第9周作業(yè)答案

1、1.9 兩個(gè)同心均勻帶電球面, 半徑分別為R1、R2 . 已知外球面電荷面密度為+s , r R2處E 0 .求：(1)內(nèi)球面電荷面密度s 1 (2)兩球面之間r處電場(chǎng)E (3) r R2處E 0和高斯定理 , 兩球面上總電量=0 s1 = - (R2/R1)2 s(2) R2 r R1時(shí) E = - Q r / (4pe0 r3) = - R22s r / (e0 r 3)(3) r 0. (1)把單位正電荷從O沿圓弧OCD到D點(diǎn), 求電場(chǎng)力對(duì)其做功; (2) 把單位負(fù)電荷從D沿AD延長(zhǎng)線移到無(wú)限遠(yuǎn), 求電場(chǎng)力對(duì)其做功.解: (1) q對(duì)正電荷的作用力與位移垂直, 作功為零靜電場(chǎng)力做功與路程

2、無(wú)關(guān), 所以q對(duì)正電荷做功等于從O直接到D做功W=Fdr=qdr/(4pe0 r2)= q/(6pe0 l)(2) W=-qdr/(4pe0 r2)+ qdr/(4pe0 r2) =-q/(12pe0l )+q/(4pe0l )=q/(6pe0 l)說(shuō)明: 只要是將單位負(fù)電荷從O移到無(wú)限遠(yuǎn), 電場(chǎng)力對(duì)其做功都是q/(6pe0 l), 與具體過(guò)程無(wú)關(guān).E1dlE2dSE4E31.16 求證：若E線為平行直線,則E必為勻強(qiáng)場(chǎng)證明：如圖回路 - E1dl+E2 dl=0 E1=E2 如圖高斯面 - E3dS+E4 dS=0 (無(wú)電荷) E3=E4 即: 沿E方向和E的橫截面E處處相等,必為勻強(qiáng)場(chǎng)1.

3、19 長(zhǎng)直共軸內(nèi)外圓筒,半徑為a、b, 其上電荷均布線密度為l、-l .求：(1)U分布 (2)內(nèi)外圓筒的DU解：(1)由場(chǎng)的對(duì)稱性E=Er (柱坐標(biāo)r,f,z) 由高斯定理 rb 時(shí)E=0 , 該區(qū)域與等電勢(shì) U=0 br a時(shí)E=Er=l/(2pe0r) U(r)=Erdr=l(2pe0l) -1 ln(b/r) ar 時(shí)E=0 U(r)=U(a)=l(2pe0)-1 ln(b/a)(2) DU=U(a) - U(b)=U(a)=l(2pe0)-1 ln(b/a)1.20 設(shè)H原子基態(tài)時(shí)核外電荷為球?qū)ΨQ分布，電荷密度為r(r)=-qe-2r/a/(pa3), 其中q為電子電量(大小)、a為

4、波爾半徑。求：(1)核外電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)電位；(2)全部電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)電位。解：建立如圖坐標(biāo)，取核為原點(diǎn)O. 核為質(zhì)子，電量q.(1) 取dv=r2sinqdrdqdfU(核外電荷)=r(r)dV/(4pe0z)=r(r)dfr2drsinq dq/(r2+r2-2rrcosq)1/2qdVrrzOqzP=r(r)r2dr(r2+r2-2rrcosq)1/2/rr=r(r)r2(r+r)-r-rdr/rr=r(r)r2dr/r+r(r)rdr= -(2r2/a2+2r/a+1)e-2r/a-1+(2r/a+1)e-2r/a=(1/a+1/r)e-2r/a-1/r(2) U=U(核外電荷)+U(核

