中學(xué)一元二次方程試題及答案

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一、選擇題1. （2011南通）若3是關(guān)于方程x25xc0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（）A、2B、2 C、5D、5分析：由根與系數(shù)的關(guān)系，即3加另一個(gè)根等于5，計(jì)算得解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)另一個(gè)根為x，則3+x=5，即x=2故選B點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，從兩根之和出發(fā)計(jì)算得2. （2011南昌，9，3分）已知x=1是方程x2+bx2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ ）A.1 B.2 C.2 D.1分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1x2=2，即可得出另一根的值解答：解：x=1是方程x2+bx2=0的一個(gè)根，x1x2=2，1x2=2，則方程的另一個(gè)根

2、是：2，故選C點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關(guān)鍵3. （2011湖北荊州，9，3分）關(guān)于x的方程ax2（3a+1）x+2（a+1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x2，且有x1x1x2+x2=1a，則a的值是（）A、1 B、1 C、1或1 D、2分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2= ba，x1x2= ca，整理原式即可得出關(guān)于a的方程求出即可解答：解：依題意0，即（3a+1）28a（a+1）0，即a22a+10，（a1）20，a1，關(guān)于x的方程ax2（3a+1）x+2（a+1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x2，且有x1x1x2+x2=1a，x

3、1x1x2+x2=1a，x1+x2x1x2=1a， 3a+1a 2a+2a=1a，解得：a=1，又a1，a=1故選：B點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，由x1x1x2+x2=1a，得出x1+x2x1x2=1a是解決問題的關(guān)鍵4. （2011湖北咸寧，6，3分）若關(guān)于x的方程x22x+m=0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（）A、3B、1C、1D、3分析：設(shè)方程另一個(gè)根為x1，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+（1）=2，解此方程即可解答：解：設(shè)方程另一個(gè)根為x1，x1+（1）=2，解得x1=3故選D點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x

4、1，x2，則x1+x2=，x1x2=5. （2011貴港）若關(guān)于x的一元二次方程x2mx2=0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（）A、1B、1C、2D、2分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1x2=來求方程的另一個(gè)根解答：解：設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2mx2=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，得x1x2=2，即x2=2，解得，x2=2即方程的另一個(gè)根是2故選C點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系在利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=、x1x2=時(shí)，要注意等式中的a、b、c所表示的含義6. （2011年四川省綿陽市，12，3分）若x1，x2（x1x2）是方程（xa）（xb）=1（ab）的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)x

5、1，x2，a，b的大小關(guān)系為（）A、x1x2ab B、x1ax2b C、x1abx2 D、ax1bx2分析：因?yàn)閤1和x2為方程的兩根，所以滿足方程（xa）（xb）=1，再有已知條件x1x2、ab可得到x1，x2，a，b的大小關(guān)系解答：解：x1和x2為方程的兩根，（x1a）（x1b）=1且（x2a）（x2b）=1，（x1a）和（x1b）同號且（x2a）和（x2b）同號；x1x2，（x1a）和（x1b）同為負(fù)號而（x2a）和（x2b）同為正號，可得：x1a0且x1b0，x1a且x1b，x1a，x2a0且x2b0，x2a且x2b，x2b，綜上可知a，b，x1，x2的大小關(guān)系為：x1abx2故選C點(diǎn)

6、評：本題考查了一元二次方程根的情況，若x1和x2為方程的兩根則代入一定滿足方程，對于此題要掌握同號兩數(shù)相乘為正；異號兩數(shù)相乘為負(fù)7 （2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x2+bx2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）A.1 B.2 C.2 D.1分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1x2=2，即可得出另一根的值解答：解：x=1是方程x2+bx2=0的一個(gè)根，x1x2=2，1x2=2，則方程的另一個(gè)根是：2，故選C點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根之積求出另一根是解決問題的關(guān)鍵8.（2011湖北武漢，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個(gè)根，則x1

7、x2的值是（）A4B3C4D3分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1x2=解答并作出選擇解答：解：一元二次方程x2+4x+3=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1，常數(shù)項(xiàng)c=3，x1x2=3故選B點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系解答此題時(shí)，注意，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1x2=中的a與c的意義二、填空題1. （2011江蘇蘇州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x22x1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（ab）（a+b2）+ab的值等于_考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系專題：計(jì)算題分析：欲求（ab）（a+b2）+ab的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可解答：解：a、b是一元二次方程x

