二次函數(shù)與特殊三角形、四邊形綜合題

1、二次函數(shù)與特殊三角形、四邊形綜合題一、與等腰三角形、直角三角形相關【例1】 如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形解：（1）由題意知，當、運動到秒時，如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形， 解得5分（2）分三種情況討論： 當時，如圖作交于，則有即，解得 6分 當時，如圖，過作于H則，7分 當時，如圖則 -8分綜上所述，當、或時，為等腰三角形 【例2】 如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸的正半軸上，在軸的正半軸上，點在

2、邊上且（1）求直線的解析式（2）在軸上是否存在點，直線與矩形對角線交于點，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由（3）拋物線經(jīng)過怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過點和點（點在軸正半軸上），且沿折疊后點落在邊上處？解：（1）OA=1，OC=2則A點坐標為（0，1），C點坐標為（2，0）設直線AC的解析式為y=kx+b解得直線AC的解析式為2分（2）或（正確一個得2分）8分第25題（3）如圖，設過點作于F由折疊知或210分【例3】 在平面直角坐標系中，A、B為反比例函數(shù)的圖象上兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，將的圖象繞原點O順時針旋轉90，A點的對應

3、點為，B點的對應點為（1）求旋轉后的圖象解析式；（2）求、點的坐標；（3）連結動點從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動設運動的時間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由解：（1）旋轉后的圖象解析式為 1分（2）由旋轉可得（4，-1）、（1，-4） 3分（3）依題意，可知若為直角三角形，則同時也是等腰三角形，因此，只需求使為直角三角形的值分兩種情況討論：當是直角，時，如圖1，AB=8，BA=，AM=BN=MN=t，BM=8-t， 4分解得

4、 （舍去負值）， 5分當是直角，時，如圖2，AB=8，BA=，AM=BN=t，BM=MN=8-t，解得 ，此時t值不存在 6分（此類情況不計算，通過畫圖說明t值不存在也可以）綜上所述，當時，為等腰直角三角形 7分【例4】 如圖，已知拋物線：的頂點為，與軸相交于兩點（點在點的左邊），點的橫坐標是（1）求點坐標及的值；（2）如圖1，拋物線與拋物線關于軸對稱，將拋物線向左平移，平移后的拋物線記為，的頂點為，當點關于點成中心對稱時，求的解析式；（3）如圖2，點是軸負半軸上一動點，將拋物線繞點旋轉后得到拋物線拋物線的頂點為，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、E為頂點的三角形是直角

5、三角形時，求頂點的坐標解：（1）由拋物線C1：得頂點P的坐標為（2，5）.1分點A（1，0）在拋物線C1上.2分（2）連接PM，作PHx軸于H，作MGx軸于G.點P、M關于點A成中心對稱,PM過點A，且PAMA.PAHMAG.MGPH5，AGAH3.頂點M的坐標為（，5）.3分拋物線C2與C1關于x軸對稱，拋物線C3由C2平移得到拋物線C3的表達式. 4分（3）拋物線C4由C1繞x軸上的點Q旋轉180得到頂點N、P關于點Q成中心對稱. 由（2）得點N的縱坐標為5.設點N坐標為（m，5），作PHx軸于H，作NGx軸于G，作PRNG于R.旋轉中心Q在x軸上,EFAB2AH6. EG3，點E坐標為（

6、，0），H坐標為（2，0），R坐標為（m，5）.RGC1C4PNFEHABQyx根據(jù)勾股定理，得 當PNE90時，PN2+ NE2PE2，解得m，N點坐標為（，5）當PEN90時，PE2+ NE2PN2，解得m，N點坐標為（，5）. PNNR10NE，NPE90 7分綜上所得，當N點坐標為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形8分二、與平行四邊形相關【例5】 拋物線與軸相交于、兩點（點在的左側），與軸相交于點，頂點為.（1）直接寫出、三點的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連接，與拋物線的對稱軸交于點，點為線段上的一個動點，過點作交拋物線于點，設點的橫坐標為：用含的代數(shù)式表示

7、線段的長，并求出當為何值時，四邊形為平行四邊形？設的面積為，求與的函數(shù)關系式解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）2分xyDCAOBEPFM拋物線的對稱軸是：x=13分（2）設直線BC的函數(shù)關系式為：y=kx+b把B（3，0），C（0，3）分別代入得：解得：k= -1，b=3所以直線BC的函數(shù)關系式為：當x=1時，y= -1+3=2，E（1，2）當時，P（m，m+3）4分在中，當時，當時，5分線段DE=4-2=2，線段6分當時，四邊形為平行四邊形由解得：（不合題意，舍去）因此，當時，四邊形為平行四邊形7分設直線與軸交于點，由可得：8分即9分【例6】 在平面直角坐標系中，已知拋物線

