中學(xué)生數(shù)學(xué)解題中常見的幾種思維障礙及對(duì)策

1、淺談中學(xué)生數(shù)學(xué)解題中常見的幾種思維障礙及對(duì)策湖北省漢川市李集中學(xué) 陳國義摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)很大程度上培養(yǎng)學(xué)生思維能力，傳統(tǒng)教育由教師為中心而造成思維中的權(quán)威定勢(shì)，以書本為中心造成思維中的唯書本定勢(shì)，在一定程度上限制了學(xué)生的思維，造成思維的障礙。素質(zhì)教育給數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求，不僅要讓學(xué)生掌握知識(shí)，更要注意智力的開發(fā)和能力的提高，尤其是思維能力。而學(xué)生思維的深化，障礙的克服，關(guān)鍵在于教師的引導(dǎo)，在教師引導(dǎo)下探索出克服產(chǎn)生思維障礙的有效方法和途徑不斷提高學(xué)生分析能。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用源于對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和性質(zhì)的掌握，本文通過對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的成因以及克服幾種常見思維障礙突破的方法的分析，以幫助

2、中學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題能力。關(guān)鍵詞：中學(xué)生 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)思維障礙數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以“問題解決”為中心，問題解決的重要途徑是解題，在學(xué)生解題過程中，往往由于多種原因而造成思維障礙，影響了解題的正確性。本文擬對(duì)“中學(xué)生在解題中出現(xiàn)的幾種常見的思維障礙及對(duì)策”作初步探討，談?wù)勛约旱目捶?。一、中學(xué)生常見的幾種數(shù)學(xué)思維障礙1、對(duì)概念的模糊認(rèn)識(shí)而產(chǎn)生思維障礙。 有些學(xué)生在解題時(shí),因?qū)ο嚓P(guān)的概念的模糊認(rèn)識(shí)，而產(chǎn)生思維障礙，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤。如：例1、 化簡(jiǎn)-a2b ab2 =錯(cuò)解：原式 = ab ba 錯(cuò)誤分析：我們知道，式子a （a 0）叫做二次根式，它具有兩個(gè)“非負(fù)性”：（1）a 0;（2）a 0（a 0）上述解

3、法錯(cuò)在對(duì)二次根式概念的認(rèn)識(shí)模糊，沒準(zhǔn)確掌握其內(nèi)涵，因而不能挖掘出“a0，b0”的隱含條件，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。正確結(jié)果為：原式 = a b ba例2、關(guān)于x的函數(shù)y= mx2 2（m1）xm1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（ ） A、 0 B、1/3 C、0或1/3 D、 不能確定錯(cuò)解：k = 1/3，選（B）錯(cuò)誤分析：式子y = ax2bxc當(dāng)a0時(shí)表示二次函數(shù)；當(dāng)a = 0,b0時(shí)，表示一次函數(shù)。錯(cuò)誤的原因是把y = mx22（m1）xm1僅當(dāng)成了二次函數(shù)，沒有真正理解二次函數(shù)的概念，因此，由 = 2（m1）24m（m1）= 0,得m = 1/3，實(shí)際上當(dāng)m = 0時(shí)，函數(shù)即為y = 2x

4、1是一次函數(shù)，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，也符合題意，所以m = 0或1/3，所以選（C）例3、（2004年重慶市高考題文科卷）已知曲線y=x2/3+4/3，則過點(diǎn)P（2，4）的切線方程是 。分析：有人給出答案為：4x-y-4=0，其實(shí)這是一個(gè)不全面的答案，主要原因是把點(diǎn)P當(dāng)成了切點(diǎn)。正確答案是：4x-y-4=0或x-y+2=0。以上錯(cuò)誤都是因?qū)W生對(duì)概念的理解不透徹而產(chǎn)生，而學(xué)生對(duì)概念的理解與教師的教學(xué)有很大聯(lián)系，如果教師在概念的教學(xué)中，不注重對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行挖掘，對(duì)其外延進(jìn)行合理拓展，那么，學(xué)生對(duì)它的認(rèn)識(shí)就是表層的，膚淺的。2、對(duì)題目的隱含條件挖掘不到位而產(chǎn)生思維障礙。 在數(shù)學(xué)解題時(shí)，有些學(xué)生往往

