專題四萬(wàn)有引力定律和天體運(yùn)動(dòng)

1、啟東中學(xué) 專題四 萬(wàn)有引力定律和天體運(yùn)動(dòng)重點(diǎn)難點(diǎn)1研究天體運(yùn)動(dòng)的基本方法：研究人造衛(wèi)星、行星等天體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們進(jìn)行了以下近似：中心天體是不動(dòng)的，環(huán)繞天體以中心天體的球心為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；環(huán)繞天體只受到中心天體的萬(wàn)有引力作用，這個(gè)引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力即 G = m2 = m22r = m2（）2r2衛(wèi)星的速度、角速度、加速度、周期和軌道半徑的關(guān)系= ，即線速度 ； = ，即角速度;T = ，即周期T，或 = ，即開(kāi)普勒第三定律;a = ，即向心加速度a3“雙星”和“黑洞”“雙星”是兩顆相距較近，它們之間的萬(wàn)有引力對(duì)兩者運(yùn)動(dòng)都有顯著影響，而其他天體的作用力影響可以忽略的特殊天體系

2、統(tǒng)它們之所以沒(méi)有被強(qiáng)大的引力吸引到一起而保持距離L不變，是因?yàn)樗鼈兝@著共同“中心”以相同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力“黑洞”是近代引力理論預(yù)言的一種特殊天體，它的質(zhì)量十分巨大，以致于其脫離速度有可能超過(guò)其空中的光速，因此任何物體都不能脫離它的束縛，即光子也不能射出已知物體從地球上的脫離速度（即第二宇宙速度）是= ，故一個(gè)質(zhì)量為M的天體，若它是一個(gè)黑體，則其半徑R應(yīng)有：R規(guī)律方法【例1】（05年蘇常等四市）由于萬(wàn)有引力定律和庫(kù)侖定律都滿足于平方反比律，因此引力場(chǎng)和電場(chǎng)之間有許多相似的性質(zhì)，在處理有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以將它們進(jìn)行類比例如電場(chǎng)中反映各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)弱的物理量

3、是電場(chǎng)強(qiáng)度，其定義式為E = ，在引力場(chǎng)中可以有一個(gè)類似的物理量來(lái)反映各點(diǎn)引力場(chǎng)的強(qiáng)弱設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G如果一個(gè)質(zhì)量為m的物體位于距地心2R處的某點(diǎn)，則下列表達(dá)式中能反映該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)弱的是 （AD）AG BG CG D訓(xùn)練題（05年湖北）在某星球表面以初速度0豎直上拋一個(gè)物體，若物體受到該星球引力作用，忽略其他力的影響，物體上升的最大高度為h，已知該星球的直徑為d，如果要在這個(gè)星球上發(fā)射一顆繞它運(yùn)行的衛(wèi)星，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期為 （ A ）A B C D【例2】（05年廣東）已知萬(wàn)有引力常量是G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距

4、地面的高度h，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)周期為T1，地球的自轉(zhuǎn)周期為T2，地球表面的重力加速度g，某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：同步衛(wèi)星繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)，由G = m（）2h，得M = （1）請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確，并說(shuō)明理由，如不正確，請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果（2）請(qǐng)根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果【解析】（1）地球半徑約為6400km，同步衛(wèi)星的高度約為36000km計(jì)算同步衛(wèi)星軌道半徑時(shí)，就不能忽略地球的半徑故題中的結(jié)果是錯(cuò)誤的正確的解法和結(jié)果是：由G = m（）2（R+h），得： M = （2）方法一：由月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，有：G = m（）2r，得：M

5、= 方法二：在地面附近重力近似等于萬(wàn)有引力，由 = mg得：M = 訓(xùn)練題已知物體在質(zhì)量為M、半徑為R的星球表面脫離的速度為= ，其中G = 6.6710-11Nm2/kg2黑洞是一種質(zhì)量十分巨大的特殊天體，因此任何物體（包括光子）都不能脫離它的束縛（1）天文學(xué)家根據(jù)天文觀測(cè)認(rèn)為：在銀河系中心可能存在一個(gè)大黑洞，它的引力使距該黑洞60億千米的星體以2000km/s速度繞其旋轉(zhuǎn)，若視星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求該黑洞的質(zhì)量（2）若黑洞的質(zhì)量等于太陽(yáng)的質(zhì)量M = 2103kg，求它的可能最大半徑（3）在目前的天文觀測(cè)范圍內(nèi)，宇宙的平均密度為10-27kg/m3，若視宇宙是一個(gè)均勻的大球體，光子也不能逃

