經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《線性代數(shù)》第二章矩陣

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù),第二章 矩 陣,矩陣的運(yùn)算、矩陣的初等行變換、矩 陣的秩和逆矩陣,本章難點(diǎn)： 求逆矩陣,本章重點(diǎn)：,一、矩陣的概念,（一）矩陣的概念,稱為：mn矩陣,矩陣表示一張數(shù)表；,行列式是一個(gè)算式，即是一個(gè)數(shù)值。,（二）幾類基本的矩陣,1、行矩陣,2、列矩陣,矩陣只有一行，即,矩陣只有一列，即,3、n階方陣（n階矩陣）,矩陣的行和列數(shù)相同，即,主對(duì)角線,次對(duì)角線,4、零矩陣,所有元素都為0的mn矩陣,5、同形矩陣,兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列 數(shù)也相等,類似實(shí)數(shù)0.,是同形矩陣。,6、負(fù)矩陣,在它的每個(gè)元素前添上一個(gè)負(fù)號(hào)，就得到A的負(fù)矩陣,類似實(shí)數(shù) 里的負(fù)數(shù).,7、單位矩陣,主對(duì)角線上的

2、元素都是1，其余元素 都是0的n階方陣。,在矩陣運(yùn)算中的 作用，類似實(shí)數(shù)1 在數(shù)字運(yùn)算中的 作用.,二、矩陣的運(yùn)算,（一）矩陣的相等,兩個(gè)矩陣A和B相等（A=B），要滿足：,1、A和B是同形矩陣，即行、列數(shù)分別相等；,2、對(duì)應(yīng)元素相等。,例如：已知A=B，其中,5,2,（二）矩陣的加（減）法,條件：A與B是同形矩陣.,即：對(duì)應(yīng)元素 相加減,（三）矩陣的數(shù)乘,即：與每個(gè) 元素相乘,數(shù)量矩陣,數(shù)k乘單位矩陣，即,例1：,解：,（四）矩陣的乘法,(1)左邊A的列數(shù)與右邊B的行數(shù)相同,(2) AB的行數(shù)等于左邊A的行數(shù)，列數(shù)等于 右邊B的列數(shù)。,(3)行乘列法則：即左邊A的行與右邊B的列 上的元素對(duì)應(yīng)

3、相乘。,1、行矩陣列矩陣,n列,n行,行矩陣列矩陣一個(gè)數(shù),2、矩陣矩陣,兩個(gè)矩陣相乘，要滿足條件： 左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)。,例4：,則：,對(duì)于AB,AC,BC，都不能進(jìn)行乘法,而B(niǎo)A,CB就可以進(jìn)行乘法。,兩個(gè)矩陣相乘，要滿足條件： 左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)。,例1：,解：,矩陣乘法的特別之處：,（1）乘法的交換律不成立。即有：ABBA。,若AB=BA，則稱A與B可交換。,（2）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能為零矩陣， 即有：AO，BO，但ABO。,（3）乘法的消去律不成立。 即有：AO，且AB=AC，但不能推出 BC 。,由此，可看出單位矩陣I在矩陣運(yùn)算中 的作用就是類似數(shù)1在實(shí)

4、數(shù)運(yùn)算中的作用。,練習(xí)2.3 計(jì)算矩陣,【解答】,由（1）（2）兩題又驗(yàn)證，矩陣乘法的交換律不成立。即有：ABBA。,驗(yàn)證了：兩個(gè)非零矩陣的乘積可能為零矩陣,驗(yàn)證了：乘法的交換律不成立,（五）矩陣的轉(zhuǎn)置,將矩陣A的行與列依次互換位置而得。,矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：,【例2】,【解】,若A為34矩陣，B為25矩陣，其,乘積,有意義，則C為_(kāi)矩陣。,【例2續(xù)】,【解】,若A為34矩陣，B為25矩陣，則,乘積,是_矩陣。,【例3】,【解】,【例4】,【解】,利用（2）中的AB來(lái)求,三、幾類特殊矩陣,零矩陣,單位矩陣,數(shù)量矩陣,方陣,（一）對(duì)角矩陣,主對(duì)角線以外的元素 全為零的方陣,對(duì)角矩陣的性質(zhì),（1）對(duì)

5、角矩陣的和與差仍是對(duì)角矩陣,（2）數(shù)與對(duì)角矩陣的乘積仍是對(duì)角矩陣,（二）三角矩陣,主對(duì)角線下方的元素 全為0的方陣稱為上 三角矩陣,主對(duì)角線上方的元素 全為0的方陣稱為下 三角矩陣,上三角矩陣、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣,類似對(duì)角矩陣，可得：兩個(gè)同階上 （下）三角矩陣的和、數(shù)乘、乘積仍為 上（下）三角矩陣。,注意：上（下）三角矩陣的轉(zhuǎn)置為下（上）三角矩陣。,（三）對(duì)稱矩陣,（1）對(duì)稱矩陣一定是方陣；,（2）關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的位置上的元素必定 相等，即,例如：,都是對(duì)稱矩陣,都不是對(duì)稱矩陣,【問(wèn)】對(duì)角矩陣是否對(duì)稱矩陣？,【答案】是,類似對(duì)角矩陣，可得：兩個(gè)同階對(duì)稱 矩陣的和、差、數(shù)乘仍為對(duì)稱矩陣。,注意：兩個(gè)同階對(duì)稱矩陣的乘積不 一定是對(duì)稱矩陣。（見(jiàn)課本66頁(yè)例子）,【問(wèn)】對(duì)稱矩陣的轉(zhuǎn)置是否對(duì)稱矩陣？,【答】是。,【例5】當(dāng)a=_，b=_時(shí)，矩陣,是對(duì)稱矩陣。,【解】,由對(duì)稱矩陣的定義，可知：,矩陣A是對(duì)稱矩陣。,【例6】試證：對(duì)任意方陣A，都有,是對(duì)稱方陣。,證明：,根據(jù)對(duì)稱矩陣的定義只需證明,關(guān)鍵：利用定義來(lái)證