5、只注意了題目的表面條件，而不能挖掘題目中的隱形條件，造成思維上的障礙，從而出錯(cuò)。例4、 一元二次方程x23x4 = 0和x25x7 = 0 的所有的根的和為（ ）A、6 B、8 C、8 D、3 錯(cuò)解：所有的根之和為：35 = 8 ，選（B）錯(cuò)誤分析：如果只看題目的表面，就可以利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出兩方程的兩根之和為3和5，這種解法忽視了方程x25x7 = 0中 0的隱含條件，也就是說方程x25x7 = 0是沒有實(shí)數(shù)根的，由于隱含條件挖掘不到位而出了錯(cuò)。像這種利用隱含條件解題的數(shù)學(xué)問題非常多，要較好的解決這種題目，學(xué)生必須具有較好的基礎(chǔ)和比較敏銳、縝密的數(shù)學(xué)思維，而培養(yǎng)這些能力的主要形式是課

6、堂學(xué)習(xí)。3、對(duì)題目的背景不熟悉、不了解而產(chǎn)生思維障礙。有很多數(shù)學(xué)題目，它所反映的是生產(chǎn)與生活中的實(shí)際問題，但學(xué)生對(duì)它卻不一定很了解。在解題時(shí)，學(xué)生往往只從定義和公式出發(fā)，計(jì)算結(jié)果也未考慮其實(shí)際意義，從而出錯(cuò)。例5、水是人類寶貴的生活資源。為了節(jié)約用水，漢川市開展了“節(jié)水從我做起”活動(dòng)。漢川市二河中學(xué)原計(jì)劃每月用水m噸，每天平均用水n 噸，現(xiàn)在打算每天少用水x 噸，那么m 噸水可比原計(jì)劃多用y天，寫出y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量x 的取值范圍。錯(cuò)解：由題意得 自變量x的取值范圍是x n錯(cuò)解分析：y與x的函數(shù)關(guān)系是正確的，單純對(duì) 來說，自變量x的取值范圍是：x n；但作為實(shí)際問題，自變量x必須

7、符合實(shí)際意義，所以0 n x n，故：0 x n。 4、因?qū)W生的“思維定勢(shì)”而產(chǎn)生思維障礙。在解題中，學(xué)生往往根據(jù)自己思考問題的習(xí)慣，去分析和解決問題。學(xué)生的這種“習(xí)慣”往往造成思維上的定勢(shì)，思維定勢(shì)一般不能靈活、全面的看待問題，解題時(shí)存在著思維障礙，往往出錯(cuò)。例6、請(qǐng)判斷“平分弦且過圓心的直線垂直于這條弦”是否正確。錯(cuò)解：如圖（1）所示，AM = BM,且CD為直徑CDAB結(jié)論正確錯(cuò)解分析：在學(xué)習(xí)“垂徑定理”時(shí)，同學(xué)們已經(jīng)習(xí)慣了圖（1），在判斷上述結(jié)論時(shí)，由于思維定勢(shì)，學(xué)生會(huì)迅速畫出圖（1），得到“正確”的錯(cuò)誤結(jié)論；事實(shí)上，被平分的弦AB可能是直徑，如圖（2），這時(shí)雖然滿足條件，但過圓心的直

8、線CD未必與它垂直。學(xué)生思維定勢(shì)解題的例子還遠(yuǎn)不止這些，如：學(xué)生畫三角形時(shí)總習(xí)慣于畫成一個(gè)銳角三角形，而忽略了直角三角形或鈍角三角形的情況；求相交兩圓的圓心距時(shí)，總習(xí)慣求兩圓的圓心在“公共弦”異側(cè)時(shí)的解，卻忽略了兩圓的圓心在“公共弦”同側(cè)時(shí)的情況。二、克服中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的幾種對(duì)策、加強(qiáng)概念教學(xué)，突出學(xué)生主體。在數(shù)學(xué)方面起始教學(xué)中，作為數(shù)學(xué)教師，首先要加強(qiáng)對(duì)概念教學(xué)重要性的認(rèn)識(shí)，走出“重例題講解，輕概念等理論知識(shí)教學(xué)”的思想誤區(qū)。其次，對(duì)于概念的教學(xué)，要按照它的形成過程進(jìn)行，并盡量讓學(xué)生自主探究完成，以加深學(xué)生的理解，并讓學(xué)生獲得成功的情感體驗(yàn)。再就是教師必須明確數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的主體是學(xué)生，

