概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件(第4章)

1、.第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征指聯(lián)系于分布函數(shù)的某些數(shù)，如平均值，離散程度等. 本章介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)、矩等.4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4.1 甲、乙兩射擊手擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)用隨機(jī)變量、表示，它們的分布分別如下：.試比較甲、乙兩射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣. 解 假設(shè)甲、乙兩射擊手分別射擊次，則射擊手甲擊中的總環(huán)數(shù)為，平均環(huán)數(shù)為 ；射擊手乙擊中的總環(huán)數(shù)為，平均環(huán)數(shù)為 .上述平均環(huán)數(shù)可以告訴我們，射擊手乙的射擊技術(shù)優(yōu)于射擊手甲. 從例4.1可以看出，在大量次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的平均值總是穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近，這個(gè)常數(shù)就是將分布列表中各組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)相乘所得乘積的總和，

2、據(jù)此，我們給出隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義.定義4.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為.如果，則稱 =. （4.1）為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值. 若不收斂，則稱的數(shù)學(xué)期望不存在.精品.類似地給出連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義.定義4.2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為.如果，則稱 =. （4. 2）為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值.若不收斂，則稱的數(shù)學(xué)期望不存在. 例4.2 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里，某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間（以分種計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，求. 解 = （min） . 例4.3 柯西分布的密度函數(shù)為.求. 解 因?yàn)?/p>

3、，故不存在.4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望按照隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義，由其分布唯一確定，如今若要求隨機(jī)變量的一個(gè)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，可以通過下面的一個(gè)定理來求得.定理4.1 設(shè)是隨機(jī)變量的函數(shù)：（為連續(xù)函數(shù)）.（1）是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為，若精品.絕對(duì)收斂，則有 （4. 3）（2）是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的密度函數(shù)為.若絕對(duì)收斂，則有. （4. 4）定理4.1的重要意義在于當(dāng)求時(shí)，不必先算出的分布.類似于一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，此定理還可以推廣到多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.定理4.2 設(shè)是二維隨機(jī)變量（，）的函數(shù)：（為連續(xù)函數(shù)）.（1）若二維隨機(jī)變量（，）的分布律，則有. （4. 5）

4、（2）若二維隨機(jī)變量（，）的密度函數(shù)為，則有 （4. 6）這里，假設(shè)（4.5），（4.6）的右端都是絕對(duì)收斂的.例4.4 設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為 .求e(e-3x). 解 .例4.5 設(shè)隨機(jī)變量（，）服從二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.解 精品. .4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 以下假設(shè)所涉及的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在.性質(zhì)1 設(shè)是常數(shù)，則有.性質(zhì)2 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則有.性質(zhì)3 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有. 推論 設(shè)有隨機(jī)變量則有.性質(zhì)4 設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有.性質(zhì)1和性質(zhì)2可以自己證明.下面就連續(xù)情形給出性質(zhì)3和性質(zhì)4的證明，對(duì)于離散情形，讀者只要將證明中的“積分”用

5、“和式”代替，就能得到證明.證明（性質(zhì)3） 設(shè)二維隨機(jī)變量（）的密度函數(shù)為，其邊緣密度函數(shù)為，.由隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望知道， . 證明（性質(zhì)4） 因是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，于是 =.例4.6 機(jī)場(chǎng)大巴載有20位旅客自起點(diǎn)站開出，途經(jīng)10個(gè)站點(diǎn).設(shè)每位旅客在各個(gè)站點(diǎn)下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨(dú)立.以表示停車的次數(shù)，求.精品.解 引入隨機(jī)變量.易知 .按題意，任一旅客在第站不下車的概率是，因此位旅客都不在第站下車的概率為，在第站有人下車的概率為，也就是.進(jìn)而，有 .本題是將分解成若干個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)來求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義.4.2 隨機(jī)變量的方差

6、4.2.1 方差的定義例4.1曾用平均環(huán)數(shù)來評(píng)判甲、乙兩個(gè)射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣，如果二者平均環(huán)數(shù)相同，那么僅用平均環(huán)數(shù)就無法科學(xué)地評(píng)判兩個(gè)射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣，如下例.例4.7 甲、乙兩射擊手擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)用隨機(jī)變量、表示，它們的分布分別如下：.2.3.試比較甲、乙兩射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣. 解 假設(shè)甲、乙兩射擊手分別射擊次，則射擊手甲擊中的平均環(huán)數(shù)為 ；射擊手乙擊中的平均環(huán)數(shù)為 .精品.其實(shí), 還可以進(jìn)一步考察射擊手環(huán)數(shù)與平均環(huán)數(shù)的偏離程度，若偏離程度較小，則表示成績(jī)比較穩(wěn)定.從這個(gè)意義上說，我們認(rèn)為甲射擊手相對(duì)于乙射擊手較穩(wěn)定.由此可見，討論隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分有必要的.那么用怎

