簡諧振動總結(jié)

1、簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動（Simple harmonic motion）（SHM）（直譯簡單和諧運(yùn)動）是最基本也最簡單的機(jī)械振動。當(dāng)某物體進(jìn)行簡諧運(yùn)動時，物體所受的力跟位移成正比，并且總是指向平衡位置。它是一種由自身系統(tǒng)性質(zhì)決定的周期性運(yùn)動。（如單擺運(yùn)動和彈簧振子運(yùn)動）實際上簡諧振動就是正弦振動。故此在無線電學(xué)中簡諧信號實際上就是正弦信號。如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像（x-t圖像）是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運(yùn)動。定義如果做機(jī)械振動的質(zhì)點(diǎn)，其位移與時間的關(guān)系遵從正弦（或余弦）函數(shù)規(guī)律，這樣的振動叫做簡諧運(yùn)動，又名簡諧振動。因此，簡諧運(yùn)動常用作為其運(yùn)動學(xué)定義。其中振

2、幅A，角頻率，周期T，和頻率f的關(guān)系分別為：、?？茖W(xué)結(jié)論振幅、周期和頻率簡諧運(yùn)動的頻率（或周期）跟振幅沒有關(guān)系，而是由本身的性質(zhì)（在單擺中由初始設(shè)定的繩長）決定，所以又叫固有頻率。一般簡諧運(yùn)動周期, 其中m為振子質(zhì)量，k為振動系統(tǒng)的回復(fù)力系數(shù)。一般，若振子受重力與彈力二力等效k=k,但平衡位置為kx=mg時所在位置。單擺運(yùn)動周期其周期（為圓周率）這個公式僅當(dāng)偏角很小時才成立。T與振幅（a5）都和擺球質(zhì)量無關(guān)，僅限于繩長地球半徑。2擴(kuò)展：由此可推出，據(jù)此可利用實驗求某地的重力加速度。周期公式證明為了使示意圖更加簡潔，全部假設(shè)k=1，這樣的話以為F回=-kx（并且在此強(qiáng)調(diào)此處負(fù)號只表示方向，不表示

3、數(shù)值，所以在證明中使用數(shù)值關(guān)系時全部忽略負(fù)號），所以回復(fù)力F數(shù)值上和在圖中的線段長度等于位移x，所以在兩個示意圖中都是用一條線表示的。一般簡諧運(yùn)動周期公式證明因為簡諧運(yùn)動可以看做圓周運(yùn)動的投影，所以其周期也可以用圓周運(yùn)動的公式來推導(dǎo)。圓周運(yùn)動的；很明顯v無法測量到，所以根據(jù)得到。其中向心力F便可以用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換回復(fù)力得到即（F=-kx中負(fù)號只表示方向，所以在這省略）。 所以得到；因為x與r之間的關(guān)系是：x=rcos，所以上式繼續(xù)化簡得到：。然后再將v帶入之前的圓周運(yùn)動T中，即可得到。單擺周期公式證明首先必須明確只有在偏角不太大的情況（高中課本認(rèn)為小于5均可）下，單擺的運(yùn)動可以近似地視為簡諧運(yùn)動

4、。見示意圖，在偏角很小時，我們可以近似的看做圖中紅色箭頭即位移x（回復(fù)力）垂直于平衡位置。于是我們便可以得到sin。同時因為回復(fù)力為重力與速度平行方向上的分力即圖中重力分力2，重力分力1即L的延長線。于是我們可以得到AOB與重力和它的分力所構(gòu)成的三角形相似（注意相似時的三角形方向）即可得到： 單擺周期公式證明注意：此處比例關(guān)系中的位移x雖然在k=1的假設(shè)下數(shù)值上等于回復(fù)力F，但是必須清楚在意義上G2才是真正的回復(fù)力F，因為回復(fù)力F為重力與速度平行方向上的分力即G25。于是根據(jù)相似我們可以得到，于是化簡得到，于是得到，然后將這個轉(zhuǎn)換帶入一般簡諧運(yùn)動周期公式便得到了單擺的周期公式。運(yùn)動方程推導(dǎo)定義

5、：一個做勻速圓周運(yùn)動的物體在一條直徑上的投影所做的運(yùn)動即為簡諧運(yùn)動：若：將R記為勻速圓周運(yùn)動的半徑，即：簡諧運(yùn)動的振幅；將記為勻速圓周運(yùn)動的角速度，即：簡諧運(yùn)動的圓頻率，則：；將記為 t=0 時勻速圓周運(yùn)動的物體偏離該直徑的角度（逆時針為正方向），即：簡諧運(yùn)動的初相位。則，在t時刻：簡諧運(yùn)動的位移x=Rcos（t+）；簡諧運(yùn)動的速度v=-Rsin（t+）；簡諧運(yùn)動的加速度a=-2Rcos（t+），上述三式即為簡諧運(yùn)動的方程。簡單推導(dǎo)根據(jù)簡諧運(yùn)動的定義，簡諧運(yùn)動與圓周運(yùn)動示意圖在右圖的示意圖中，我們可以清晰的看出上面各個概念在途中的表示。O點(diǎn)為圓心，也為簡諧運(yùn)動的平衡位置。對位移的推導(dǎo)使用三角函

