基于中考數(shù)學(xué)試題分析初中數(shù)學(xué)能力體系

1、基于中考數(shù)學(xué)試題分析初中數(shù)學(xué)能力體系姜堰市克強(qiáng)學(xué)校 李齊榮摘要近年來各省市初中畢業(yè)與升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)過程及經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，特別是綜合能力的考查。數(shù)學(xué)基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等幾個(gè)方面的能力；綜合能力主要是指發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的，需要個(gè)體在相應(yīng)的活動(dòng)過程中不斷地自主體會(huì)、歸納提升；需要從中考試題中找準(zhǔn)方向有針對(duì)性訓(xùn)練，形成能力。能力決定成敗，初中生經(jīng)歷三年的日積月累，要能形成自己的數(shù)學(xué)能力體系，備戰(zhàn)中考，決戰(zhàn)人生。關(guān)鍵詞中考 數(shù)學(xué) 能力知道近年

2、來各省市初中畢業(yè)與升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)過程及經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，特別是綜合能力的考查。數(shù)學(xué)基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等幾個(gè)方面的能力；綜合能力主要是指發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。學(xué)生對(duì)考點(diǎn)，清楚明了，但不能靈活運(yùn)用、綜合應(yīng)用，這充分表明能力缺乏。知彼知己，有針對(duì)性地培養(yǎng)能力，事半功倍。2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特

3、別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)?！敝锌荚囶}具有畢業(yè)與升學(xué)兩種功效，畢業(yè)試題立足考查“四基”，升學(xué)試題側(cè)重考查綜合能力。一份數(shù)學(xué)試卷，28題左右，要考到初中三年的重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，常在一題中考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、多種能力，且整份試卷上很少會(huì)有重復(fù)出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)或思想方法，而能力會(huì)以多種姿態(tài)呈現(xiàn)，廣泛應(yīng)用。1.感悟數(shù)學(xué)情境，培養(yǎng)數(shù)感理解并掌握實(shí)際問題中數(shù)的意義，找出并用語言描述出具體情境中的數(shù)量關(guān)系，就是一種數(shù)感；當(dāng)我們遇到可能與數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，就能有意識(shí)地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，并試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來處理、解釋或估算也是數(shù)感?？梢?，數(shù)感就是主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)、運(yùn)用數(shù)的意義和運(yùn)算

4、方法去認(rèn)識(shí)、理解現(xiàn)實(shí)世界的能力。例1：（2012年南京，第4題，2分）12的負(fù)的平方根介于（ ）A. 5與4之間 B.4與3之間 C.3與2之間 D.2與1之間【分析】“數(shù)感”是個(gè)體的一種感知和領(lǐng)悟。感悟?qū)ο蟀〝?shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)等。本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是平方根、負(fù)數(shù)的大小比較及無理數(shù)的估算。這要求學(xué)生在學(xué)習(xí)無理數(shù)的概念、無理數(shù)與有理數(shù)的關(guān)系后根據(jù)自己已有的數(shù)感估算出的范圍。例2：（2012年揚(yáng)州，第8題，3分）大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如，若分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2013，則m的值是（） A43 B44 C45 D46 【分析】例2要求學(xué)生憑數(shù)

5、感探索規(guī)律，憑對(duì)題目的理解，對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用去探索其中的奧秘。，等式的左邊是，右邊是相連的個(gè)奇數(shù)的和，由，可認(rèn)為第一個(gè)奇數(shù)為，由，可認(rèn)為第一個(gè)奇數(shù)為，而第三個(gè)式子兩者都不對(duì)，此時(shí)只有憑數(shù)感，對(duì)3、7、13重新分解，分裂后的第一個(gè)奇數(shù)是，共個(gè)相連奇數(shù)的和。數(shù)感的形成有一個(gè)較為漫長的過程，日常教學(xué)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)感的建立與數(shù)量關(guān)系的理解和運(yùn)用結(jié)合起來，事半功倍。例3：（2011年泰州，第25題，10分）小明從家騎自行車s (m)t (min)24001012A BCDOEF圖1出發(fā)，沿一條直路到相距2400 m的郵局辦事，小明出發(fā)的同時(shí)，他的爸爸以96 m/min的速度從郵局沿同一條道路步