5、電荷)=U(核外電荷)+q/(4pe0r) =(1/a+1/r)e-2r/a說(shuō)明：還可以先由高斯定理計(jì)算出電場(chǎng)強(qiáng)度E，然后按定義計(jì)算電位UQOR1R2R3q2.2 如圖， 半徑為R1的導(dǎo)體球, 球外為同心導(dǎo)體球殼. 已知內(nèi)球電位為零, 球殼帶電Q. 求內(nèi)球電量和球殼電位.解: 設(shè)內(nèi)球電量為q. 則球殼內(nèi)面電荷為-q、球殼外面電荷為(Q+q)于是內(nèi)球電位為U球=(Q+q)(4pe0R3)-q/(4pe0R2)+q/(4pe0R1)=0Q/R3=q(1/R2-1/R1-1/R3)=0q=R1R2Q/(R1R3-R2R3-R1R2)球殼電位為U殼=q/(4pe0R3)-q/(4pe0R3)+(Q+q

6、)(4pe0R3)= (Q+q)(4pe 0R3)=(R1-R2)Q/4pe0(R1R3-R2R3-R1R2)說(shuō)明: 上面多次應(yīng)用均勻帶電球面(q,R)的電位關(guān)系U球面內(nèi)= U球面=q/(4pe0R) U球面外(r) =q/(4pe0r)q1ACBRoqrPq22.5 半徑為R的中性金屬球A內(nèi)有兩個(gè)球形空腔B和C. q1、q2位于B、C的中心.OP=rR. 求：作用在A、q1、q2、q上靜電力解：設(shè)B、C空腔表面均勻帶電 -q1、-q2 ,使q1、-q1在B腔外的電場(chǎng)為零以及q2、-q2在C腔外的電場(chǎng)為零.于是A球表面帶電(q1+q2),這些電荷在表面上不均勻分布, 與q共同作用使整個(gè)球內(nèi)電場(chǎng)

7、為零。這樣所有電荷的在金屬內(nèi)部的總電場(chǎng)為零，由唯一性定理, 上述假設(shè)電荷分布即為真正分布。q1、q2處外電場(chǎng)為零, 受力Fq1=Fq2=0由于rR A表面電荷可看作集中在o處的點(diǎn)電荷，即近似A球表面帶電(q1+q2)在表面上不均勻分布FA= -Fq= q(q1+q2) r /(4pe0r3) 沿其連線為斥力2.9 三個(gè)共軸金屬圓筒，長(zhǎng)度都是l, 半徑分別為a、b、c,里外兩筒用導(dǎo)線連接為一極,中間筒為另一極.略去邊緣效應(yīng),(1)求電容C (2)若l=10cm, a=3.9mm, b=4.0mm, c=4.1mm求C解；設(shè)單位長(zhǎng)度上里外筒各帶l電量中間筒帶電-2l, 電荷在圓筒表面均勻分布,滿足

8、金屬內(nèi)部電場(chǎng)為零的條件里、中間筒之間E1(r)=l / (2pe0r) 沿徑向向外 DU1=l(2pe0) -1 ln(b/a)則里、中間筒構(gòu)成的電容C1=ll /DU1=2pe0l / ln(b/a)類似外、中間筒構(gòu)成的電容C2=2pe0l / ln(c/b)總電容C=C1+C2=2pe0l ln(b/a)+ln(c/b) / ln(b/a) ln(c/b) =2pe0l ln(c/a) / ln(b/a) ln(c/b)代入數(shù)值得：C=4.4510 -10 F=4.45102 pF2.28 長(zhǎng)直導(dǎo)線半徑為a，線電荷密度為l, 產(chǎn)生的電位U(r)= -l ln r / 2pe0+ 常數(shù) . ba .求: 導(dǎo)線與導(dǎo)體平面系統(tǒng)單位長(zhǎng)度電容. bl-lr解：ba 按題義導(dǎo)線電荷分布不受導(dǎo)體影響均勻分布，電位分布如題中所給. 導(dǎo)線的鏡像為 -l , 兩根導(dǎo)線使導(dǎo)體表面電位為零則: 導(dǎo)線與導(dǎo)體間電場(chǎng)為E=lr (2pe0r)-1r-1+ (2b - r)-1導(dǎo)線與導(dǎo)體間電位差為DU= E dr=l (2pe0)-1 r-1 + (2b - r)-1 dr = =l (2pe0)-1 lnl (2pe0)-1 ln(2b/a)單位長(zhǎng)度電容c=l / DU = 2pe0 / ln(2b/a)zaq補(bǔ)2.2