第4章線性方程組習(xí)題

1、第4章 線性方程組一、知識(shí)結(jié)構(gòu)分析 （1）線性方程組求解和線性相關(guān)性，矩陣的秩和矩陣的變換之間的關(guān)系。線性方程組一章的內(nèi)容是線性代數(shù)發(fā)展的淵源，正是線性方程組的求解研究導(dǎo)致了向量線性相關(guān)性的研究，就是確定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的問(wèn)題。這些問(wèn)題可通過(guò)矩陣的秩和子式的計(jì)算來(lái)確定。第三章的內(nèi)容，無(wú)論是線性相關(guān)性還是矩陣的秩，都是和方程組求解密切相關(guān)，要通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，使學(xué)生整體掌握知識(shí)體系。 矩陣的初等行變換應(yīng)是初等變換的重點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)與方程的恒等變換（保持同解）。行階梯型矩陣對(duì)應(yīng)的方程組可通過(guò)把自由未知量移到右邊，再通過(guò)回代求解。而行最簡(jiǎn)形不用回代可直接寫(xiě)出解的表示式。如果僅

2、求矩陣的秩或確定向量組的最大無(wú)關(guān)組，把矩陣化簡(jiǎn)到階梯型即可。 （2）方程組的解結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的行向量組或列向量組的相關(guān)性分析是該理論的難點(diǎn)，齊次方程組有非零解與對(duì)應(yīng)的行向量組或列向量組線性相關(guān)性有對(duì)應(yīng)關(guān)系，非齊次方程組有解和向量的表示有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，要學(xué)會(huì)靈活的應(yīng)用這些關(guān)系來(lái)分析問(wèn)題。二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析與教材處理：（1） 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)部分要結(jié)合向量空間，向量空間的基與向量組的最大無(wú)關(guān)組的回顧，加深上章基本概念的理解。（2） 齊次方程組的矩陣表示和向量表示要闡明有非零解與列向量組線性相關(guān)性的關(guān)系。（3）方程求解的變換化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的行最簡(jiǎn)型，結(jié)合初等變換的內(nèi)容使對(duì)初等變換的理解更具體。（4）方程組通解

3、的兩種表示方法，用基礎(chǔ)解系表示的間接方法和用自由未知量表示的直接方法。（5）解空間用基礎(chǔ)解系聯(lián)系向量空間用基表示的關(guān)系，闡明向量空間和向量組的不同。（6）非齊次方程組的矩陣和向量表示與向量組線性相關(guān)性的關(guān)系，增廣矩陣和系數(shù)矩陣的列向量組之間的關(guān)系。（7）含有參數(shù)的方法的參數(shù)識(shí)別，即方程組的反問(wèn)題，了解正問(wèn)題的和反問(wèn)題的初步概念。三、常見(jiàn)的問(wèn)題和易犯的錯(cuò)誤 （1）帶參數(shù)的矩陣化簡(jiǎn)忽略帶參數(shù)的分母為零的討論。 （2）不能掌握方程化簡(jiǎn)分析的一般步驟。四、參考資料與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五、 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與提示1 1 求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及一般解：（1）解：對(duì)系數(shù)矩陣做初等行變換（相當(dāng)于對(duì)方程做化簡(jiǎn)），化

4、簡(jiǎn)后的方程組為分別取和代入方程組求解得到基礎(chǔ)解系為，通解為或者直接寫(xiě)出通解為基礎(chǔ)解系為（2）解：對(duì)系數(shù)矩陣做初等變換,因此，只有零解。2 2 求解下列非齊次線性方程組：（1） （1） ，（2）解：對(duì)增廣矩陣做初等行變換，方程組無(wú)解3 3 討論取什么值時(shí)下列方程組有解，并求解：（1），解：法一、對(duì)增廣矩陣作行變換，把方程組化簡(jiǎn)若，則方程組化簡(jiǎn)為，其解為若，則有若，此時(shí)無(wú)解如，即方程組有唯一解 法二（分析）根據(jù)Gramer法則，如果系數(shù)行列式非零，則有唯一解，對(duì)于行列式等于零的情況再分析是無(wú)解還是多解系數(shù)行列式為因此方程組有唯一解，其解為易知時(shí)方程組無(wú)解，時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，其解為（2）解：對(duì)增

5、廣矩陣作行變換當(dāng)時(shí)，無(wú)解。當(dāng)時(shí)若，則有唯一解時(shí)，無(wú)解（3）解：方法一、系數(shù)行列式為根據(jù)Gramer法則可知，當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。其解為當(dāng)時(shí)，增廣矩陣為，方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解4 4 設(shè)問(wèn)為何值時(shí)此方程組有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？并在有解時(shí)求其通解。分析：求系數(shù)行列式，如果則有唯一解。對(duì)于的情況分別討論，這種方法思路清晰，但計(jì)算量大。另一種方法是用初等變換化簡(jiǎn)方程，但要注意分母為零的情況。解：法一、系數(shù)行列式為，因此當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)通解為，其中為任意實(shí)數(shù)。5設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，且 求該方程組的通解。解：四元非齊次線性方

6、程組的系數(shù)矩陣的秩為3 ,對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量，故只需求出一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)非零解。為非齊次方程組的特解，也是非齊次方程組的解，因此因此通解為其中為任意實(shí)數(shù)。6.設(shè)，證明這個(gè)方程組有解的充分必要條件是 解：對(duì)方程組的增廣矩陣做初等變換由非齊次方程組解的判定定理知，方程組有解的充分必要條件是，即7證明：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系。證明：設(shè)是與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組，因?yàn)榭捎没A(chǔ)解系線性表示，故是齊次方程組的解。由條件知，它們是線性無(wú)關(guān)的。由任一解可由基礎(chǔ)解系線性表示，由等價(jià)性可知，可由線性表示，因此是基礎(chǔ)解系。注：實(shí)際上基礎(chǔ)解系所含解向

7、量的個(gè)數(shù)均為。8設(shè)A，B都是n階方陣，且AB=0，證明。證明：考慮矩陣方程與方程組解的關(guān)系，將按列分塊，即考慮B的列向量可表示為 即，也就是說(shuō)是方程的解。（1）如果的秩，則知只有零解，而又是的解，故知，即，結(jié)論成立。（2）如果，則的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量，設(shè)為，又為的解，故向量組可由基礎(chǔ)解系線性表示，由定理知即，故9設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證明： （1）線性無(wú)關(guān); (2)線性無(wú)關(guān)。證明：（1）設(shè)用去左乘方程兩端，有因此，代入上式得到 因是線性無(wú)關(guān)的，因此，即線性無(wú)關(guān);（2） （2） 類(lèi)似的考慮，即用去左乘方程兩端得到，代入上式，由的線性無(wú)關(guān)性可知，因而，故線性無(wú)關(guān)。10設(shè)是非齊次線性方程組的s個(gè)解，為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明 ：也是它的解。證明：將表示式代入則有故是方程組的解。11 設(shè)非齊次方程組的系數(shù)矩陣秩為r,是它的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解（由題9知它確有n-r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解）。試證它