6、行回家，小明在郵局停留2 min后沿原路以原速返回設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過t min時(shí)，小明與家之間的距離為m，小明爸爸與家之間的距離為m，圖2中折線OABD、線段EF分別是表示、與t 之間函數(shù)關(guān)系的圖象。 （1）求與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明從家出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間在返回途中追上爸爸？這時(shí)他們距離家還有多遠(yuǎn)？【分析】“數(shù)感”的形成需要在實(shí)際背景的情境中進(jìn)行，而且這些背景應(yīng)當(dāng)包含需要感悟的對(duì)象。像例3這類創(chuàng)設(shè)的情境與學(xué)生的生活密切相關(guān)的問題很多，這既讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)后，用數(shù)學(xué)知識(shí)感悟生活，用數(shù)學(xué)思想分析、解決生活中的實(shí)際問題。同時(shí)，也要求學(xué)生建立數(shù)感，理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，用

7、函數(shù)思想、方程思想等理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。日常教學(xué)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)感的建立與符號(hào)感的建立和初步的數(shù)學(xué)模型的建立結(jié)合起來，這有助學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。2.樹立符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)抽象概括能力幫助學(xué)生初步形成符號(hào)意識(shí)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，特別是抽象思維的起始，對(duì)抽象概括能力的考查主要從數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)模型兩方面進(jìn)行。數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號(hào)語言和圖形語言，初中學(xué)生能熟練地將這三種語言相互轉(zhuǎn)化，是科學(xué)解題、規(guī)范書寫的必要保證。樹立符號(hào)意識(shí)是架起文字語言和圖形語言間轉(zhuǎn)換的橋梁，主要表現(xiàn)在用符號(hào)表示和操作符號(hào)上，因此，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷“從具體到抽象”的過程，并從事“用符號(hào)表達(dá)

8、一般關(guān)系”、“對(duì)符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換”和“解釋符號(hào)所表達(dá)對(duì)象（操作）的實(shí)際含義”等活動(dòng)。例4：（2012年鹽城，第8題，3分）已知整數(shù)a1，a2，a3，a4，滿足下列條件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，依此類推，則a2012的值為（） A-1005 B-1006 C-1007 D-2012 60PQ2cm 圖2A【分析】本題只要進(jìn)行迭代計(jì)算：，由這些具體的數(shù)，學(xué)生借助數(shù)感，探索其中規(guī)律，并用符號(hào)語言進(jìn)行抽象概括為，再去驗(yàn)證，、，發(fā)現(xiàn)結(jié)論正確，故，選B。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。 例5：（2009年吉林，第16題

9、，3分）將寬為2cm的長方形紙條折疊成如圖2所示的形狀，那么折痕的長是（ ）A cm Bcm Ccm D2cm 【分析】這是一道簡(jiǎn)單的操作題，許多學(xué)生看完題目就能用小紙條做出模型，折紙類題目平時(shí)就在練習(xí)，而本題的題目及圖形較簡(jiǎn)單，許多學(xué)生無從下手。如何將這道操作題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題呢？平時(shí)的試題都有圖示的虛線，借助輔助線學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)APQ為等腰三角形，再加上圖中的60，APQ為等邊三角形。圖中的紙條寬與APQ的關(guān)系的探尋是難點(diǎn)，也是解決本題的關(guān)鍵，圖象語言2cm其實(shí)是APQ，AP邊上的高。因此，本題就可由具體的折紙問題，抽象概括為這樣一道數(shù)學(xué)問題：已知等邊三角形一邊上的高為2cm，求其邊長。求解這

10、道幾何題的過程需要用符號(hào)語言進(jìn)行描述、推理。本題需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的三種語言熟練掌握、并相互轉(zhuǎn)化，文字語言和圖象語言可以幫助學(xué)生理解題意，而符號(hào)語言能力能幫助學(xué)生完成推理和論證。3.平面與立體互動(dòng)，直觀與抽象互化，提高轉(zhuǎn)化能力主視圖左視圖俯視圖圖3在中考數(shù)學(xué)試題內(nèi)容中空間與圖形是核心。空間觀念主要是由具體物體抽象出幾何圖形，由幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；能進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形或依據(jù)語言描述畫出圖形；能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，探索解決問題的方法和思路，預(yù)測(cè)結(jié)果；能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；能采用適

