高等數(shù)學：6.1 微分方程的基本概念

1、6.1 微分方程的基本概念,在許多問題中, 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 但是根據(jù)問題所提供的情況, 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關(guān)系式. 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程. 微分方程建立以后, 對它進行研究, 找出未知函數(shù)來, 這就是解微分方程. 本節(jié)通過幾個具體的例題來說明微分方程的基本概念.,設(shè)所求曲線的方程為yy(x), 則,例1 一曲線通過點(1, 2), 且在該曲線上任一點M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程.,解,上式兩端積分 得,因為曲線通過點(1 2),即當x1時 y2 所以,212C,C=1,因此 所求曲線方程為 yx21,說明,當x1時 y2可簡記

2、為y|x12,例2 列車在平直線路上以20m/s的速度行駛; 當制動時列車獲得加速度0.4m/s2. 問開始制動后多少時間列車才能停住, 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?,解,設(shè)列車在開始制動后t秒時行駛了s米 則,s04,s|t020,s|t00,把等式s04兩端積分一次,得s04tC1,再積分一次,得s02t2 C1t C2 (C1 C2都是任意常數(shù)),由s|t020得20C1,由s|t00得0C2,故s02t220t,故s04t 20,s025022050500(m),于是列車在制動階段行駛的路程為,令s0 得t50(s),說明,未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 未知函

3、數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程.,說明,幾個基本概念,微分方程,表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程 叫微分方程,微分方程的階,微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù) 叫微分方程的階,一般n階微分方程的形式為 F(x y y y(n) )0或 y(n)f(x y y y(n1) ),一階的,二階的,說明,微分方程的解,滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解,確切地說 設(shè)函數(shù)y(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù) 如果在區(qū)間I上 Fx (x) (x) (n) (x)0 那么函數(shù)y(x)就叫做微分方程F(x y y y(n) )0在區(qū)間I上的解,在例2中 方程 s04的解有

4、s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t,說明,微分方程的解,滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解,在例2中 方程 s04的解有 s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t,通解,如果微分方程的解中含有任意常數(shù) 且獨立的任意常數(shù)個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 這樣的解叫做微分方程的通解,特解,確定了通解中的任意常數(shù)以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常數(shù)的解叫特解,通解,通解,特解,特解,什么解？,說明,對于一階微分方程 通常用于確定任意常數(shù)的條件是,對于二階微分方程 通常用于確定任意常數(shù)的條件是,例1是求方程y=2x滿足初始條件y|x12的解,例2是求方程s

5、=-0.4滿足初始條件s|t00 s|t020的解,初始條件,用于確定通解中任意常數(shù)的條件 稱為初始條件,初始條件,用于確定通解中任意常數(shù)的條件 稱為初始條件,說明,說明,求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題,初值問題,微分方程的解的圖形是一條曲線 叫做微分方程的積分曲線,積分曲線,求所給函數(shù)的導數(shù),解,k2(C1cos ktC2sin kt)k2(C1cos ktC2sin kt)0.,這表明函數(shù)x=C1cos kt+C2sin kt 滿足所給方程 因此所給函數(shù)是所給方程的解,將條件x|t=0A代入xC1cos ktC2sin kt 得,解,C1A.,將條件x|t=00代入x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得,把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 就得所求的特解為,xAcos kt,C20.,微分方程；,微分方程的階；,微