頂點(diǎn)，依次類推。但高于3次的樣條曲線有可能出現(xiàn)難以控制的振蕩。 對(duì)于各系統(tǒng)中，B樣條曲線的缺省次數(shù)為3次，這能夠滿足絕大多數(shù)情況的需求。,3. 幾何設(shè)計(jì)的基本概念,在自由曲線和曲面描述中常用三種類型的點(diǎn)： 控制點(diǎn)，用來確定曲線或曲面的形狀位置，但曲線或曲面不一定經(jīng)過該點(diǎn)； 型值點(diǎn)，用于確定曲線或曲面的位置與形狀并且經(jīng)過該點(diǎn)； 插值點(diǎn)，為提高曲線或曲

30、面的輸出精度，在型值點(diǎn)之間插入的一系列點(diǎn)。 設(shè)計(jì)中通常是用一組離散的型值點(diǎn)或控制點(diǎn)來定義和構(gòu)造幾何形狀，且所構(gòu)造的曲線和曲面應(yīng)滿足光順的要求。這種定義曲線和曲面的方法有插值、擬合或逼近。,插值：給定一組精確的數(shù)據(jù)點(diǎn)，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使之嚴(yán)格地依次通過全部型值點(diǎn)，且滿足光順要求。見圖3.6（a）。 擬合：對(duì)于一組具有誤差的數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使之在整體上最接近這些數(shù)據(jù)點(diǎn)而不必通過全部數(shù)據(jù)點(diǎn)，并使所構(gòu)造的函數(shù)與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差在某種意義上最小。見圖3.6（d） 逼近：用特征多邊形或網(wǎng)格來定義和控制曲線或曲面的方法見圖3.6（b），3.6（c）。虛線上的點(diǎn)是控制點(diǎn)，形成的多邊形是特征多邊形或控制

31、多邊形。,(d),光滑：從數(shù)學(xué)意義上講，光滑是指曲線或曲面具有至少一階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 光順：它不僅要求曲線或曲面具有至少一階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而且還要滿足設(shè)計(jì)要求。,3.6 曲線設(shè)計(jì),3.6.1 Bezier曲線,在工程設(shè)計(jì)中，由給定型值點(diǎn)進(jìn)行曲線設(shè)計(jì)往往由于型值點(diǎn)的誤差而得不到滿意的結(jié)果。另一方面，在一些更注重外觀的設(shè)計(jì)中，型值點(diǎn)的精度又不很重要。 從1962年起，法國(guó)雷諾汽車公司的Bezier開始構(gòu)造他的以“逼近”為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線表示 法。以這種方法為基礎(chǔ)，完成了一種自由型曲線和曲面的設(shè)計(jì)系統(tǒng)UNIS-URF，1972年在雷諾汽車公司正式使用。,曲線曲面的表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一。 常

32、用的曲線類型是： Bezier曲線 B樣條曲線,Bezier曲線的形狀是通過一組多邊折線（稱為特征多邊形）的各頂點(diǎn)唯一地定義出來的。在多邊形的各頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上，其余的頂點(diǎn)則使用控制曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形式。第一條和最后一條折線則表示出曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向。曲線的形狀趨向仿效多邊折線的形狀。改變控制點(diǎn)與改變曲 線形狀有著形象生動(dòng)的直接聯(lián)系。如圖所示。,1. Bezier曲線定義,Bezier構(gòu)造曲線的基本思想是：由曲線的兩個(gè)端點(diǎn)和若干個(gè)不在曲線上的點(diǎn)來唯一地確定曲線的形狀。這兩個(gè)端點(diǎn)和其他若干個(gè)點(diǎn)被稱為Bezier特征多邊形的頂點(diǎn)。 設(shè)給定空間特征多邊形的n+1個(gè)頂點(diǎn)

33、Pi（i=0，1，n），則定義n次Bezier曲線的矢量函數(shù)為,（0 t 1）,Bernstein（伯恩思坦）基函數(shù),2. Bezier曲線的主要性質(zhì),端點(diǎn)位置：由Bernstein基函數(shù)Bn,i(t)的端點(diǎn)性質(zhì)可以推得Bezier曲線的起、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起、終點(diǎn)重合； 端點(diǎn)切線：Bezier曲線起點(diǎn)處的切線方向是特征多邊形第一條邊向量的方向，終點(diǎn)處的切線方向是特征多邊形最末一條邊向量的方向；,P(t),幾何不變性：幾何不變性是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線的位置和形狀與其特征多邊形的頂點(diǎn)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇，即Bezier曲線具有幾何不變性。,