11、當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考等方面的能力。例6：（2012年宿遷，第4題，3分）如圖是一個(gè)用相同的小立方塊搭成的幾何體的三視圖，則組成這個(gè)幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)是（） A.2 B.3 C.4 D.5例7：（2012年泰州，第6題，3分）用4個(gè)小立方塊搭成如圖6所示的幾何體，該幾何體的左視圖是圖4ABCD（）【分析】空間觀念存在于“從實(shí)物到抽象圖形”的轉(zhuǎn)化過程中，存在于對(duì)圖形之間的大小、位置關(guān)系的感知與想象過程之中。例6是由幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，例7是由具體物體抽象出幾何圖形，進(jìn)行幾何體與其三視圖的轉(zhuǎn)化，這些題型在近年的中考試題中已是常見題

12、，主要考查了學(xué)生的空間觀念和幾何直觀的能力。圖5圖6例8：（2012年無錫，第27題，8分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2兩點(diǎn)間的直角距離，記作d（P1，P2）（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足d（O，P）=1，請(qǐng)寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形；（2）設(shè)P0（x0，y0）是一定點(diǎn)，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn)，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離試求點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離【分析】問題（1

13、）要求學(xué)生讀懂題意，理解d（O，P）=1的含義，得：。如何畫出其圖象？這是本題的難點(diǎn)，學(xué)生要能數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn)P可能在的象限對(duì)x，y的符號(hào)進(jìn)行討論，共四種情況，又x，y滿足，則，故，滿足題意的圖象如圖6所示。問題（2）依題意知：，又Q（x，y）是直線y=x+2上的點(diǎn)，則y=x+2，所以，x可取一切實(shí)數(shù)，表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)2和-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為當(dāng)數(shù)x表示的點(diǎn)在數(shù)-1和2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間時(shí)，距離的和為定值3，即點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3。本題要求學(xué)生要能根據(jù)題意，用絕對(duì)值表示點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離，方能探索出本題的解題策略。絕對(duì)值是代

14、數(shù)與幾何的橋梁，是數(shù)形結(jié)合中最常見的切入點(diǎn)，數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思維方式是一種典型的幾何直觀。圖7例9：（2012年蘇州，第10題，3分）已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖7所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上若正方形A1B1C1D1的邊長為1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，則點(diǎn)A3到x軸的距離是（ ） A B C D 例10：（2012年鹽城，第25題，10分）如圖8中圖所示,已知、為直線上兩點(diǎn),點(diǎn)為直線上方一動(dòng)點(diǎn),連接、,分別以、為邊向外作正方形和正方形,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn). (1)如圖,當(dāng)點(diǎn)恰好在直線上時(shí)(此時(shí)與重

15、合),試說明；(2) 在圖中,當(dāng)、兩點(diǎn)都在直線的上方時(shí),試探求三條線段、之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；ABD1lDFCGEE1E圖(E1)D1圖圖8lDBFCGlE1AD1圖DFCGEB(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí),請(qǐng)直接寫出三條線段、之間的數(shù)量關(guān)系.(不需要證明)D1圖9lDCMAC圖10lBE1EM【分析】幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中都發(fā)揮著重要的作用。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的方法和思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。這兩個(gè)例題，例9是選擇題的最后一題，有一定的難度；例10是個(gè)綜合性題目，共有三個(gè)小問，設(shè)計(jì)由易到難，逐步深入。但學(xué)生若能

16、從比較復(fù)雜的圖形中分解出常用的基本模型，去探索解決問題的方法和思路，會(huì)提高解題效率。在這兩個(gè)例題中均存在如圖9的基本圖形，例10中圖只需過C作輔助線CM直線于M，就可以構(gòu)造成圖9的模型去思考，同理，圖也是過C作CM直線于M，構(gòu)成圖10的模型去探索解題的思路，本題將迎刃而解。4.借助實(shí)例嘗試分析、處理數(shù)據(jù)信息，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念在現(xiàn)實(shí)生活中只有經(jīng)歷過社會(huì)調(diào)查，收集數(shù)據(jù)，描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)作出的決策才科學(xué)合理。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心，這充分證明了數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著許多重要信息和規(guī)律，需要應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)去發(fā)現(xiàn)。圖11圖D級(jí)B級(jí)A級(jí)20%C級(jí)30%分析結(jié)果的扇形統(tǒng)計(jì)圖圖0102030405060ABC

