三角函數(shù)圖像變換順序詳解.doc

1、 圖象變換的順序?qū)じ}根研究 一、圖象變換的四種類型 從函數(shù)y = f (x)到函數(shù)y = A f ()+m，其間經(jīng)過4種變換： 1.縱向平移 m 變換 2.縱向伸縮 A 變換3.橫向平移 變換 4.橫向伸縮 變換一般說來，這4種變換誰先誰后都沒關(guān)系，都能達(dá)到目標(biāo)，只是在不同的變換順序中，“變換量”可不盡相同，解題的“風(fēng)險(xiǎn)性”也不一樣.以下以y = sinx到y(tǒng) = Asin ()+m為例，討論4種變換的順序問題.【例1】 函數(shù)的圖象可由y = sin x 的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換而得到？【解法1】 第1步，橫向平移：將y = sin x 向右平移，得 第2步，橫向伸縮： 將的橫坐標(biāo)縮短

2、倍，得 第3步：縱向伸縮： 將的縱坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，得 第4步：縱向平移： 將向上平移1，得 【解法2】 第1步，橫向伸縮：將y = sin x 的橫坐標(biāo)縮短倍，得 y = sin 2x 第2步，橫向平移：將y = sin 2x 向右平移，得 第3步，縱向平移： 將向上平移，得 第4步，縱向伸縮： 將的縱坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，得 【說明】 解法1的“變換量”（如右移）與參數(shù)值（）對應(yīng)，而解法2中有的變換量（如右移）與參數(shù)值（）不對應(yīng)，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“風(fēng)險(xiǎn)性”大.【質(zhì)疑】 對以上變換，提出如下疑問：（1）在兩種不同的變換順序中，為什么“伸縮量”不變，而“平移量”有變？（2）在橫向平移和

3、縱向平移中，為什么它們增減方向相反如當(dāng)0時(shí)對應(yīng)右移（增方向），而m 1時(shí)對應(yīng)著“縮”，而| A | 1時(shí)，對應(yīng)著“擴(kuò)”？【答疑】 對于（2），（3）兩道疑問的回答是：這是因?yàn)樵诤瘮?shù)表達(dá)式y(tǒng) = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函數(shù)式變?yōu)榉匠淌?(y+) = f ()，則x、y在形式上就“地位平等”了.如將例1中的變成它們的變換“方向”就“統(tǒng)一”了.對于疑問（1）：在不同的變換順序中，為什么“伸縮量不變”，而“平移量有變”？這是因?yàn)樵凇耙淮巍碧娲簒中，平移是對x進(jìn)行的.故先平移（x）對后伸縮（）沒有影響； 但先收縮（x）對后平移（）卻存在著“平移”相關(guān). 這就是為

4、什么（在例1的解法2中）后平移時(shí)，有的原因.【說明】 為了使得4種變換量與4個參數(shù)（A，m）對應(yīng)，降低“解題風(fēng)險(xiǎn)”，在由sinx變到Asin () ( 0) 的途中，采用如下順序：（1）橫向平移：x（2）橫向伸縮：x+（3）縱向伸縮：sin () Asin ()（4）縱向平移：Asin () Asin () + m這正是例1中解法1的順序.二、正向變換與逆向變換如果把由sin x 到Asin ()+m的變換稱作正向變換，那么反過來，由Asin ()+m到sin x變換則稱逆向變換.顯然，逆向變換的“順序”是正向變換的“逆”.因?yàn)檎蜃儞Q的一般順序是：（1）橫向平移，（2）橫向伸縮，（3）縱向伸

5、縮，（4）縱向平移.所以逆向變換的一般順序則是：（1）縱向平移，（2）縱向伸縮，（3）橫向伸縮，（4）橫向平移.如將函數(shù)y= 2sin (2) +1的圖像下移1個單位得y=2sin (2x)，再將縱坐標(biāo)縮小一半得y= sin(2 x),再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍得y= sin(x),最后將圖象左移得函數(shù)y= sinx.【例2】 將y = f (x)cos x 的圖象向右平移, 再向上平移1, 所得的函數(shù)為y=2sin2 x . 試求f (x)的表達(dá)式.【分析】 這是圖象變換的逆變換問題：已知函數(shù)的變換結(jié)果，求“原函數(shù)”. 我們考慮將“正向變換”的過程倒逆回去而得“逆向變換”的順序.【解析】 將y =

6、2sin2 x 下移1個單位（與正向變換上移1個單位相反），得 y = 2sin2 x1，再將 2sin2x1左移（與正向變換右移相反）得 令 f (x)cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x【說明】由此得原函數(shù)為y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2x. 正向變換為sin 2x2sin2x,其逆變換為2sin2xsin2x. 因?yàn)?sin2x=1+sin(2 x),所以下移1個單位得sin(2 x),左移得sin2x.三、翻折變換 使 0平移變換x是“對x而言”，由于x過于簡單而易被忽略.強(qiáng)調(diào)一下，這里x的系數(shù)是+1. 千萬不要誤以為是由sin(- x)左移而得.其實(shí)，x或y的系數(shù)變 -1，也對應(yīng)著兩種不同的圖象變換：由x - x對應(yīng)著關(guān)于y軸的對稱變換,即沿y軸的翻折變換；由f (x) - f (x)對應(yīng)著關(guān)于x軸的對稱變換,即沿x軸的翻折變換.【例3】 求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. 【分析】 先變換 -3x3x,即沿y軸的翻折變換.【解析1】 ，轉(zhuǎn)化為求g(x)=sin(3x)的增區(qū)間令 x （f(x)減區(qū)間主解）又函數(shù)的f(x)周期為，故函數(shù)f(x)減區(qū)間的通解為 x 【解析2】 的減區(qū)間為 即是 x 【說明】從圖象變換的角度看問題,比較解析1和解析2可知,求f(x)的減區(qū)間,實(shí)際上分兩