34、曲線的整體逼近性：由Bernstein基函數(shù)Bn,i(t)1可見，伯恩斯坦基函數(shù)具有權(quán)性。那么當(dāng)0t1時(shí)，所有的權(quán)函數(shù)的值均不為零。這意味著除了Bezier曲線的首、末兩端點(diǎn)外，曲線上的每個(gè)點(diǎn)都將受到所有Pi點(diǎn)的影響，任何一個(gè)Pi點(diǎn)的改變都會(huì)使整段Bezier曲線隨著改變。這是Bezier曲線不好的特性，因?yàn)樗懦藢?duì)一段Bezier曲作局部修改的可能。,3. 工程中常用的Bezier曲線,1）三次Bezier曲線的生成 見圖3.6（b），由四個(gè)控制點(diǎn)確定（n=3），由式（3-8）可以得到,從式（3-7）可得到基函數(shù)為 B3,0(1t)3 B3,13t(1t)2 B3,2=3t2(1t) B3

35、,3t3 代入Bezier曲線表達(dá)式（3-6）得到 P(t)=(1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3 0 t 1 寫成矩陣形式為,式（3-9）是3次Bezier曲線表達(dá)式。利用此式在 t ?。?, 1）中的若干個(gè)值時(shí)得到一系列點(diǎn)，從而繪制出3次Bezier曲線來。取t=0，1/3，2/3，1，求出B3,1(t)對(duì)應(yīng)的曲線如圖3.7所示。它們構(gòu)成了3次Bezier曲線空間的一組基，任何3次Bezier曲線都是這四條曲線的線性組合。,P(t)=(1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3 0 t 1,2）二次Bezier曲線的生成 當(dāng)Bezier曲線由

36、三個(gè)控制點(diǎn)確定時(shí)（n=2），式（3-5）轉(zhuǎn)化為如下的2次Bezier曲線,P(t) = (1t)2P0+2t(1t)P1+t2P1,0 t 1,在上式中，當(dāng) 時(shí)， 對(duì)應(yīng)于一條拋物線。,1次Bezier曲線,3）Bezier曲線的程序設(shè)計(jì),實(shí)際中主要應(yīng)用3次Bezier曲線。利用3次Bezier曲線的表達(dá)式（3-8）在區(qū)間（0，1）間取多個(gè)值，例如100，計(jì)算出這100個(gè)值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，然后用一條曲線擬合，就得到一條Bezier曲線。為程序設(shè)計(jì)方便，把式（3-8）變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系中的參數(shù)方程，即：,4. Bezier曲線的拼接,常用的3次Bezier曲線由四個(gè)控制點(diǎn)確定。多控制點(diǎn)（n4）的3次Be

37、zier曲線存在著幾條曲線的拼接問題，其關(guān)鍵問題是拼接處的連續(xù)性。由Bezier曲線的性質(zhì)可知：一段Bezier曲線一定通過控制多邊形的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，并在此兩點(diǎn)與起始邊和終止邊相切。由此可以證明： 所拼接的兩曲線應(yīng)具有一個(gè)公共點(diǎn)，第一條曲線的終點(diǎn)一定是第二條曲線的起點(diǎn)， 第一條曲線的后兩個(gè)控制點(diǎn)和第二條曲線的前兩個(gè)控制點(diǎn)應(yīng)在一條直線上。,Bezier曲線是通過逼近特征多邊形而獲得曲線的，具有如直觀、計(jì)算簡(jiǎn)單等許多優(yōu)點(diǎn)，但也存在一些缺點(diǎn)： 曲線與控制多邊形的逼近程度較差,特征多邊形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定了曲線的次數(shù)，頂點(diǎn)越多，曲線的次數(shù)越高，多邊形對(duì)曲線的控制越弱。 缺少局部性，它是整體構(gòu)造，每個(gè)基函

