高中數(shù)學解題思想之等價變換思想

1、等價轉(zhuǎn)化思想方法等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的

2、不同要求，實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進行等價轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體

3、現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化。可以說，等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學操作中實施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標準型向標準型進行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進

4、行數(shù)學操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，有如順水推舟，經(jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。、再現(xiàn)性題組：1. f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x，則f(7.5)等于_。 A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52.設(shè)f(x)3x2，則ff(x)等于_。 A. B. 9x8 C. x D. 3. 若m、n、p、qR且mna，pqb，ab0，則mpnq的最大值是_。 A. B. C. D. 4. 如果復數(shù)z滿足|z|z|2，那么|z1|的最小值為_。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 設(shè)橢圓1 （ab0）的半焦距為c，直線l過(0,a)和(b,0

5、)，已知原點到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA5，SB4，SC3，D為AB的中點，E為AC的中點，則四棱錐S-BCED的體積為_。 A. B. 10 C. D. 【簡解】1小題：由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f(7.5)f(-0.5)f(0.5)，選B；2小題：設(shè)f(x)y，由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系，選C；3小題：由mpnq容易求解，選A；4小題：由復數(shù)模幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法求解，選A；5小題：ab，變形為12e31e70，再解出e，選B；6小題：由SS和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容易求，選A。、示范性題組：例1.

6、若x、y、zR且xyz1，求(1)( 1)( 1)的最小值?！痉治觥坑梢阎獂yz1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式xyz，或者運用均值不等式后含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進行合理的變形，即等價轉(zhuǎn)化?！窘狻?1)( 1)( 1)（1x）(1y)(1z)(1xyzxyyzzxxyz)(xyyzzxxyz)131119【注】對所求式進行等價變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，則不難由平均值不等式而進行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變中保持值不變。例2. 設(shè)x、yR且3x2y6x，求xy的范圍?！痉治觥?設(shè)kxy，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實數(shù)

7、解時求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍。【解】由6x3x2y0得0x2。設(shè)kxy，則ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其對稱軸為x3。由0x2得k0,4。所以xy的范圍是：0xy4?！玖斫狻?數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）：由3x2y6x得(x1)1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標原點。xy的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設(shè)圓方程為xyk，代入橢圓中消y得x6x2k0。由判別式368k0得k4,所以xy的范圍是：0xy4。【再解】 三角換元法，對已知式和待求式都可以進行三角

8、換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：由3x2y6x得(x1)1，設(shè)，則xy12coscossin12coscoscos2cos0,4所以xy的范圍是：0xy4?！咀ⅰ勘绢}運用多種方法進行解答，實現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個知識點，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。例3. 求值：ctg104cos10 【分析】分析所求值的式子，估計兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角?！窘庖弧縞tg104cos104cos10（基本過程：切化弦通分化同名拆項差化積化同名差化積）【解二】ctg104cos104co

9、s10（基本過程：切化弦通分化同名特值代入積化和差化積）【解三】ctg104cos104cos10（基本過程：切化弦通分化同名拆角80和差角公式）【注】無條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。此種題型屬于三角變換型。一般對，對于三角恒等變換，需要靈活運用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。例4. 已知f(x)tgx，x(0, )，若x、x(0, )且xx，求

10、證：f(x)f(x)f() （94年全國高考）【分析】從問題著手進行思考，運用分析法，一步步探求問題成立的充分條件。【證明】f(x)f(x)f() tgxtgxtg() 1cos(xx)2cosxcosx 1cosxcosxsinxsinx2cosxcosx cosxcosxsinxsinx1 cos(xx)1 由已知顯然cos(xx)f() SA M D N C B 【注】 本題在用分析法證明數(shù)學問題的過程中，每一步實施的都是等價轉(zhuǎn)化。此種題型屬于分析證明型。例5. 如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成角等于NSC。求

11、證：SC垂直于截面MAB。（83年全國高考）【分析】 由三垂線定理容易證明SCAB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識證明SCDM?！咀C明】由已知可得：SN底面ABC，ABCD，CD是斜線SC在底面AB的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面SDNC MDC就是截面MAB與底面所成的二面角由已知得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt即 SCDM所以SC截面MAB。【注】立體幾何中有些問題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來解決，即考慮在一個平面上的證明時運用平面幾何知識。、鞏固性題組：1. 正方形ABCD與正方形ABEF成90的二面角，則AC與BF所成的角為_。

12、A. 45 B. 60 C. 30 D. 902. 函數(shù)f(x)|lgx|，若0af(b)，則下列各式中成立的是_。 A. ab1 B. ab1 D. a1且b13. (nN)的值為_。 A. B. C. 0 D. 14. (abc)展開式的項數(shù)是_。 A. 11 B. 66 C. 132 D. 35. 已知長方體ABCD-ABCD中，AAAD1，AB，則頂點A到截面ABD的距離是_。6. 已知點M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，則|MN|的最大值為_。7. 函數(shù)y的值域是_。8. 不等式log（xx3）log(x2)的解是_。9設(shè)x0，y0，求證：(xy)(xy) (86年上海高考)10. 當x0, 時，求使