6、數(shù)的有關(guān)知識（t+）即角度,運(yùn)用三角函數(shù)便求出了O點(diǎn)與結(jié)束位置的距離，即位移。（此圖中位移為負(fù)數(shù)，即設(shè)定左邊方向為正方向）所以得出方程x=Rcos（t+）。因為速度即為，運(yùn)用微積分的知識對位移方程進(jìn)行微分，便可得到導(dǎo)數(shù)=-Rsin（t+），即v=-Rsin（t+）。同理，加速度為，也可以寫為（二次導(dǎo)數(shù)），于是我們再次對速度方程進(jìn)行微分，得到二次導(dǎo)數(shù)=-2Rcos（t+），即a=-2Rcos（t+）。說明1、這個運(yùn)動是假設(shè)在沒有能量損失引至阻力的情況而發(fā)生。2、做簡諧運(yùn)動的物體的加速度跟物體偏離平衡位置的位移大小成正比，方向與位移的方向相反，總指向平衡位置。嚴(yán)格推導(dǎo)右圖是用微分方程法對簡諧運(yùn)動的

7、物理過程的詳細(xì)推導(dǎo)，其中的表達(dá)式都用嚴(yán)格的公式給出：微分方法十個“不一定”簡諧運(yùn)動是最簡單、最基本的機(jī)械振動，是物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)力作用下的振動。簡諧運(yùn)動也是高中物理部分的重點(diǎn)知識之一。弄清簡諧運(yùn)動的規(guī)律對進(jìn)一步學(xué)習(xí)機(jī)械波、交流電、電磁波等具有非常重要的意義。筆者針對怎樣理解簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)和規(guī)律提出以下十個“不一定”。一、物體運(yùn)動的路線不一定都是直線例如，單擺擺球做簡諧運(yùn)動時的運(yùn)動路線是在擺球平衡位置兩側(cè)并通過平衡位置的一段圓弧，即擺球的運(yùn)動路線為曲線。二、物體運(yùn)動的速度方向與位移方向不一定相同簡諧運(yùn)動的位移指的是振動物體偏離平衡位置的位移，位移的起

8、點(diǎn)總是在平衡位置，那么當(dāng)物體遠(yuǎn)離平衡位置時位移方向與速度方向相同，靠近平衡位置時位移方向與速度方向相反。三、振動物體所受的回復(fù)力方向與物體所受的合力方向不一定相同例如，單擺在平衡位置附近（小角度范圍內(nèi)）的擺動既做圓周運(yùn)動，又做簡諧運(yùn)動，擺球所受到的各個力的合力既要提供其做圓周運(yùn)動的向心力，又要提供其做簡諧運(yùn)動的回復(fù)力，即單擺振動過程中擺球受到所有力的合力的一個分力提供向心力，另一個分力提供回復(fù)力。那么回復(fù)力方向就與擺球所受到的各力的合力方向不相同。四、物體在平衡位置不一定處于平衡狀態(tài)例如，單擺擺球做簡諧運(yùn)動經(jīng)過平衡位置時，由于擺球的平衡位置在圓弧上，擺球在圓弧上做圓周運(yùn)動需要向心力，故擺球在平

9、衡位置處懸繩的拉力大于擺球的重力，即擺球在平衡位置并非處于平衡狀態(tài)。五、物體在四分之一周期內(nèi)通過的路程不一定等于振幅做簡諧運(yùn)動的物體在一個運(yùn)動周期的時間內(nèi)通過的路程是振幅的4倍，在半個周期的時間內(nèi)通過的路程是振幅的2倍，但是在四分之一周期時間內(nèi)通過的路程就不一定等于振幅。雖然當(dāng)物體從平衡位置向最大位移運(yùn)動四分之一周期時間或從最大位移向平衡位置運(yùn)動四分之一周期時間，物體通過的路程都等于振幅，但是當(dāng)物體從平衡位置和最大位移之間的某一位置開始運(yùn)動四分之一周期時間通過的路程就不等于振幅了。因為做簡諧運(yùn)動的物體在平衡位置附近速度比在最大位移附近速度大，故物體從平衡位置和最大位移之間的某一位置向平衡位置方