8、22x1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，ab=1，a+b=2，（ab）（a+b2）+ab=（ab）（22）+ab=0+ab=1，故答案為：1點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法2. （2011江蘇鎮(zhèn)江常州，12，3分）已知關(guān)于x的方程x2+mx6=0的一個(gè)根為2，則m=1，另一個(gè)根是3分析：根據(jù)一元二次方程的解定義，將x=2代入關(guān)于x的方程x2+mx6=0，然后解關(guān)于m的一元一次方程；再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=解出方程的另一個(gè)根解答：解：根據(jù)題意，得4+2m6=0，即2m2=0，解得，m=1；由韋達(dá)定理，知x1+x2=m；2+x2=1，解得

9、，x2=3故答案是：13點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程的解根與系數(shù)的關(guān)系在利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=x1x2=來計(jì)算時(shí)，要弄清楚abc的意義3. （2011山東日照，14，4分）如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個(gè)邊長為1的內(nèi)接正方形CDEF，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是如：x2x+1=0分析：連接AD，BD，OD，由AB為直徑與四邊形DCFE是正方形，即可證得ACDDCB，則可求得ACBC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案注意此題答案不唯一解答：解：連接AD，BD，OD，AB為直徑，ADB=90，四邊形DCFE是正

10、方形，DCAB，ACD=DCB=90，ADC+CDB=A+ADC=90，A=CDB，ACDDCB，又正方形CDEF的邊長為1，ACBC=DC2=1，AC+BC=AB，在RtOCD中，OC2+CD2=OD2，OD=，AC+BC=AB=，以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是x2x+1=0故答案為：此題答案不唯一，如：x2x+1=0點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系此題屬于開放題，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用4. （2011德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x1=0的兩個(gè)根，則x12+x22= 分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2和x1x2的值，再利

11、用完全平方公式對所求代數(shù)式變形，然后把x1+x2和x1x2的值整體代入計(jì)算即可解答：解：x1，x2是方程x2+x1=0的兩個(gè)根，x1+x2=1，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（1）22（1）=1+2=3故答案是：3點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式解題的關(guān)鍵是先求出x1+x2和x1x2的值5. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y23y+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為y1、y2，則（y11）（y21）的值為1分析：先根據(jù)一元二次方程y23y+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為y1、y2，求出y1+y2及y1y2的值，再代入（y11）（y21）進(jìn)行計(jì)算即可解答

12、：解：一元二次方程y23y+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為y1y2，y1+y2=3，y1y2=1，（y11）（y21），=y1y2y1y2+1，=y1y2（y1+y2）+1，=13+1，=1故答案為：1點(diǎn)評：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式求值，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=6. （2011四川瀘州，16，3分）已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k22=0的兩實(shí)根的平方和等于11，則k的值為 分析：由題意設(shè)方程x2+（2k+1）x+k22=0兩根為x1，x2，得x1+x2=（2k+1），x1x2=k22，然后再根據(jù)兩實(shí)根的平

13、方和等于11，從而解出k值解答：解：設(shè)方程方程x2+（2k+1）x+k22=0設(shè)其兩根為x1，x2，得x1+x2=（2k+1），x1x2=k22，=（2k+1）24（k22）=4k+90，k，x12+x22=11，（x1+x2）22 x1x2=11，（2k+1）22（k22）=11，解得k=1或3；k，故答案為k=1點(diǎn)評：此題應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題7. （2011四川遂寧，12，4分）若x1、x2是方程x22x5=0的兩根，則x12+x1x2+x22=分析：由于方程x22x5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，

14、所以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到兩根之和和兩根之積，然后利用完全平方公式就可以求出x12+x1x2+x22的值解答：解：x1、x2是方程x22x5=0的兩根，x1+x2=2，x1x2=5， x12+x1x2+x22=（x1+x2）2x1x2=4+5=9故答案為9點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法8. （2011四川省宜賓市，12，3分）已知一元二次方程x26x5=0兩根為a、b，則 + 的值是 分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到a+b=6，ab=5，把a(bǔ)+b和ab的值代入化簡后的代數(shù)式，求出代數(shù)式的值答案：解：a，b是一元二次方程的

15、兩根，a+b=6，ab=5，+ = = = 故答案是： 解：a，b是一元二次方程的兩根，a+b=6，ab=5，+ = = = 故答案是： 點(diǎn)評：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值9.（2011杭州，15，4分）已知分式，當(dāng)x=2時(shí)，分式無意義，則a= ；當(dāng)a6時(shí)，使分式無意義的x的值共有 個(gè)分析：根據(jù)分式無意義的條件：分母等于零求解解答：解：由題意，知當(dāng)x=2時(shí)，分式無意義，分母=x25x+a=2252+a=6+a=0，a=6；當(dāng)x25x+a=0時(shí)，=524a=254a，a6，0，方程x25x+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即x有兩個(gè)不同的值使分式無意義故當(dāng)

