考研數(shù)學(xué)二階微分方程講義(卓越資料

1、卓越考研內(nèi)部資料（絕密）卓而優(yōu) 越則成卓越考研教研組匯編42 二階微分方程A 基本內(nèi)容一、線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。 二階齊次線性方程 （1） 二階非齊次線性方程 （2）1、若，為(1)的兩個(gè)特解，則它們的線性組合(為任意常數(shù))仍為同方程的解，特別地，當(dāng)（為常數(shù)），也即與線性無(wú)關(guān)時(shí)，則方程的通解為2、若，為(2)的兩個(gè)特解，則為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的一個(gè)特解。3、若為(2)一個(gè)特解，為(1)的任意特解，則為(2)的一個(gè)特解。4、若(2)的一個(gè)特解，而為(1)的通解（，為獨(dú)立的任意常數(shù)）則是(2)的通解。5、設(shè)

2、與分別是與的特解，則是的特解。二、二階常系數(shù)齊次線性方程1、方程形式 其中，為常數(shù)，2、解法 特征方程 特征方程根的三種不同情形對(duì)應(yīng)方程通解的三種形式（1）當(dāng)，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根， 則方程的通解為（2）當(dāng)，特征方程有二重根 則方程的通解為（3）當(dāng)，特征方程有共軛復(fù)根， 則方程的通解為三、二階常系數(shù)非齊次線性方程1、方程形式： 其中為常數(shù) 通解： 其中為對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個(gè)特解如何求。 我們根據(jù)的形式，先確定特解的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確定這些系數(shù)就得到特解，常見(jiàn)的的形式和相對(duì)應(yīng)地的形式如下：1、，其

3、中為次多項(xiàng)式 （1）若不是特征根，則令 其中為待定系數(shù)。 （2）若是特征方程的單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令2、其中為次多項(xiàng)式，為實(shí)常數(shù) （1）若不是特征根，則令 （2）若是特征方程單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令3、 或 其中為次多項(xiàng)式，皆為實(shí)常數(shù)（1）若不是特征根，則令 其中 為待定系數(shù) 為待定系數(shù)（2）若是特征根，則令四、差分方程考試要求一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 (1)其中為已知函數(shù)，為非零常數(shù)當(dāng)時(shí)，方程(1)變?yōu)椋?(2)我們稱（1）為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，稱(2)為其對(duì)應(yīng)的一階常系數(shù)齊次線性差分方程1齊次差分方程的通解通過(guò)

4、迭代，并由數(shù)學(xué)歸納法可得（2）的通解為這里為任意常數(shù)。2非齊次差分方程的解的性質(zhì)(1) 若是非齊次差分方程（1）的一個(gè)特解，是齊次差分方程（2）的通解，則非齊次差分方程（1）的通解為(2) 若與分別是差分方程和的解，則+是差分方程+的解非齊次差分方程(1)的特解形式的設(shè)定如下表：B 典型例題一、常系數(shù)齊次線性微分方程例1、求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4）解：（1）特征方程 ，即 特征根 ， 微分方程通解 （2）特征方程 ，即 特征根 二重根 微分方程通解 （3）特征方程 特征根 微分方程通解 （4） 特征方程 即 特征根 二重根， 微分方程通解 例2、設(shè)方程，求滿足，的特解。 二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程例1求微分方程的一個(gè)特解。答案 例2、求微分方程的通解。答案： 例3、求的通解。答案：例4、求