6、離宇宙，則宇宙的半徑至少應(yīng)為多少?答案：（1）M=361035kg （2）Rm=3103m（3）R41025m【例3】（05年南通）一地球探測(cè)飛船在地球赤道上空繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，用攝像機(jī)拍攝地球表面圖片已知地球的密度為，飛船的飛行周期為T（小于24h）試求攝像機(jī)所能拍攝的總面積與地球表面積之比（萬(wàn)有引力常量為G；球體體積公式為V = r3，r為球半徑；球冠面積公式為S = 2rh，r為球半徑，h為球冠高）【解析】如圖所示，設(shè)地球半徑為r，衛(wèi)星的軌道半徑為R圖中兩個(gè)陰影部分的球冠表面積是不能拍攝到的區(qū)域衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，有： = mR其中地球的質(zhì)量為M，則M = r3圖中球冠的高為h，則h = r

7、（1-cos）其中cos = 而球冠的總面積為 S = 2rh2，地球的表面積為S = 4r2解得攝像機(jī)所能拍攝到的總面積與地球表面積之比為 = 訓(xùn)練題宇宙飛船上的科研人員在探索某星球時(shí)，完成如下實(shí)驗(yàn)：當(dāng)飛船停留在距該星球一定的距離時(shí)，正對(duì)著該星球發(fā)出一個(gè)激光脈沖，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后收到反射回來(lái)的信號(hào)，并測(cè)得此時(shí)刻星球?qū)τ^察者的眼睛所張視角為；當(dāng)飛船在該星球著陸后，科研人員在距星球表面h處以初速度水平拋出一個(gè)小球，并測(cè)出落點(diǎn)到拋出點(diǎn)的水平距離為S。已知萬(wàn)有引力恒量G，光速c，星球的自轉(zhuǎn)影響以及大氣對(duì)物體的阻力均不計(jì)。試根據(jù)以上信息，求：（1）星球的半徑R。（2）星球的質(zhì)量M。答案：，【例4】閱讀下列

8、材料，并結(jié)合該材料解題開(kāi)普勒從1609年1619年發(fā)表了著名的開(kāi)普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)在這些橢圓的一個(gè)公共焦點(diǎn)上第二定律：太陽(yáng)和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等實(shí)踐證明，開(kāi)普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)如果人造地球衛(wèi)星沿半徑為r的圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)，當(dāng)開(kāi)動(dòng)制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)后，衛(wèi)星速度降低并轉(zhuǎn)移到與地球相切的橢圓軌道上，如圖所示問(wèn)在這之后衛(wèi)星經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間著陸?？諝庾枇Σ挥?jì)，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，圓形軌道應(yīng)為橢圓軌道的一種特殊形式【解析】衛(wèi)星在半徑為

9、r的圓軌道運(yùn)動(dòng)有： r得此時(shí)衛(wèi)星的周期為T1 = 2衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，其半長(zhǎng)軸為a = 由開(kāi)普勒第三定律有： = ，得T2 = （R+r）另外，在地球表面時(shí)，近似有： = mg，得 GM = R2g從開(kāi)始制動(dòng)到飛船著陸，經(jīng)過(guò)時(shí)間為t，則t = ，得t = 訓(xùn)練題盧瑟福的粒子散射實(shí)驗(yàn)，建立了原子的核式模型，原子的核式模型又叫做原子的行星模型，這是因?yàn)閮烧咧g有極大的相似之處，帶電粒子間遵循庫(kù)侖定律，而星體之間遵循萬(wàn)有引力定律，兩定律有相同的表達(dá)形式以無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零點(diǎn)，點(diǎn)電荷的電勢(shì)為u = k，可推出氫原子基態(tài)能級(jí)為-136eV（1）令距地球無(wú)窮遠(yuǎn)處為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，計(jì)算：質(zhì)量為1t的衛(wèi)星，

