江蘇省南京師大附中2014屆高三模擬考試(5月)數(shù)學(xué)Word版含答案

1、絕密啟用前南京師大附中2014屆高三模擬考試 數(shù) 學(xué) 2014.05注意事項(xiàng)：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、班級寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式：錐體的體積公式為VSh，其中S是錐體的底面面積，h是高 一填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上 1設(shè)集合Ax|1x2，Bx|0x4，xN，則AB 2若復(fù)數(shù) (i是虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a 3某時(shí)段內(nèi)共有100輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)測速

2、區(qū)域，將測得的汽車時(shí)速繪制成如圖所示的頻率分布直方圖根據(jù)圖形推斷，該時(shí)段時(shí)速超過50km/h的汽車輛數(shù)為 4如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是 5一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 從中一次隨機(jī)摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 6已知，表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線， 則“”是“m”的 條件（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 7函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 8設(shè)實(shí)數(shù)x，y，b滿足，若z2xy的最小值為3， 則實(shí)數(shù)b的值為 (第4題圖)9設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最小值是 10設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，+)上單調(diào)

3、遞增，則滿足不等式f(1)f(lg(2x)的x的取值范圍是 11在ABC中，已知BAC90，AB6，若D點(diǎn)在斜邊BC上，CD2DB，則 的值為 12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M是橢圓1（ab0）上的點(diǎn)，以M為圓心的 圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)F，圓M與y軸相交于P，Q兩點(diǎn)若PQM是鈍角三角 形，則該橢圓離心率的取值范圍是 13對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)的值恒為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 14記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式ama對任意等差數(shù)列an及任意正整數(shù)n 都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為 二解答題：本大題共6小題，共90分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明證明過程或

4、演算步驟15（本小題滿分14分） 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 （1）求角的值； （2）若角，邊上的中線=，求的面積16（本小題滿分14分） 在四棱錐PABCD中，ACD90，BACCAD，PA平面ABCD，E為PD(第16題圖)圖 的中點(diǎn) （1）求證：平面PAC平面PCD；（2）求證：CE平面PAB 17（本小題滿分14分） 某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn)，如圖所示設(shè)正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm3在所有能用這

5、種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時(shí)x的值(第17題圖)圖18（本小題滿分16分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1（ab0）的離心率為，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1(2，0)，A2(2，0)過點(diǎn)D(1，0)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線A1M與NA2的交點(diǎn)為G高 考 資 源 網(wǎng) （1）求實(shí)數(shù)a，b的值； （2）當(dāng)直線MN的斜率為1時(shí)，若橢圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)P1，P2使得P1MN和P2MN (第18題圖) 的面積為S，求S的取值范圍； （3）求證：點(diǎn)G在一條定直線上 19（本小題滿分16分） 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且滿足a1a2a39，b1b2b327. （1）若

6、a4b3，b4b3m. 當(dāng)m18時(shí)，求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式； 若數(shù)列bn是唯一的，求m的值； （2）若a1b1，a2b2，a3b3均為正整數(shù)，且成等比數(shù)列，求數(shù)列an的公差d的最 大值.20（本小題滿分16分） 設(shè)a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ax2(a1)x2lnx （1）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)a2時(shí)，過原點(diǎn)O作曲線yf(x)的切線，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)； （3）設(shè)定義在D上的函數(shù)yg(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為l：yh(x)，當(dāng)xx0 時(shí)， 若0在D內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)P為函數(shù)yg(x)的“巧點(diǎn)”當(dāng)a時(shí)， 試問函數(shù)yf(x)是否存在“巧點(diǎn)”？若存在，請求出“巧點(diǎn)”的橫

7、坐標(biāo)；若不存在，說 明理由數(shù) 學(xué)（附加題） 2014.0521【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A（幾何證明選講選做題） 如圖，設(shè)、是圓的兩條弦，直線是線段的垂直平分線已知，求線段的長度 (第21A題圖)B（矩陣與變換選做題） 設(shè)矩陣A，矩陣A屬于特征值的一個(gè)特征向量為，屬于特征值 的一個(gè)特征向量為，求adbc的值C（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 設(shè)點(diǎn)A， B分別在曲線C1：（為參數(shù)）和曲線C2：1上，求線段AB的最小值D（