7、樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢？因?yàn)?可能為正，也可能為負(fù)，為了避免正負(fù)偏離相互抵消，自然而然會(huì)考慮取，但是絕對(duì)值運(yùn)算不方便. 為了便于運(yùn)算方便，通常是取，然后求其均值就可以作為刻畫隨機(jī)變量的“波動(dòng)”程度，這個(gè)量被稱作為隨機(jī)變量的方差.定義4.3 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,若存在,則稱為隨機(jī)變量的方差, 記為或，即. （4.7）稱方差的算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的功能相似，它們都是用來描述隨機(jī)變量取值的集中與分散程度的兩個(gè)特征數(shù)，若的取值比較集中，則較小，若的取值比較分散，則較大.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別主要在量綱上，由于標(biāo)準(zhǔn)差與所討論的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所以在實(shí)際中

8、，人們比較喜歡選用標(biāo)準(zhǔn)差，但標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算必須通過方差才能計(jì)算.由定義4.3知道，方差實(shí)際上就是隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，于是，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，按（4. 7）式有， （4.8）其中為的分布律.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，按（4.7）式有， （4.9）其中為的密度函數(shù).隨機(jī)變量的方差可按下面公式計(jì)算：精品. . （4.10）事實(shí)上，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3得 . 4.2.2 方差的性質(zhì)下面給出數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)常用性質(zhì),以下假設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是存在的.性質(zhì)1 .性質(zhì)2 設(shè)是常數(shù)，則有.性質(zhì)3 是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則有.性質(zhì)4 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有.特別地, 若相互獨(dú)立,則有.證明 又

9、.若相互獨(dú)立,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4知道,于是有.精品.同理可證明 .這一性質(zhì)可推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.例如，若且它們相互獨(dú)立，則它們的線性組合：（是不全為的常數(shù)）仍服從正態(tài)分布，于是由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知道：. 這是一個(gè)重要的結(jié)果.例4.8 若且它們相互獨(dú)立，求隨機(jī)變量函數(shù)的分布. 解，故.4.3 常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差1.兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差設(shè)隨機(jī)變量，則，.證明 ，而由公式（4.10）知.2.二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差設(shè)則,.證明 由于隨機(jī)變量，即 ，所以 =精品. .于是.3.泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差設(shè)，則,.證明 由于隨機(jī)變量的分布律為.所以隨機(jī)變量的數(shù)

10、學(xué)期望為，即 . 精品. 所以隨機(jī)變量的方差為.由此，泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差相等，都等于.又泊松分布只含有一個(gè)參數(shù)，只要知道它的數(shù)學(xué)期望或方差就能完全確定它的分布了.4.幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差設(shè)，則，.證明 由于隨機(jī)變量的分布律為 ， 則稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為 . ，所以隨機(jī)變量的方差為. 5.均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差 設(shè)，則, . 證明 由于隨機(jī)變量的密度函數(shù)為所以的數(shù)學(xué)期望為.精品.即服從均勻分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn). .6.指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差 設(shè)，則, .證明 由于的密度函數(shù)為，所以的數(shù)學(xué)期望為. 于是 .7.正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差設(shè),則, .證明 先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變

11、量的數(shù)學(xué)期望和方差.的密度函數(shù)為，于是 精品. =1.因，即得 .就是說，正態(tài)分布的概率密度中的兩個(gè)參數(shù)和分別就是該分布的數(shù)學(xué)期望和均方差，因而正態(tài)分布完全由它的數(shù)學(xué)期望和方差所決定.4.4 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)對(duì)二維隨機(jī)變量（），除討論的數(shù)學(xué)期望和方差外，還有必要考察這兩個(gè)隨機(jī)變量之間相互關(guān)系. 由方差的性質(zhì)可知，若與相互獨(dú)立，則.即當(dāng)時(shí)，與一定不獨(dú)立.這說明的數(shù)值在一定程度上反映了與的相互間的聯(lián)系.定義4.4 稱為隨機(jī)變量與的協(xié)方差.記為，即. （4.12）而 稱為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù).記為.是一個(gè)無量綱的量.即 （4.13）由協(xié)方差的定義知它具有下列性質(zhì)：1.=，.2.，是常數(shù).精品.3.下

12、面以定理的形式給出兩條重要的性質(zhì).定理4.3 設(shè)隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)為，則（1）； （2）的充要條件是存在常數(shù)使.其中當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.證明（略）.由定理4.3（2）知，之間以概率1存在線性關(guān)系.是一個(gè)可以用來表征，之間線性關(guān)系緊密程度的量.當(dāng)較大時(shí)，通常說，之間線性關(guān)系程度較好；當(dāng)較小時(shí)，通常說，之間線性關(guān)系程度較差.當(dāng)時(shí)，稱和不相關(guān). 假設(shè)隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)存在.當(dāng)和相互獨(dú)立時(shí)，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知，從而，即和不相關(guān).反之，若和不相關(guān)，和不一定獨(dú)立.上述情況，從“不相關(guān)”和“相互獨(dú)立”的含義來看是明顯的，這是因?yàn)椴幌嚓P(guān)只是就線性關(guān)系來講的，而相互獨(dú)立是就一般關(guān)系而言的. 例4.8 設(shè)二維

