概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：2_3連續(xù)型隨機(jī)變量

1、2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,一、定義： 設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積 函數(shù)f(x)，使得,則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為 概率密度或密度函數(shù)或密度,二、性質(zhì)： （1） f(x)0,下頁(yè),二、性質(zhì),4）在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處有,5）連續(xù)型隨機(jī)變量取任何實(shí)數(shù)值a的概率等于0,由性質(zhì)(5)可得,下頁(yè),例1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求（1）常數(shù)A,3）分布函數(shù)F(x,解: （1）由于f(x)是一個(gè)密度函數(shù)， 由,解得 A=2/3,注:(1)若概率密度中含有待定常 數(shù)，可由 確定,2)取值于某區(qū)間的概率等 于其密度函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分,下頁(yè),例1.設(shè)隨機(jī)變量

2、X的密度函數(shù)為,求（1）常數(shù)A,3）分布函數(shù)F(x,當(dāng)0 x1時(shí),當(dāng)1x2時(shí),當(dāng)x2時(shí),說(shuō)明：注意分布函數(shù)的自變量取值范圍的劃分,下頁(yè),例2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,求：(1)X的密度函數(shù)f(x)； (2)P1X2,解,2): P1X2=F(2)-F(1),分布函數(shù)為,下頁(yè),一) 均勻分布 如果隨機(jī)變量X的概率密度為,分布函數(shù)為,則稱(chēng)X在區(qū)間a,b上服從均勻 分布。記為XUa,b,得：X 落在a,b內(nèi)任一小區(qū)間c,d內(nèi)的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度 成正比，而與該小區(qū)間的位置無(wú)關(guān),三 、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,下頁(yè),例3.設(shè)隨機(jī)變量X在2，8上服從均勻分布，求二次方 程 y2+2Xy+9=0

3、有實(shí)根的概率,解： 方程有實(shí)根等價(jià)于4X2-360 , 即X3或X-3,由于X服從均勻分布，故X的概率密度為,從而，Py2+2Xy+9=0 有實(shí)根=PX3+PX-3,下頁(yè),二) 指數(shù)分布,其中0是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,分布函數(shù)為,指數(shù)分布常用來(lái)作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的 壽命；動(dòng)物的壽命；電話問(wèn)題中的通話時(shí)間都常假定服從指數(shù) 分布,若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,下頁(yè),例4. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（單位：分）服從參 數(shù)1/5的指數(shù)分布。等待服務(wù)時(shí)間若超過(guò)10分鐘，顧客就會(huì)離 去，若其一個(gè)月到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)顧客未等到服務(wù)而 離開(kāi)窗口的次數(shù)，寫(xiě)出Y的分

4、布律，并求PY1,解： p=PX10=1- PX10,所以Y的分布律為,下頁(yè),三)正態(tài)分布,1. 定義 若X的概率密度為,分布函數(shù)為,其中,(0)為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布。 記作 X N（,2,下頁(yè),2. 正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的圖形的性質(zhì),1）曲線關(guān)于x =對(duì)稱(chēng)。 即 對(duì)于任意的 h 0有,P-h X = P X+h,x 離越遠(yuǎn)，f(x)的值越小。即對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，X 落在離越遠(yuǎn)的區(qū)間，概率越小,2）當(dāng) x =時(shí)，函數(shù)f(x)達(dá)到最大值,下頁(yè),3）拐點(diǎn)：（，f()）； 水平漸近線：ox軸,4) 固定，改變值，曲線 f(x)形狀 不變，僅沿 x 軸

5、平移。可見(jiàn)確定曲線 p(x)的位置,5) 固定，改變值，則愈小時(shí)， f(x)圖形的形狀愈陡峭，X 落在附近的 概率越大,下頁(yè),3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 XN（0，1,當(dāng)= 0，=1時(shí)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn),下頁(yè),4. 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表計(jì)算概率,4) P|X| 1.54 = 1-P|X| 1.54,例5. 設(shè)XN（0，1）,計(jì)算PX2.35 ； P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54； P|X| 1.54,1）PX2.35 =（2.35）= 0.9906,2）P-1.64 X0 .82 = (0.82)-(-1.64,(0.82) -1- (1.64) = 0.7434,3

6、) P|X| 1.54= (1.54) (-1.54) =2(1.54) - 1= 0.8764,下頁(yè),1,2,5. 正態(tài)分布函數(shù)查表計(jì)算,下頁(yè),例6. 設(shè)X N (1，4)，求：(1) PX-2； (2) P2X5；(3) P|X|4,解： （1）PX-2=1 - PX-2,0.9332,1(-1.5)= (1.5,0.9938 - 0.9332= 0.0606,1- (1.5) - (- 2.5) = (2.5) - (1.5,3） P|X|4 = 1-P |X|4 = 1 - P - 4X4,2,0.97720.6915=0.2857,下頁(yè),解: (1)所求概率為 PX60,1-0.84=0.16,2)設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為Y，離散型隨機(jī)變YB(5,0.16,所求概率為PY1,例7.某人上班所需的時(shí)間（單位:分）XN(50,100),已知上班時(shí)間 為早晨8時(shí)，他每天7時(shí)出門(mén)，試求： （1）某天遲到的概率； （2）某周(以5天計(jì))最多遲到一次的概率,下頁(yè),例8.公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下 來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高XN(170,62),問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定,解: 設(shè)車(chē)門(mén)高度為h cm,按設(shè)計(jì)要求,PX h0.01,或 PX h 0.99,下面我們來(lái)求滿足上式的最小的 h,因?yàn)閄N(1