10、向運(yùn)動并通過平衡位置的四分之一周期時間內(nèi)通過的路程就大于振幅，而向最大位移方向運(yùn)動并返回的四分之一周期時間內(nèi)通過的路程就小于振幅。六、簡諧運(yùn)動的振動快時物體的運(yùn)動不一定快簡諧運(yùn)動的振動快慢由振動周期或頻率反映，周期小振動快，周期大振動慢；而做簡諧運(yùn)動的物體運(yùn)動快慢則由物體運(yùn)動的瞬時速度反映，在某時刻瞬時速度大則運(yùn)動快，反之則運(yùn)動慢。同時簡諧運(yùn)動的振動快慢是由振動系統(tǒng)的本身決定的，而做簡諧運(yùn)動物體的運(yùn)動快慢則由振動物體的位置和儲存在振動系統(tǒng)中的能量決定。所以簡諧運(yùn)動振動快，物體在某時刻的運(yùn)動不一定快。七、單擺的擺長短，周期不一定小單擺振動的周期不但與擺長有關(guān)，而且還與單擺所在處重力加速度一定時擺

11、球懸點(diǎn)的加速度有關(guān)，當(dāng)擺球懸點(diǎn)的加速度為零時，擺長越短，周期就越小。那么當(dāng)把擺長較短的單擺放在加速下降的升降機(jī)中時，由于單擺處于失重狀態(tài)，故單擺振動的周期也可以比放在地面上懸點(diǎn)加速度為零的擺長較長的單擺振動周期大，當(dāng)單擺處于完全失重狀態(tài)時，單擺振動周期為無窮大，單擺處于停振狀態(tài)。八、單擺擺球處在平衡位置時擺線不一定在豎直方向單擺擺球的平衡位置處在懸點(diǎn)正下方的條件是擺球懸點(diǎn)的加速度為零或有加速度但加速度在豎直方向，否則擺球的平衡位置就不在擺球懸點(diǎn)的正下方。例如，單擺懸掛在水平方向加速運(yùn)動的小車中，擺球處在平衡位置時，懸線就不在豎直方向，且小車的加速度越大，擺球在平衡位置時懸線與豎直方向的夾角也越

12、大。九、物體每次通過同一位置時，同一物理量不一定相同由于簡諧運(yùn)動具有周期性，故描述物體運(yùn)動狀態(tài)的物理量以及所受的回復(fù)力都在隨時間做周期性變化，這樣物體每次通過運(yùn)動路線上的同一位置時，同一物理量也就不一定相同。其中通過同一位置時相同的物理量是位移、動能、回復(fù)力、以及回復(fù)力產(chǎn)生的加速度，而速度、動量這兩個物理量在物體連續(xù)通過同一位置時就不相同，這是因為速度、動量是矢量，其方向與運(yùn)動方向相同，而物體連續(xù)通過同一位直時運(yùn)動方向是相反的，所以物體每次通過同一位置時，同一物理量不一定相同。十、運(yùn)動物體在半個周期內(nèi)回復(fù)力做功一定為零，但回復(fù)力的沖量不一定為零做簡諧運(yùn)動的物體在任意半個周期的前后瞬間，其速度大

13、小一定相同，速度方向可能是相同的，也可能是相反的。故由動能定理和動量定理知，物體在半個周期內(nèi)回復(fù)力做功一定為零，回復(fù)力的沖量不一定為零。回復(fù)力定義：振子受迫使它回復(fù)平衡位置的力，是合外力平行于速度方向上的分力。如果用F表示物體受到的回復(fù)力，用x表示小球?qū)τ谄胶馕恢玫奈灰疲鶕?jù)胡克定律，F(xiàn)和x成正比，它們之間的關(guān)系可用下式來表示：F = -kx式中的k是比例系數(shù)（只是在彈簧振子系統(tǒng)中k恰好為勁度系數(shù)），負(fù)號的意思是：回復(fù)力的方向總跟物體位移的方向相反。負(fù)號只代表方向，不代表數(shù)值正負(fù)。阻尼振動阻尼振動：在阻力作用下的振動，當(dāng)阻力大小可以忽略時，可以說是簡諧運(yùn)動。性質(zhì)：受到的阻力越大，振幅越??；反之，受到的阻力越小，振幅越大。振動方程：x=Ae-ntsin（wt+）.效果：振動過程中受到阻力的作用，振幅逐漸減小，能量逐漸損失，直至振動停止。但整個過程中振動的頻率不變。受迫振動和共振受迫振動受迫振動：振動系統(tǒng)在周期性驅(qū)動力作用下的振動。穩(wěn)定時，系統(tǒng)的振動頻率等于驅(qū)動力的頻率，跟系統(tǒng)的固有