8、不等式選做題） 設(shè)a，b，c均為正數(shù)， abc1求證：.22【必做題】 在一個(gè)盒子中放有大小質(zhì)量相同的四個(gè)小球，標(biāo)號分別為，4，現(xiàn)從這個(gè)盒 子中有放回地先后摸出兩個(gè)小球,它們的標(biāo)號分別為x，y，記|xy|（1）求P(1)；（2）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望23【必做題】 有三種卡片分別寫有數(shù)字1，10和100設(shè)m為正整數(shù)，從上述三種卡片中選取若干張， 使得這些卡片上的數(shù)字之和為m考慮不同的選法種數(shù)，例如當(dāng)m11時(shí)，有如下兩種選法：“一張卡片寫有1，另一張卡片寫有10”或“11張寫有1的卡片”，則選法種數(shù)為2（1）若m100，直接寫出選法種數(shù)；（2）設(shè)n為正整數(shù)，記所選卡片的數(shù)字和為100n的選

9、法種數(shù)為an當(dāng)n2時(shí)，求數(shù) 列an的通項(xiàng)公式南京師大附中2014屆高三模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分11； 22； 377； 45； 5； 6必要不充分；

10、 7,0； 8； 94； 10(0，)(5，+)； 1124； 12（0，）； 137a0或a2； 14 二、解答題：15解析:（1）因?yàn)?，由正弦定?得， 2分即=sin(A+C) 4分 因?yàn)锽AC，所以sinB=sin(A+C)，所以因?yàn)锽(0，)，所以sinB0， 所以，因?yàn)椋?7分（2）由（1）知，所以， 8分 設(shè)，則，又 在AMC中，由余弦定理 得 即 解得x2. 12分 故 14分16解析: （1）因?yàn)镻A平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD， 2分 又ACD90，則，而PAACA， 所以CD平面PAC，因?yàn)镃D平面ACD， 4分所以，平面PAC平面PCD 7分（2）

11、證法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM，則EMPA 因?yàn)镋M 平面PAB，PA平面PAB， 所以EM平面PAB 9分 在RtACD中，AM=CM，所以CAD=ACM，又BACCAD，所以BACACM， 則MCAB因?yàn)镸C 平面PAB，AB平面PAB， 所以MC平面PAB 12分 而EMMCM，所以平面EMC平面PAB由于EC平面EMC，從而EC平面PAB 14分 證法二：延長DC，AB交于點(diǎn)N，連PN因?yàn)镹ACDAC，ACCD，所以C為ND的中點(diǎn) 而E為PD中點(diǎn)，所以ECPN 因?yàn)镋C 平面PAB，PN 平面PAB， 所以EC平面PAB 14分17解析:正三棱錐展開如圖所示當(dāng)按照底邊包裝時(shí)體積最大

12、 設(shè)正三棱錐側(cè)面的高為h，高為h 由題意得：xh10，解得h10x 2分 則h ，x(0,10) 5分 所以，正三棱錐體積VShx2 8分設(shè)yV2(100x)， 求導(dǎo)得y ，令y0，得x8， 10分 當(dāng)x(0，8)時(shí)，y0，y隨著x的增加而增大， 當(dāng)x(8，10)時(shí)，y0，y隨著x的增加而減小， 所以，當(dāng)x8 cm時(shí)，y取得極大值也是最大值 12分 此時(shí)y15360，所以Vmax32 cm3 答：當(dāng)?shù)酌孢呴L為8cm時(shí)，正三棱錐的最大體積為32cm3 14分18解析: （1）由題設(shè)可知a2 1分 因?yàn)閑，即，所以c 又因?yàn)閎2a2c2431，所以b1 2分（2）由題設(shè)可知，橢圓的方程為y21，直

13、線MN的方程為yx1設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程組，消去y可得5x28x0，解得x10，x2 將x10，x2，代入直線MN的方程，解得y11，y2所以MN 4分設(shè)與直線MN平行的直線m方程為yx聯(lián)立方程組，消去y可得5x28x4240，若直線m與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足64220(424)0，解得 6分當(dāng)直線m為yx時(shí)，直線l與m之間的距離為d1；當(dāng)直線m為yx時(shí)，直線l與m之間的距離為d2； 8分設(shè)點(diǎn)C到MN的距離為d，要使CMN的面積為S的點(diǎn)C恰有兩個(gè)，則需滿足d1dd2，即d因?yàn)镾dMNd，所以S 10分 （3）方法一 設(shè)直線A1M的方程為yk1(x2)，直線A2N的方