17、D人數(shù)等級(jí)2448分析結(jié)果的條形統(tǒng)計(jì)圖例11：（2012年泰州，第22題，8分）某校組織學(xué)生書法比賽，對(duì)參賽作品按A、B、C、D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行了評(píng)定現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生書法作品的評(píng)定結(jié)果進(jìn)行分析，并繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖如圖11所示： 根據(jù)上述信息完成下列問題：（1）求這次抽取的樣本的容量； （2）請(qǐng)?jiān)趫D中把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； （3）已知該校這次活動(dòng)共收到參賽作品750份，請(qǐng)你估計(jì)參賽作品達(dá)到B級(jí)以上（即A級(jí)和B級(jí)）有多少份？【分析】統(tǒng)計(jì)與概率部分題目以與學(xué)生生活密切相關(guān)的實(shí)例為情境設(shè)計(jì)問題。常有針對(duì)性地考查統(tǒng)計(jì)意識(shí)，圍繞扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖或折線統(tǒng)計(jì)圖的形式呈現(xiàn)問題。具有兩個(gè)鮮明特點(diǎn)：第

18、一，題目的綜合性較強(qiáng)，既考查了考生的讀圖、釋圖能力，又考查了繪圖能力；第二，在本題的前兩個(gè)小題，都是根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境和兩張統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行了相關(guān)考查，但是它們的考查視角和方式有所不同，各有側(cè)重。問題（3）考查了學(xué)生根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)分析、處理、總結(jié)后合理地對(duì)總體作出估計(jì)與預(yù)測(cè)的能力。這樣的試題設(shè)計(jì)靈活，方式多樣。度數(shù)8910131415天數(shù)112312例12：（2012年宿遷，第22題，8分）某學(xué)校抽查了某班級(jí)某月10天的用電量，數(shù)據(jù)如下表（單位：度）：（1）這10天用電量的眾數(shù)是 ，中位數(shù)是 ，極差是 ；（2）求這個(gè)班級(jí)平均每天的用電量；（3）已知該校共有20個(gè)班級(jí)，該月共計(jì)30天，試估計(jì)該校該月總的用電

19、量.【分析】本題主要考查了學(xué)生對(duì)處理數(shù)據(jù)時(shí)常用的一些關(guān)鍵量平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、頻數(shù)、頻率、樣本、總體等的理解；知道對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)需要根據(jù)問題的背景選擇恰當(dāng)?shù)牧?、合適的方法來處理，以及由此得到的結(jié)果進(jìn)行合理的質(zhì)疑；要求學(xué)生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的分析去估算、評(píng)價(jià)總體的情況，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。通過這些實(shí)例的分析，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關(guān)的問題。5.重視算理與算法，培養(yǎng)運(yùn)算能力運(yùn)算能力是初中數(shù)學(xué)中要求培養(yǎng)的重要能力，

20、是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。初中數(shù)學(xué)運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等。運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。從近幾年的中考試題來看，計(jì)算無處不在，貫穿始終。而且各省市中考數(shù)學(xué)試題中解答題的前幾題會(huì)專門的計(jì)算或化簡(jiǎn)求值。如廣東省2012年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷第11、12、13題，均為計(jì)算題，總分為18分；江蘇各市區(qū)也上是如此，大部分市區(qū)這樣的基礎(chǔ)計(jì)算題占分在

21、18分左右，其中2012年蘇州市初中畢業(yè)暨升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷第19、20、21、22題，總分為21分。宿遷市2012年初中畢業(yè)暨升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷第19、20、21題計(jì)算或化簡(jiǎn)求值，每題滿分8分，共24分，尤為引人注目。有關(guān)于實(shí)數(shù)的相關(guān)計(jì)算、有整式化簡(jiǎn)與計(jì)算、有分式的化簡(jiǎn)及計(jì)算、有解二元一次方程組、有求一元一次不等式組的解集的、有分式方程等等，知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，側(cè)重考查算法、算理、基本計(jì)算技巧和計(jì)算思維能力。6.設(shè)置論證、推斷、猜測(cè)類試題，培養(yǎng)推理能力推理能力主要體現(xiàn)在：能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)；能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行規(guī)范地書寫及論述推理過程的能力；能通過觀察、實(shí)驗(yàn)

22、、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例；它既包括合情推理，又包括演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成；合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。推理能力的發(fā)展將貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。圖12圖 圖 例13：（2012年北京，第8題，4分）小翔在如圖12中圖1所示的場(chǎng)地上勻速跑步，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿箭頭所示方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C，共用時(shí)30秒他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過程設(shè)小翔跑步的時(shí)間為t（單位：秒），他與教練的距離為y（單位：米），表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖12所示，則這個(gè)個(gè)定位置可能是圖1中的（） A點(diǎn)M B點(diǎn)