38、數(shù)在整個(gè)曲線段范圍內(nèi)非零，故不便于修改，改變某一控制點(diǎn)對(duì)整個(gè)曲線都有影響。 當(dāng)表示復(fù)雜形狀時(shí)，無論采用高次曲線還是多段低次曲線拼接起來的曲線，都相當(dāng)復(fù)雜。,Bzier曲線的缺點(diǎn),要克服Bzier曲線的缺點(diǎn)，需要對(duì)它進(jìn)行改進(jìn)。,3.6.2 B樣條曲線,1972年Riesenfeld等人在Bezier基礎(chǔ)上提出了B-Spline曲線。 用B-Spline基函數(shù)代替Bernstein基函數(shù)組，不僅保持了Bezier曲線的特性，而且逼近特征多邊形的精度更高。 在Bezier方法中，特征多邊形的邊數(shù)與Bernstein多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相等；而在B-Spline方法中，特征多邊形的邊數(shù)與B-Spline基函數(shù)

39、的次數(shù)無關(guān)。 Bezier方法是整體逼近；而B-Spline則是局部逼近，修改多邊形頂點(diǎn)，對(duì)曲線的影響只是局部的,1. B樣條曲線定義,設(shè)有控制頂點(diǎn)P0，P1，P2，Pn，則n次B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式,式中： Pi為特征多邊形控制點(diǎn)， Ni,n(t)是n次B樣條曲線基函數(shù)。,B樣條曲線及其控制多邊形,與Bezier 曲線相比較，B樣條曲線有如下不同： Bezier曲線的階次與控制頂點(diǎn)數(shù)有關(guān)，而B樣條的基函數(shù)次數(shù)是與控制頂點(diǎn)無關(guān)。這樣就避免了Bezier曲線次數(shù)隨控制點(diǎn)數(shù)增加而增加的不足。 Bezier 曲線所用的基函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)，B樣條曲線的基函數(shù)是多項(xiàng)式樣條。 Bezier曲線缺乏局部控制

40、能力，而B樣條曲線的基函數(shù) Ni,k(t)僅在某個(gè)局部不等于零，于是改變控制點(diǎn)Pi也只對(duì)這個(gè)局部發(fā)生影響，使B樣條曲線具有局部可修改性，更適合于幾何設(shè)計(jì)。,2. 工程中常用的B樣條曲線,1）三次B樣條曲線的生成,對(duì)于n+1個(gè)特征多邊形頂點(diǎn)P0，P1，Pn，每四個(gè)順序點(diǎn)一組，其線性組合可以構(gòu)成n-2段3次B樣條曲線，即由4個(gè)控制點(diǎn)3次B樣條曲線，由式（3-12）可以得到,（矩陣形式）,可得，三次B樣條曲線的表達(dá)式,當(dāng) t=0 時(shí),當(dāng) t=1 時(shí),這表明三次B樣條曲線段的起點(diǎn)P(0)落在P0P1P2的中線P1P1* 上離P1三分之一處，終點(diǎn)P(1)落在P1P2P3的中線P2P2*上離P2三分之一處

41、，見圖3.9。,端點(diǎn)位置：,當(dāng) t=0 時(shí),當(dāng) t=1 時(shí),端點(diǎn)切向量：,圖3.9 三次B樣條曲線,P(0),P(1),因此，對(duì)三次B樣條曲線上相鄰兩段曲線，前一段曲線的終點(diǎn)就是后一段曲線的起點(diǎn)，并且對(duì)應(yīng)共同的三角形，同時(shí)，兩段曲線在連接點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)矢量。,三次B樣條曲線的一些特例,2）二次B樣條曲線的生成 （自學(xué)）,3. B樣條的邊界處理（略）,實(shí)際應(yīng)用中，往往需要所設(shè)計(jì)的B樣條曲線通過指定的位置或通過控制多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)，這就需要對(duì)曲線進(jìn)行邊界處理，其主要方法是： 重復(fù)控制多邊形起始點(diǎn)和終點(diǎn)，這樣會(huì)把曲線拉向該控制點(diǎn)并使曲線相切于與該控制點(diǎn)相連的控制邊，見圖3.12（a） 兩次