16、a6時(shí)，使分式無意義的x的值共有2個(gè)故答案為6，2點(diǎn)評：本題主要考查了分式無意義的條件及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（2）中要求當(dāng)a6時(shí)，使分式無意義的x的值的個(gè)數(shù)，就是判別當(dāng)a6時(shí)，一元二次方程x25x+a=0的根的情況10. （2011廣西來賓，17，3分）已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是。則= 分析：根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=即可得到答案解答：解：一元二次方程x2+mx2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，x1x2=2故答案為2點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系

17、：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=三、解答題1. （2011湖北潛江，17，6分）若關(guān)于x的一元二次方程x24xk30的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x13x2，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系（x1x2，x1x2）列出等式，再由已知條件“x13x2”聯(lián)立組成三元一次方程組，然后解方程組即可解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x24 ，x1x2k3 （2分）又x13x2 ，聯(lián)立、，解方程組得（4分）kx1x233136（5分）答：方程兩根為x13，x21；k6（6分）點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1x2，x1x2解答此題時(shí)，一定要弄清楚韋達(dá)定

18、理中的a、b、c的意義2. （2011南充，18，8分）關(guān)于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和x2（1）求k的取值范圍；（2）如果x1+x2x1x21且k為整數(shù)，求k的值分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足=b24ac0，從而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=2，x1x2=k+1再代入不等式x1+x2x1x21，即可求得k的取值范圍，然后根據(jù)k為整數(shù)，求出k的值解答：解：（1）方程有實(shí)數(shù)根，=224（k+1）0， 解得k0故K的取值范圍是k0（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=2，x1x2=k+1x1+x2x1x2=2

19、（k+1）由已知，得2（k+1）1，解得k2又由（1）k0，2k0k為整數(shù)，k的值為1和0 點(diǎn)評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一定要注意其前提是此方程的判別式03. （2011湖南張家界，23，8）閱讀材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，那么， ，這就是著名的韋達(dá)定理現(xiàn)在我們利用韋達(dá)定理解決問題：已知m與n是方程2x26x+3=0的兩根（1）填空：m+n= ，mn= ；（2）計(jì)算的值分析：（1）直接根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算即可得到m+n和mn；（2）先把變形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整體代入進(jìn)行計(jì)算即可解

20、答：解：（1）答案為3，（2）=2點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x1，x2，則，4. （2011湖北孝感，22，10分）已知關(guān)于x的方程x22（k1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x2|=x1x21，求k的值分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得=b24ac0，代入可解出k的取值范圍；（2）結(jié)合（1）中k的取值范圍，由題意可知，x1+x2=2（k1）0，去絕對值號結(jié)合等式關(guān)系，可得出k的值解答：解：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得=b24ac=4（k1）24k20，解得，k；（2）依據(jù)題意可得，x

21、1+x2=2（k1），由（1）可知k，2（k1）0，2（k1）=k21，解得k1=1（舍去），k2=3，k的值是3答：（1）k的取值范圍是k；（2）k的值是3點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法；注意k的取值范圍是正確解答的關(guān)鍵5. （2011玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x24x+1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根求：（x1+x2）2（）的值分析：先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確定出x1與x2的兩根之積與兩根之和的值，再根據(jù)=即可解答解答：解：一元二次方程x24x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2，x1+x2=4，x1x2=

22、1，（x1+x2）2（）=42=424=4點(diǎn)評：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題型6. （2011貴州遵義，24，10分）有四張卡片（背面完全相同），分別寫有數(shù)字1、2、1、2，把它們背面朝上洗勻后，甲同學(xué)抽取一張記下這個(gè)數(shù)字后放回洗勻，乙同學(xué)再從中抽出一張，記下這個(gè)數(shù)字，用字母b、c分別表示甲、乙兩同學(xué)抽出的數(shù)字。（1）用列表法求關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的概率；（2）求（1）中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的概率?！究键c(diǎn)】列表法與樹狀圖法；根的判別式【分析】（1）根據(jù)題意列表，然后根據(jù)表格求得所有等可能的結(jié)果與關(guān)于x的方程x2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解的情況數(shù)，根據(jù)即可概率公式求解；（2）首先求得（1）中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的情況，然后即可根據(jù)概率公式求解【解答】解：（1）列表得： （1，2）（2，2）（1，2）（2，2）（1，1）（2，1）（1，1）（