14、程為yk2(x2) 聯(lián)立方程組，消去y得(14k12)x216k12x16k1240， 解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，) 同理，可解得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，) 12分 由M，D，N三點(diǎn)共線，有，化簡得(k23k1)(4k1k21)0 由題設(shè)可知k1與k2同號，所以k23k1 14分 聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，) 將k23k1代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，得xG4 所以，點(diǎn)G恒在定直線x4上 16分 方法二 顯然，直線MN的斜率為0時(shí)不合題意 設(shè)直線MN的方程為xmy1 令m0，解得M(1，)，N(1，)或M(1，)，N(1，) 當(dāng)M(1，)，N(1，)時(shí)，直線A1M的方程為yx，直線A2N的方程為yx 聯(lián)立方程組

15、，解得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4，)； 當(dāng)M(1，)，N(1，)時(shí)，由對稱性可知交點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4，) 若點(diǎn)G恒在一條定直線上，則此定直線必為x4 12分 下面證明對于任意的實(shí)數(shù)m，直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)G均在直線x4上 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(4，y0) 由點(diǎn)A1，M，G三點(diǎn)共線，有，即y0 再由點(diǎn)A2，N，G三點(diǎn)共線，有，即y0 所以， 將x1my11，x2my21代入式，化簡得2my1y23(y1y2)0 14分 聯(lián)立方程組，消去x得(m24)y22my30， 從而有y1y2，y1y2 將其代入式，有2m30成立 所以，當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)G均在

16、直線x4上 16分19解析：（1）由數(shù)列an是等差數(shù)列及a1a2a39，得a23， 由數(shù)列bn是等比數(shù)列及b1b2b327，得b23 2分 設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，若m18，則有解得或 所以，an和bn的通項(xiàng)公式為或 4分 由題設(shè)b4b3m，得3q23qm，即3q23qm0（*）因?yàn)閿?shù)列bn是唯一的，所以若q=0，則m=0，檢驗(yàn)知，當(dāng)m=0時(shí)，q=1或0（舍去），滿足題意；若q0，則(3)212 m0，解得m，代入（*）式，解得q，又b23，所以bn是唯一的等比數(shù)列，符合題意 所以，m=0或 8分 （2）依題意，36(a1b1) (a3b3)， 設(shè)bn公比為q，則有36(3d

17、)(3d3q)， （*） 記m3d，n3d3q，則mn=36將（*）中的q消去，整理得： d2(mn)d3(mn)360 10分d的大根為 而m，nN*，所以 (m，n)的可能取值為： (1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) 所以，當(dāng)m1，n36時(shí)，d的最大值為 16分20解析：（1）當(dāng)a1時(shí)，f (x)(x0)， 1分 由f (x)0得：x ；由f (x)0得：0x 2分所以，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,) 3分 （2）當(dāng)a2時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M (m，n) f (x)4x3( x0)， 所以，切線

18、的斜率k4m3 又直線OM的斜率為 ， 5分 所以，4m3，即m2lnm10， 又函數(shù)ym2lnm1在(0,)上遞增，且m1是一根，所以是唯一根， 所以，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1 7分 （3）a時(shí)，由函數(shù)yf(x)在其圖象上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為： y(x0)(xx0)x02x02ln x0 8分 令h(x)(x0)(xx0)x02x02ln x0， 設(shè)F(x)f(x)h(x)，則F(x0)0 且F (x)f (x)h (x)x(x0) (xx0)()(xx0) (x) 10分 當(dāng)0x02時(shí)，x0，F(xiàn)(x)在(x0,)上單調(diào)遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，0； 當(dāng)x02時(shí)，x0，F(xiàn)(x)在(,x0)上單調(diào)遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，0 因此，yf(x)在(0，2)和(2，)上不存在“巧點(diǎn)” 13分 當(dāng)x02時(shí)， F (x)0，所以函數(shù)F(x)在(0,)上單調(diào)遞減 所以，x2時(shí)，F(xiàn)(x)F(2)0，0；0x2時(shí)，F(xiàn)(x)F(2)0，0 因此，點(diǎn)(2，f(2)為“巧點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)為2 16分南京師大附中2014屆高三模擬考試 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2014.0521【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分請?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證