13、隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為.試驗(yàn)證和不相關(guān)，但和不是相互獨(dú)立的.解 先求邊緣密度函數(shù)；及.經(jīng)計(jì)算知， ，從而精品.和不相關(guān).但由于，所以和不獨(dú)立.例4.9 已知隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布，且和的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，（1）求的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）求和的相關(guān)系數(shù)；（3）問和是否獨(dú)立？為什么？解 （1）； （2） （3）由于（，）不一定服從二維正態(tài)分布，故由不能確定和是否相互獨(dú)立.例4.10（二維正態(tài)分布）設(shè)服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為（為5個(gè)常數(shù)，且，）.求和的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).精品.解 由例3.9可知，的邊緣概率密度為 .故知.而 令，則有 .于是 .這就是說，二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率密度中的參

14、數(shù)就是和的相關(guān)系數(shù)，因而二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的分布完全可由各自的數(shù)學(xué)期望、方差和它們的相關(guān)系數(shù)所確定.在第3章中我們知道，若服從二維正態(tài)分布，那么和相互獨(dú)立的充要條件為.現(xiàn)在我們知道，故知對(duì)于二維正態(tài)分布隨機(jī)變量來說，和不相關(guān)與和相互獨(dú)立是等價(jià)的.4.5 其他特征數(shù)精品.前面討論了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差及協(xié)方差這些數(shù)字特征，本節(jié)再介紹隨機(jī)變量的矩、變異系數(shù)和分位數(shù)這3個(gè)重要的特征數(shù).4.5.1 階矩定義4.5 設(shè)，是隨機(jī)變量，是正整數(shù).若以下的數(shù)學(xué)期望都存在，則稱 （4.13）為的階原點(diǎn)矩. 稱 （4.14）為的階中心矩. 稱 （4.15）為和的階混合中心矩.顯然，的數(shù)學(xué)期望就是一階原點(diǎn)矩，

15、方差就是二階中心矩.協(xié)方差就是的二階混合中心矩.例4.11 設(shè)隨機(jī)變量，則.證明略. 4.5.2 變異系數(shù)方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度，但在比較兩個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)大小時(shí)，如果僅看方差（或標(biāo)準(zhǔn)偏差）的大小有時(shí)會(huì)產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象.這有兩個(gè)原因：（1）隨機(jī)變量的取值有量綱，不同的量綱的隨機(jī)變量用其方差（或標(biāo)準(zhǔn)偏差）去比較它們的波動(dòng)不太合理.（2）在取值的量綱相同的情況下，取值的大小有一個(gè)相對(duì)性問題，取值較大的隨機(jī)變量的方差（或標(biāo)準(zhǔn)偏差）也允許大一些.所以要比較2個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)大小時(shí)，有時(shí)使用以下定義的變異系數(shù)來比較，更具可比性. 設(shè)隨機(jī)變量的二階矩存在，則稱比值 （4.16）為的變

16、異系數(shù).因?yàn)樽儺愊禂?shù)是以其數(shù)學(xué)期望為單位去度量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的特征，標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)學(xué)期望的量綱是一致的，所以變異系數(shù)是一個(gè)無量綱的量.例4.12 用表示某種同齡樹的高度，其量綱是米（），用表示某年齡段人的身高，其量綱也是米（）.設(shè),你是否可以認(rèn)為從精品.和就認(rèn)為的波動(dòng)??？這就有一個(gè)取值相對(duì)大小的問題.在此用變異系數(shù)進(jìn)行比較是恰當(dāng)?shù)?因?yàn)榈淖儺愊禂?shù)為,而的變異系數(shù)為, 這說明的波動(dòng)比波動(dòng)大.4.5.3分位數(shù) 定義4.6 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為.對(duì)任意的，稱滿足條件 （4.17）的為此分布的分位數(shù)（或分位點(diǎn)），又稱下側(cè)分位數(shù). 分位數(shù)是把密度函數(shù)下的面積分為兩塊，左側(cè)面積恰好為

17、（見圖4-1（a）.圖4-1 分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)的區(qū)別同理, 我們稱滿足條件 （4.18）的為此分布的上側(cè)分位數(shù). 上側(cè)分位數(shù)把密度函數(shù)下的面積分為兩塊，但右側(cè)面積恰好為（見圖4-1（b）.下側(cè)分位數(shù)和上側(cè)分位數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)換的，其轉(zhuǎn)換公式為 ； . （4.19）例如，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)記為，它是方程精品. 的唯一解，其解為，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù). 我們利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，可由查得，譬如.分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常被使用，特別對(duì)統(tǒng)計(jì)中常用的三大分布：分布、分布和分布，都特別編制了它們的分位數(shù)表.以后分別以，記這些分布的分位數(shù).4.5.4 偏度系數(shù) 定義4.7 設(shè)隨機(jī)變量的三階矩存在，則稱比值 （4.20）為隨機(jī)變量分布的偏度系數(shù)，簡(jiǎn)稱偏度. 偏度系數(shù)可以描述分布的形狀特征，其取值的正負(fù)反映的是當(dāng)時(shí)，分布為正偏或右偏，見圖4-2（a）；當(dāng)時(shí)，分布關(guān)于其均值對(duì)稱，見圖