概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) (2)

1、.莁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)罿第一章 概率論的基本概念蠆2樣本空間、隨機(jī)事件蚃1事件間的關(guān)系 則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生肅 稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生蚈 稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生蝿 稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生肄 ，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的蒁 ，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件螁2運(yùn)算規(guī)則 交換律 衿結(jié)合律蒅分配律芃 蒀徳摩根律羈3頻率與概率袆定義 在相同的條件下，

2、進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件A發(fā)生的頻率蟻概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），稱為事件的概率艿1概率滿足下列條件：羈（1）非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A 芇（2）規(guī)范性：對(duì)于必然事件S 莃（3）可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，有（可以?。┕?jié)2概率的一些重要性質(zhì)：肈（i） 莄（ii）若是兩兩互不相容的事件，則有（可以取）肅（iii）設(shè)A，B是兩個(gè)事件若，則，肁（iv）對(duì)于任意事件A，膈（v） （逆事件的概率）螅（vi）對(duì)于任意事件A，B有薂4等可能概型（古典概型）袀等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包

3、含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同羋若事件A包含k個(gè)基本事件，即，里膅5條件概率（1）（2） 芄定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且，稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率（3）（4） 薈條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件莈1。非負(fù)性：對(duì)于某一事件B，有薆 2。規(guī)范性：對(duì)于必然事件S， 螂3可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有（5）（6） 蟻乘法定理 設(shè)，則有稱為乘法公式蒈（7）（8） 螃全概率公式： 蒄貝葉斯公式： 莀6獨(dú)立性薈定義 設(shè)A，B是兩事件，如果滿足等式，則稱事件A,B相互獨(dú)立膄定理一 設(shè)A，B是兩事件，且，若A，B相互獨(dú)立，則袂定理二 若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件

4、也相互獨(dú)立：A與腿第二章 隨機(jī)變量及其分布薇1隨機(jī)變量薅定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量蚄2離散性隨機(jī)變量及其分布律12 膂離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量蚇滿足如下兩個(gè)條件（1），（2）=134 羆三種重要的離散型隨機(jī)變量肂羈（1）0-1分布螇 設(shè)隨機(jī)變量X只能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是，則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布或兩點(diǎn)分布。莇（2）伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布螄 設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與，則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)，此時(shí).將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯

5、努利實(shí)驗(yàn)。螀 滿足條件（1），（2）=1注意到是二項(xiàng)式的展開式中出現(xiàn)的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。袇（3）泊松分布蒄 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率為 其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為芁3隨機(jī)變量的分布函數(shù)蕿定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) 羇稱為X的分布函數(shù)襖分布函數(shù)，具有以下性質(zhì)(1) 是一個(gè)不減函數(shù) （2） （3）羃4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度薁 連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負(fù)可積函數(shù)，使對(duì)于任意函數(shù)x有則稱x 為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度肇1 概

6、率密度具有以下性質(zhì)，滿足（1）；芅（3）；（4）若在點(diǎn)x處連續(xù)，則有蒁2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量莀膇 (1)均勻分布蚆若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有概率密度，則成X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布.記為膃 (2)指數(shù)分布聿若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度為 其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。膆（3）正態(tài)分布肇若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的正態(tài)分布或高斯分布，記為薁特別，當(dāng)時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布膂5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布芆定理 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度又設(shè)函數(shù)處處可導(dǎo)且恒有，則Y=是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為芄第三章 多維隨機(jī)變量芃1二維隨機(jī)變量袁定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是和是

7、定義在S上的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量（X，Y）叫做二維隨機(jī)變量莆設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)蚅如果二維隨機(jī)變量（X，Y）全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，則稱（X，Y）是離散型的隨機(jī)變量。肅我們稱為二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布律。蝕對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f（x，y），使對(duì)于任意x，y有則稱（X，Y）是連續(xù)性的隨機(jī)變量，函數(shù)f（x，y）稱為隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。蒆2邊緣分布肆二維隨機(jī)變量（X，Y）作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)

8、.而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為，依次稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。蒃 分別稱為（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。葿 分別稱，為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。薆3條件分布蕆定義 設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若膄則稱為在條件下隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣為在條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。蒂設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為，（X，Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為，若對(duì)于固定的y，0，則稱為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為=蚆4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 薃定義 設(shè)及，分別是二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)及邊緣

9、分布函數(shù).若對(duì)于所有x,y有，即，則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。螞對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y），X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)芀5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布蚆1，Z=X+Y的分布羄 設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度.則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為或莄又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為則 和這兩個(gè)公式稱為的卷積公式罿有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布肀2，蒞設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度，則袂仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為則可化為 肂3膀設(shè)X

10、，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為由于不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有又由于X和Y相互獨(dú)立，得到的分布函數(shù)為螆的分布函數(shù)為薄第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征螁1數(shù)學(xué)期望艿定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，k=1,2，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即膇 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，若積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即羂定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=(g是連續(xù)函數(shù))薀（i）如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為，k=1,2，若絕對(duì)收斂則有荿（ii）如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為，若絕對(duì)收斂則有芄數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)蚄

11、1設(shè)C是常數(shù)，則有荿2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有荿3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有；蚅4設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有膂2方差莂定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為X的方差，記為D（x）即D（x）=，在應(yīng)用上還引入量，記為，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。葿肆方差的幾個(gè)重要性質(zhì)袃1設(shè)C是常數(shù)，則有膁2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有，蕿3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有蒆4的充要條件是X以概率1取常數(shù)，即莁切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，則對(duì)于任意正數(shù)，不等式成立罿3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)蠆定義 量稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為，即蚃而稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)肅對(duì)于任

12、意兩個(gè)隨機(jī)變量X 和Y，蚈協(xié)方差具有下述性質(zhì)蝿1肄2蒁定理 1 螁 2 的充要條件是，存在常數(shù)a,b使衿當(dāng)0時(shí)，稱X和Y不相關(guān)蒅附：幾種常用的概率分布表芃分布蒀參數(shù)羈分布律或概率密度袆數(shù)學(xué)期望蟻方差艿兩點(diǎn)分布羈芇， 莃節(jié)肈二項(xiàng)式分布莄肅，肁膈螅泊松分布薂袀羋膅芄幾何分布薈均勻分布，指數(shù)分布正態(tài)分布第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1 大數(shù)定律弱大數(shù)定理（辛欣大數(shù)定理） 設(shè)X1，X2是相互獨(dú)立，服從統(tǒng)一分布的隨機(jī)變量序列，并具有數(shù)學(xué)期望.作前n個(gè)變量的算術(shù)平均，則對(duì)于任意，有定義 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)，有，則稱序列依概率收斂于a，記為伯努利大數(shù)定理 設(shè)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

13、中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)0，有或2中心極限定理 定理一（獨(dú)立同分布的中心極限定理） 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差（k=1,2，），則隨機(jī)變量之和， ，定理二（李雅普諾夫定理） 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差記定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量）的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意，有 ；.僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下無(wú)正文 僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and resea