8、經(jīng)過，三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點為第三象限內拋物線上一動點，點的橫坐標為，的面積為求關于的函數(shù)關系式，并求出的最大值（3）若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點的坐標【例7】 已知：如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸的交點分 別為，將對折，使點的對應點落在直線上，折痕交軸于點（1）直接寫出點的坐標，并求過三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為，在直線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；（3）設拋物線的對稱軸與直線的交點為為線段上一點，直接寫出的取值范圍解：（1

9、）點C的坐標為.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 點A、B的坐標分別為， 可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為. 將代入拋物線的解析式，得. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分 過A、B、C三點的拋物線的解析式為.- - - - - - - - - - - - -3分圖8（2）可得拋物線的對稱軸為，頂點D的坐標為 ，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G.直線BC的解析式為.- - - - - - -

10、 - - - 4分設點P的坐標為.解法一：如圖8，作OPAD交直線BC于點P，連結AP，作PMx軸于點M. OPAD， POM=GAD，tanPOM=tanGAD. ，即. 解得. 經(jīng)檢驗是原方程的解. 此時點P的坐標為. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分但此時，OMGA. OPAD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等， 直線BC上不存在符合條件的點P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 解法二：如圖9，取OA的中點E，作點D關于點E的對稱點P，作PN

11、x軸于點N. 則PEO=DEA，PE=DE.可得PENDEG 由，可得E點的坐標為.NE=EG=， ON=OENE=，NP=DG=. 點P的坐標為. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 x=時， 點P不在直線BC上. 直線BC上不存在符合條件的點P .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分圖10圖9（3）的取值范圍是. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分三、與梯形相關【例8】 如圖，在菱形中

12、，為邊中點，點從點開始沿方向以每秒cm的速度運動，同時，點從點出發(fā)沿方向以每秒的速度運動，當點到達點時，同時停止運動，設運動的時間為秒（1）當點在線段上運動時請用含的代數(shù)式表示的長度；若記四邊形的面積為，求關于的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）顯然，當時，四邊形即梯形，請問，當在線段的其他位置時，以為頂點的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的的值；若不能，請說明理由（1）由題意得BAO=30，ACBDAB=2OB=OD=1，OA=OC=OP=2分過點E作EHBD，則EH為COD的中位線 DQ=x BQ=2-x3分（2）能成為梯形，分三種情況：當PQBE時，PQO=DBE

13、=30即x=此時PB不平行QE，x=時，四邊形PBEQ為梯形.2分當PEBQ時，P為OC中點AP=，即此時，BQ=2-x=PE，x=時，四邊形PEQB為梯形.2分當EQBP時，QEHBPOx=1（x=0舍去）此時，BQ不平行于PE，x=1時，四邊形PEQB為梯形.2分綜上所述，當x=或或1時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形是梯形.1分 【例9】 如圖，為正方形的對稱中心，直線交于，于，點從原點出發(fā)沿軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點從出發(fā)沿方向以個單位每秒速度運動，運動時間為求：（1）的坐標為 ；（2）當為何值時，與相似？（3）求的面積與的函數(shù)關系式；并求以為頂點的四邊形是梯形時的

14、值及的最大值（1）（，）分（2）當MDR45時，2,點（2，0）分當DRM45時，3,點（3，0） 分（）（）；（1分）（）（1分）當時，（1分） （1分）當時， （1分）當時， （1分）【例10】 如圖，在平面直角坐標系中，點關于軸的對稱點為，與軸交于點，將沿翻折后，點落在點處（1）求點、的坐標；（2）求經(jīng)過、三點的拋物線的解析式；（3）若拋物線的對稱軸與交于點，點為線段上一點，過點作軸的平行線，交拋物線于點當四邊形為等腰梯形時，求出點的坐標；當四邊形為平行四邊形時，直接寫出點的坐標.解：（1）如圖所示，點關于軸的對稱點為，與軸交于點，軸于，1分，由題意可知 ， 過點作軸于，軸于，在中， , 由矩形得點在第四象限2分 （2）設經(jīng)過、三點的拋物線的解