23、N C點(diǎn)P D點(diǎn)Q 【分析】本題是“動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖象”類問題，題目比較新穎，與實(shí)際生活的聯(lián)系比較緊密，一方面考查學(xué)生閱讀理解能力，另一方面考查學(xué)生對(duì)一組數(shù)據(jù)變化規(guī)律的合情推理能力和演繹推理能力。當(dāng)教練選擇觀察小翔的跑步的固定位置在M處時(shí)，因?yàn)樗怯疫叞雸A的圓心，則當(dāng)小翔在右半圓上從A到B跑步時(shí)，他與教練的距離為y應(yīng)該保持不變，即圖象為平行于x軸和線段，由圖的y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象可知，教練不在M點(diǎn)處；當(dāng)教練選在N點(diǎn)時(shí)NA=NB=NC，即圖象的起點(diǎn)與終點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該相同，這與圖不符；當(dāng)教練選在P點(diǎn)時(shí)，小翔最后離教練應(yīng)該越來越近，顯然，不滿足圖，故選D。在這個(gè)相對(duì)新穎的問題情景中，學(xué)生無法套用舊模式

24、解題，只能通過自己的閱讀領(lǐng)悟結(jié)合生活實(shí)踐、獨(dú)立思考、合情推理達(dá)到對(duì)問題的規(guī)律性、本質(zhì)性的理解與認(rèn)識(shí)。這種設(shè)置同時(shí)也考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和自主探究的能力。圖13例14：（2012年無錫，第21題，8分）如圖13，在ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在BC的延長線上，且BE=CF求證：BAE=CDF【分析】各省市中考數(shù)學(xué)試題中幾何計(jì)算與推理論證是空間與圖形的重中之重?；A(chǔ)幾何說理、猜想論證題、或幾何計(jì)算證明題必考一道，在8分左右。這些題目側(cè)重考查學(xué)生的邏輯推理能力和使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行將自己的演繹推理過程書寫出來的能力，有時(shí)還需要學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出

25、證明或舉出反例。例15：（2012年連云港，第27題，12分）如圖14，已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3(1)如圖，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD、PC為邊作PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ，DC的長能否相等，為什么？(2)如圖，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由(3)若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長PD到E，使DEPD，再以PE、PC為邊作PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由(4) 如圖，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長PA到E，使A

26、EnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作MMM圖14圖 圖 圖 PBQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由【評(píng)析】本題問題設(shè)計(jì)以動(dòng)態(tài)幾何探究最值為載體，指向明確、層次分明，由特殊到一般地層層設(shè)問，考查學(xué)生的合情推理與演繹推理能力。其中第一小題是典型的幾何猜想加推理證明題，在PCQD中，PQ與DC互相平分，若設(shè)交點(diǎn)為M，則M為DC的中點(diǎn)。若PQ=DC，則PCQD應(yīng)為矩形,DPC=90，ADPBPC，則。若設(shè)AP=x，BP=2-x，此一元二次方程無解，所以對(duì)角線PQ，DC的長不相等。問題（2）也需作出猜想，再進(jìn)行推理證明，本題要求學(xué)生討論最值，許

27、多學(xué)生可能很容易聯(lián)想到二次函數(shù)，殊不知，本題PQ必過DC的中點(diǎn)M，且PQ=2PM，因此，當(dāng)PM最小時(shí)，PQ最小，M為定點(diǎn)，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，由“直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中垂線段最短”可知當(dāng)PQAB時(shí)，PQ最小，此時(shí)的PM即為直角梯形ABCD的中位線，其值為2，則此時(shí)，PQ的最小值勤4。這種綜合性問題的考查側(cè)重思維的轉(zhuǎn)化和推理的過程，（3）、（4）小題，突出要求學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，突出方法的遷移與運(yùn)用，類比第二小題的思路進(jìn)行猜想或論證即可。當(dāng)然，此題方法多樣，主要考查了學(xué)生對(duì)圖形認(rèn)識(shí)、幾何計(jì)算、合情推理及存在性問題的探索，對(duì)學(xué)生要求較高，需要學(xué)生有一定的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)思維能力、化歸能力、