9、教師必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)狀況和學(xué)生的思維特征，尤其在講解知識(shí)時(shí)，要嚴(yán)格遵循學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展階段性特點(diǎn)，照顧到學(xué)生認(rèn)知水平的個(gè)性差異，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體意識(shí)，化被動(dòng)為主動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)。、重視數(shù)學(xué)背景的實(shí)例分析，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識(shí)。數(shù)學(xué)意識(shí)是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)自身行為的選擇，它既不是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的具體應(yīng)用，也不是對(duì)應(yīng)用能力的評(píng)價(jià)，數(shù)學(xué)意識(shí)可以指導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)該做什么或怎么做，至于做得好壞，當(dāng)屬技能問題. 有時(shí)一些技能問題不是學(xué)生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題，首先想到的是套哪個(gè)公式，模仿哪道做過的題目求解，對(duì)沒見過或背景稍微

10、陌生的題型便無從下手，這是數(shù)學(xué)意識(shí)落后的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的準(zhǔn)確性、規(guī)范性和熟練程度的同時(shí)，我們應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生以意識(shí)帶動(dòng)雙基，將數(shù)學(xué)意識(shí)滲透到具體問題之中，這樣才能使學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題得心應(yīng)手，從容作答。所以，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)是突破學(xué)生思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。我認(rèn)為，從下面幾個(gè)方面著手，可以逐步克服學(xué)生思維上的障礙，提高學(xué)生的解題能力：其一、要靈活處理教材。在教學(xué)時(shí)，可以結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，合理的改編教材，給純粹的數(shù)學(xué)問題賦予豐富的生活背景，使教學(xué)與學(xué)習(xí)變得生動(dòng)有趣。其二、結(jié)合數(shù)學(xué)課程中的研究性學(xué)習(xí)，經(jīng)常開展社會(huì)實(shí)踐與社會(huì)調(diào)查，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，積累學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)

11、，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。其三、在課堂教學(xué)時(shí)，多采用探究式教學(xué)，嘗試由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的洞察力，提高思維的敏銳性；其四、在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中，要多設(shè)計(jì)開放性的問題，通過題目的挖掘和變式訓(xùn)練來逐步提高學(xué)生思維的靈活性。 、誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，消除思維定式的消極作用。 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅僅要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，而且培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也應(yīng)該是我們教學(xué)活動(dòng)中相當(dāng)重要的部分，而誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架， 包括結(jié)論、例證、推論等，對(duì)于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙會(huì)起到極大的作用。 那么，老師如何在教學(xué)中克服思維定勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生解題的能力呢？我認(rèn)為：其一，

12、在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要注重對(duì)例題與練習(xí)的變式處理，通過一題多解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性。其二，要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，如分類討論等思想方法，這些數(shù)學(xué)思想和方法是解決問題的有力武器。注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，是克服思維障礙的有效途徑。其三，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中反思的能力。平時(shí)教學(xué)中，通過巧設(shè)“陷井”題，讓學(xué)生在失敗中求教訓(xùn)，在教訓(xùn)中積累經(jīng)驗(yàn)，逐步加強(qiáng)數(shù)學(xué)反思的能力，克服思維定勢(shì)而造成的障礙，減少解題中的錯(cuò)誤；其四、平時(shí)教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生多質(zhì)疑、多反思，提高學(xué)生思維的批判性。 使學(xué)生暴露觀點(diǎn)的方法很多。 例如，教師可以采用與學(xué)生談心的方法，可以用精心設(shè)計(jì)的診斷性習(xí)題，事先了解可能產(chǎn)生的錯(cuò)

13、誤想法，運(yùn)用延遲評(píng)價(jià)的原則，即待所有學(xué)生的觀點(diǎn)充分暴露后，再提出矛盾，以免觀點(diǎn)的暴露不完全，解決不徹底. 有時(shí)也可以設(shè)置疑難展開討論，疑難問題引人深思，選擇學(xué)生不易理解的概念，不能正確運(yùn)用的知識(shí)或容易混淆的問題讓學(xué)生討論，從錯(cuò)誤中引出正確的結(jié)論，這樣學(xué)生的印象特別深刻，而且通過暴露學(xué)生的思維過程，能消除消極的思維定式在解題中的影響. 當(dāng)然，為了消除學(xué)生在思維活動(dòng)中只會(huì)按部就班的傾向，在教學(xué)過程中，還要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行求異思維的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、獨(dú)立思考問題的習(xí)慣，不滿足于用常規(guī)方法取得正確的答案，采取多嘗試、多探索的方法尋求最簡(jiǎn)單、最好的解決問題的手段，發(fā)展思維的創(chuàng)造性，突破學(xué)生思維上的困難。參考文獻(xiàn)及網(wǎng)址：（1）、江蘇教育