高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何3.1空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示3.2空間向量基本定理學(xué)案北師大版選修2-1

1、3.1空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示3.2空間向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量基本定理，并能用基本定理解決一些幾何問題；2.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念；3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo).知識點(diǎn)一空間向量基本定理思考1平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？思考2平面向量的基底唯一確定嗎？梳理(1)空間向量基本定理?xiàng)l件三個(gè)_的向量e1，e2，e3和空間_向量a結(jié)論存在唯一一組實(shí)數(shù)1，2，3，使得_(2)基底條件：三個(gè)向量e1，e2，e3_.結(jié)論：_叫作空間的一個(gè)基底.基向量：基底中的向量e1，e2，e3都叫作基向量.知識點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)表示思考1平面向量的坐

2、標(biāo)是如何表示的？思考2基底不同，向量的坐標(biāo)相同嗎？梳理空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示單位正交基底有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩_的_向量，記作e1，e2，e3空間直角坐標(biāo)系以e1，e2，e3的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以_的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系空間向量的坐標(biāo)表示在給定的空間直角坐標(biāo)系中，i，j，k分別為x軸，y軸，z軸正方向上的單位向量，對于空間中任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得axiyjzk.我們把a(bǔ)xiyjzk叫作a的_，把i，j，k叫作_.(x，y，z)叫作空間向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y，z)，a(x，y，z)叫作向量a的坐標(biāo)表示類型一基底的概念

3、例1若a，b，c是空間的一個(gè)基底.試判斷ab，bc，ca能否作為該空間的一個(gè)基底？反思與感悟基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底.假設(shè)abc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立，的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a，b，c是不共面的三個(gè)非零向量，則可以與向量pab，qab構(gòu)成基底的向量是()A.2a B.2bC.2a3b D.2a5c(2)以下四個(gè)命題中正確的是_.

4、空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示；若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則a，b，c全不是零向量；如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有a與b共線；任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.類型二用基底表示向量例2如圖所示，在平行六面體ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量. (1)；(2)；(3)；(4).反思與感悟用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法

5、則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底a，b，c可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在空間四邊形OABC中，G、H分別是ABC、OBC的重心，設(shè)a，b，c.試用向量a，b，c表示向量.類型三空間向量的坐標(biāo)表示例3在棱長為1的正方體ABCDABCD中，E、F、G分別為棱DD、DC、BC的中點(diǎn)，以，為基底，求下列向量的坐標(biāo). (1)，；(2)，.引申探究本例中，若以，為基底，試寫出，的坐標(biāo).反思與感悟用坐標(biāo)表示空間向量的步驟跟蹤訓(xùn)練3在空間四邊形OAB

6、C中，a，b，c，點(diǎn)M在OA上，且OM2MA，N為BC的中點(diǎn)，在基底a，b，c下的坐標(biāo)為_.1.在以下三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()三個(gè)非零向量a、b、c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a、b、c共面；若兩個(gè)非零向量a、b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a、b共線；若a、b是兩個(gè)不共線的向量，而cab(、R且0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底.A.0 B.1C.2 D.32.已知點(diǎn)A在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，則點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)是()A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)3.若a

7、e1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，則，的值分別為_.4.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系.已知ABAD2，BB11，則的坐標(biāo)為_，的坐標(biāo)為_.5.在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則_.(用a，b，c表示)1.基底中不能有零向量.因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個(gè)非零向量都為共線向量，與任意兩個(gè)非零向量都共面，所以三個(gè)向量為基底隱含著三個(gè)向量一定為非零向量.2.在空間幾何體中，欲得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條線段為坐標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向量用基向

8、量表示，即得所求向量的坐標(biāo).3.用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則.逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示.提醒：完成作業(yè)第二章33.13.2答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中，不共線的e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.思考2不唯一.梳理(1)不共面任一a1e12e23e3(2)不共面e1，e2，e3知識點(diǎn)二思考1在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對

9、于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使axiyj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫作向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y叫作a在y軸上的坐標(biāo).設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)，即若(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).思考2不相同.梳理垂直單位e1，e2，e3標(biāo)準(zhǔn)正交分解標(biāo)準(zhǔn)正交基題型探究例1解假設(shè)ab，bc，ca共面，則存在實(shí)數(shù)、，使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c為基底，a，b，c不共面，此方程組無解.ab，bc，ca不共面.ab，bc，ca可以作為空間的一個(gè)基底.跟蹤訓(xùn)練1(1)D(2)例2解連接AC，AD.(1)()()(abc).(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.跟蹤訓(xùn)練