28、推理能力和創(chuàng)新意識(shí)。在日常課堂教學(xué)過程中，教師要經(jīng)常讓學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程先合情推理，再演繹推理；同時(shí)，有意識(shí)地將兩者結(jié)合起來在進(jìn)行合情推理時(shí)思考“合情”的理由，在進(jìn)行演繹論證時(shí)注重尋找合理的證明思路，這樣有利于學(xué)生推理能力的發(fā)展與提高。7.建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)應(yīng)用意識(shí)是中考的必考問題，如在中考中常見的方程應(yīng)用題、統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用題、函數(shù)應(yīng)用題、解直角三角形的應(yīng)用題等。全國各地的中考命題組都會(huì)借助學(xué)生熟悉的情景命制許多立意新、情景新、思維價(jià)值高的試題，這些試題取材廣泛，結(jié)合社會(huì)與生活實(shí)際，以豐富多采的形式呈現(xiàn)。解決這些問題要求學(xué)生能理解對(duì)問題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理

29、和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題，并加以驗(yàn)證；能用數(shù)學(xué)語言正確地表述和說明。例16：（2012南京，第26題，9分）“？”的思考.下框中是小明對(duì)一道題目的解答以及老師的批改圖15?題目：某村計(jì)劃建造如圖15所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長與寬各為多少時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長為2xm，根據(jù)題意，得x2x=288解這個(gè)方程，得x1=-12（不合題意，舍去），x2=12所以溫室的長為212+3+1=28（m），寬為12

30、+1+1=14（m）圖16答：當(dāng)溫室的長為28m，寬為14m時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2我的結(jié)果也正確！小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中劃了一條橫線，并打開了一個(gè)“？”結(jié)果為何正確呢？（1）請(qǐng)指出小明解答中存在的問題，并補(bǔ)充缺少的過程：變化一下會(huì)怎樣 （2）如圖16，矩形在矩形的內(nèi)部，且，設(shè)與、與、與、與之間的距離分別為，要使矩形矩形，應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)說明理由。【評(píng)析】學(xué)生自主學(xué)習(xí)、討論糾錯(cuò)已成為如今數(shù)學(xué)習(xí)題評(píng)講課的主流，但以試題形式出現(xiàn)的不多，小明“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長為2xm”，而已知的是“矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1”，兩者不同，而小

31、明未能注意這個(gè)問題。并沒有說明矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬的比為2：1的理由。由矩形蔬菜溫室的長與寬的比為2：1，可設(shè)矩形蔬菜溫室的寬為ym，則長為2ym。依題意得，矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為(y-1-1)m，長為(2y-3-1)m。因?yàn)椋跃匦问卟朔N植區(qū)域的長與寬的比為2：1。問題（2）我們?nèi)匀煌ㄟ^建模的思想，由矩形相似，列出相應(yīng)的等式解決這個(gè)問題。本題以學(xué)生為主人翁，以真實(shí)的事例告訴學(xué)生審題要認(rèn)真細(xì)心，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需要較強(qiáng)的閱讀理解能力；以真實(shí)的事例引導(dǎo)學(xué)生生活中要善于發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，對(duì)癥下藥；每一件事不僅要知其然，而且要知其所以然。建模能力是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。圖17

32、例17：（2012南京，第23題，7分）看圖17說故事：請(qǐng)你編一個(gè)故事，使故事情境中出現(xiàn)的一對(duì)變量x、y滿足圖示的函數(shù)關(guān)系式，要求：指出x和y的含義；利用圖中數(shù)據(jù)說明這對(duì)變量變化過程的實(shí)際意義，其中需設(shè)計(jì)“速度”這個(gè)量【評(píng)析】本題要求學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，從生活中尋找出既蘊(yùn)含“速度”等關(guān)系量的實(shí)際問題，又滿足圖7函數(shù)圖象，可建立函數(shù)模型解決的實(shí)際問題。再以這一生活實(shí)際為背景自行設(shè)計(jì)“故事”，答案不唯一，考查了學(xué)生的生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、識(shí)圖能力、自編題能力、創(chuàng)新能力等，平時(shí)的作業(yè)過程中常引導(dǎo)學(xué)生由方程編應(yīng)用題，讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)就在我們身邊，體現(xiàn)了新課程“引導(dǎo)學(xué)生更多地著眼于對(duì)實(shí)際問題的探索”的理念。8