10、繞地表飛行，其總機(jī)械能為多大?（2）再補(bǔ)充多少能量可使它脫離地球的引力?答案：（1）E=311010J（2）E/=311010J能力訓(xùn)練1（05年山東）2005年10月12日，我國(guó)利用“神舟六號(hào)”飛船將宇航員費(fèi)俊龍、聶海勝送入太空，中國(guó)成為繼俄、美之后第三個(gè)掌握載人航天技術(shù)的國(guó)家設(shè)費(fèi)俊龍測(cè)出自己繞地球球心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T離地面的高度為H，地球半徑為R則根據(jù)T、H、R和萬(wàn)有引力恒量G，費(fèi)俊龍不能計(jì)算出下面的哪一項(xiàng)（ C ）A地球的質(zhì)量 B地球的平均密度C飛船所需的向心力 D飛船線速度的大小2（05年南通）如圖在發(fā)射地球同步衛(wèi)星的過(guò)程中，衛(wèi)星首先進(jìn)入橢圓軌道，然后在Q點(diǎn)通過(guò)改變衛(wèi)星速度，讓

11、衛(wèi)星進(jìn)入地球同步軌道，則（ CD ）A該衛(wèi)星的發(fā)射速度必定大于11.2km/sB衛(wèi)星在同步軌道上的運(yùn)行速度大于7.9km/sC在軌道上，衛(wèi)星在P點(diǎn)速度大于在Q點(diǎn)的速度D衛(wèi)星在Q點(diǎn)通過(guò)加速實(shí)現(xiàn)由軌道進(jìn)入軌道3（05年汕頭）“神舟”五號(hào)載人飛船在繞地球飛行的第五圈進(jìn)行變軌，由原來(lái)的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨葹閔的圓形軌道已知飛船的質(zhì)量為m，地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，則飛船在上述圓軌道上運(yùn)行的動(dòng)能 （ B ）A等于mg（R+h） B小于mg（R+h）C大于mg（R+h）D等于mgh4（05年佛山）氫原子中的電子繞原子核旋轉(zhuǎn)和人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)相比較（不計(jì)算空氣阻力），下列說(shuō)法正確的是 （

12、 AB ）A軌道半徑越大，線速度都越小B軌道半徑越大，周期都越大C電子從內(nèi)層軌道向外層軌道躍遷時(shí)，總能量（動(dòng)能和電勢(shì)能）不變，人造衛(wèi)星從遠(yuǎn)地點(diǎn)向近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總能量（動(dòng)能和重力勢(shì)能）也不變D電子可以在大于基態(tài)軌道半徑的任意軌道上運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星可以在大于地球半徑的任意軌道上運(yùn)動(dòng)5我國(guó)的航天技術(shù)正在飛速發(fā)展，在我國(guó)航天史上第一顆人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道為一橢圓，它在近地點(diǎn)時(shí)離地面高度為h，速度為，又知地球半徑為R，地面附近重力加速度為g，則它在近地點(diǎn)時(shí)的加速度大?。?A ）A BCg D6（05年江蘇）某人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的軌道可近似看作是以地心為中心的圓，由于阻力作用，人造衛(wèi)星到地心的距離從r1慢慢變到r

13、2，用Ek1、Ek2分別表示衛(wèi)星在這兩個(gè)軌道上的動(dòng)能，則（ B ）Ar1r2，Ek1Ek2 Br1r2，Ek1Ek2Cr1r2，Ek2Ek2 Dr1r2，Ek1Ek27一顆在赤道上空運(yùn)行的人造衛(wèi)星，其軌道半徑為r=2R (R為地球半徑)，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為，地球表面處的重力加速度為g。（1）求人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。（2）若某時(shí)刻衛(wèi)星通過(guò)赤道上某建筑物的正上方，求它下次通過(guò)該建筑物上方需要的時(shí)間。答案：（1）地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 地面表面附近的重力加速度g = 把r2R代入，解方程可得 （2）衛(wèi)星下次通過(guò)該建筑物上方時(shí)，衛(wèi)星比地球多轉(zhuǎn)2p弧度，所需時(shí)間 8（05年杭州）偵察衛(wèi)星在通過(guò)地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，已知地球半徑為R，地面表面處的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T。 試求該衛(wèi)星