42、重復(fù)B樣條曲線控制多邊形起終點(diǎn)，見圖3.12（b）； 根據(jù)三控制點(diǎn)共線時(shí)會(huì)使曲線與該線段相切的原理，可適當(dāng)增加控制點(diǎn)而使曲線通過起點(diǎn)和終點(diǎn)，見圖3.12（c）。,3.7 曲面設(shè)計(jì),1. 曲面模型的描述方法,進(jìn)行曲面模型的描述方式有兩種： 以線框模型為基礎(chǔ)的面模型， 以曲線、曲面為基礎(chǔ)構(gòu)成的面模型。,第一種方法是在線框模型的基礎(chǔ)上增加了有關(guān)面與邊的拓?fù)湫畔?，給出了頂點(diǎn)的幾何信息及邊與頂點(diǎn)、面與邊之間的二層拓?fù)湫畔ⅰ?這種方法只適合于描述簡(jiǎn)單形體。對(duì)于由自由曲面組成的形體，若采用線框模型則只能以小平面片逼進(jìn)的方法近似地進(jìn)行描述。 因此，現(xiàn)代航空航天、電子、汽車以及模具等產(chǎn)品中負(fù)責(zé)、且需要精確描述的

43、曲面只能以第二鐘方法通過參數(shù)方程進(jìn)行描述。,采用第二種方法描述曲面的類型有以下幾種：,掃描曲面（Swept Surface） 直紋面（Ruled Surface） 復(fù)雜曲面（Complex Surface）,1）掃描曲面,根據(jù)掃描方法的不同，又可分為：,生成的曲面有：,線性拉伸面 旋轉(zhuǎn)面 掃成面,2）直紋面 （ruled surface）,直紋面是放樣面的一種。以直線為母線，由一簇直線構(gòu)成的曲面，過曲面上的每一點(diǎn)都存在過該點(diǎn)的直線落在該曲面上。 放樣面定義：給定兩條空間參數(shù)曲線，所定義的面要以這兩條作為面的兩條相對(duì)邊界（在這兩條空間參數(shù)曲線之間進(jìn)行插補(bǔ)）,參數(shù)曲線 曲面演示,復(fù)雜曲面的基本生成

44、原理是：先確定曲面上特定的離散點(diǎn)（型值點(diǎn)）的坐標(biāo)位置，通過擬合使曲面通過或逼近給定的型值點(diǎn)，得到相應(yīng)的曲面。一般，曲面的參數(shù)方程不同，就可以得到不同類型及特性的曲面。,3）復(fù)雜曲面,曲面建模中常見參數(shù)曲面： 孔斯（Coons）曲面 Bezier（貝塞爾）曲面 B樣條（B-spline）曲面 非均勻有理B樣條（ NURBS ）曲面 ,Bezier曲面,Bezier曲面由多邊形面上的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成網(wǎng)格定義。 主要問題是局部形狀控制，因?yàn)橐苿?dòng)多邊形曲面上的一點(diǎn)，就會(huì)影響整個(gè)所有曲面形狀,法國(guó)雷諾汽車公司的工程師P.E. Bzier于1962年獨(dú)創(chuàng)構(gòu)造貝塞爾曲線曲面的方法，法國(guó)Dassault飛機(jī)公司研

45、制的CATIA系統(tǒng)廣泛使用,Bezier曲面由Bezier曲線構(gòu)成,Bezier曲面演示,P(u,0),P(0,v),Bezier曲面的控制網(wǎng)格,B樣條（B-spline）曲面,在曲面 V方向的不同截面上可生成一組(N+1)條B樣條曲線，同樣在曲面 U方向的不同截面也生成一組(M+1)條B樣條曲線。兩組B樣條曲線的直積可構(gòu)成B樣條曲面。,其中，Pi (i=0,1,.,n)是控制多邊形的頂點(diǎn)，Ni,k(t ) (i = 0,1,.,n) 稱為k階(k-1次)B樣條基函數(shù),20世紀(jì)七十年代初，Gordon等人在貝塞爾方法基礎(chǔ)上引入了B樣條方法，克服了貝塞爾方法整體表示的局限，具有局部性質(zhì),B樣條方法仍采用控制頂點(diǎn)定義曲線曲面，但改用特殊基函數(shù)：,孔斯（Coons）曲面,1964年，美國(guó)MIT的 S.A.Coons 提出利用一組有四條邊界的曲面片表示曲面的方法，形成Coons曲面法，Coons曲面先進(jìn)實(shí)用，廣泛應(yīng)用于飛機(jī)制造計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì),Coons曲面是通過一組具有四條