33、.創(chuàng)設(shè)綜合題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)過程之中。對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查，要求學(xué)生不僅能理解概念、定義，掌握定理、公式，還要能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題，更重要的是能夠?qū)⒍喾N能力要素進(jìn)行有機(jī)的組合。圖18例18：（2012無錫，第18題，2分）如圖18的平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正六邊形ABCDEF，其中C、D的坐標(biāo)分別為（1，0）和（2，0）若在無滑動(dòng)的情況下，將這個(gè)六邊形沿著x軸向右滾動(dòng)，則在滾動(dòng)過程中，這個(gè)六邊形的頂點(diǎn)A、B、

34、C、D、E、F中，會(huì)過點(diǎn)（45，2）的是點(diǎn) 【評(píng)析】本題雖是填空題，但它對(duì)學(xué)生的能力要求很高，主要考查了學(xué)生通過觀察、計(jì)算、思考后，提出猜想，進(jìn)而論證猜想的過程，需要學(xué)生的合情推理能力、演繹推理能力、數(shù)形結(jié)合的能力。由C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)知正六邊形ABCDEF的邊長為1，直徑長為2，則當(dāng)且僅當(dāng)AD、BE、CF與x軸垂直時(shí)點(diǎn)可能過程點(diǎn)（45，2），如圖開始向右滾動(dòng)時(shí)第一次是ADx軸，A（2，2），因?yàn)?，正六邊形每滾動(dòng)6個(gè)單位長度時(shí)正好為一周，從點(diǎn)（2，2）到點(diǎn)（45，2）正好滾動(dòng)43個(gè)單位長度，1，恰好滾動(dòng)7周多一個(gè)，會(huì)過點(diǎn)（45，2）的是點(diǎn)B。學(xué)生對(duì)正方形的無滑動(dòng)滾動(dòng)，或曾經(jīng)練習(xí)過，但對(duì)正六邊形這類

35、問題的練習(xí)很少，這需要同學(xué)們有一定的模仿能力和創(chuàng)新能力。例19：（2012鹽城，第27題，12分）知識(shí)遷移 當(dāng)a0且x0時(shí)，因?yàn)?，所以，從而（?dāng)x=時(shí)取等號(hào)） 記函數(shù)（a0，x0）由上述結(jié)論可知：當(dāng)x=時(shí)，該函數(shù)有最小值為直接應(yīng)用 已知函數(shù)y1=x（x0）與函數(shù)（x0），則當(dāng)x= 1時(shí)，y1+y2取得最小值為 2變形應(yīng)用已知函數(shù)y1=x+1（x-1）與函數(shù)y2=（x+1）2+4（x-1），求的最小值，并指出取得該最小值時(shí)相應(yīng)的x的值實(shí)際應(yīng)用已知某汽車的一次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分，一是固定費(fèi)用，共360元；二是燃油費(fèi)，每千米1.6元；三是折舊費(fèi)，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001設(shè)該汽

36、車一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨閤千米，求當(dāng)x為多少時(shí)，該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低？最低是多少元？【評(píng)析】本題以學(xué)生已有的完全平方式的非負(fù)性為情景導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探索、活學(xué)活用，從“直接應(yīng)用”、“變形應(yīng)用”，最后到“實(shí)際應(yīng)用”，問題的設(shè)計(jì)由淺入深，由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)。本題既考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，又考查學(xué)生能否綜合地、靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，并創(chuàng)造性地解決問題的能力，充分體現(xiàn)了創(chuàng)新意識(shí)的要求?！爸苯討?yīng)用”的嘗試很易成功，會(huì)讓學(xué)生勇敢地繼續(xù)下去；“變形應(yīng)用”要探究的變形，有目的地轉(zhuǎn)化為的格式，這就創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。，所以的最小值為；“實(shí)際應(yīng)用”考查學(xué)生對(duì)實(shí)際生活中數(shù)學(xué)問題的解決策略與思考的能力。如本題先根據(jù)實(shí)際情境列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再應(yīng)用類比歸納的思想，將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為的格式，最后直接應(yīng)用歸納的結(jié)論進(jìn)行解題。設(shè)該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本為y元，則所以當(dāng)時(shí)，該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低，最低成本為=2.8(元)。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)并非朝夕之功，應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教育的始終。品味這些中考數(shù)學(xué)試題，試卷在注重考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力、數(shù)學(xué)基本思想方法，體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要使學(xué)生有數(shù)學(xué)知識(shí)的增長，也要使學(xué)生有數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。因此，教師