2-28 -微分方程及其解幾何意義、分離變量方法new

1、1.2 微分方程基本概念及其幾何解釋教學(xué)內(nèi)容 1. 介紹微分方程及其解的概念、方程分類; 2.介紹一階微分方程及其解的幾何解釋; 3. 引入變量分離方法求解一階微分方程; 4. 介紹積分常數(shù)由來引入微分方程定解條件-初值條件和邊值條件. 教學(xué)重難點 重點是知道微分方程分類和定解條件，難點是如何從幾何角度來理解一階微分方程及其解. 教學(xué)方法 自學(xué)1、2；講授3、4，5課堂練習(xí) 考核目標(biāo) 1. 會分清常微分方程和偏微分方程、能認清線性微分方程和非線性微分方程、能知道微分方程的階數(shù); 2. 會用分離變量方法求解一階微分方程通解及其初值問題; 3. 知道函數(shù)相關(guān)性和函數(shù)無關(guān)性，并會用Jacobi矩陣來

2、判別; 4. 會用方向場和等傾線方法來描述微分方程解的性質(zhì). 1. 認識微分方程及其類型(1) 方程：是含有 ”未知” 的等式，象雖是等式但不是方程. 若未知的是一個數(shù)，那就是代數(shù)方程；若未知的是一個函數(shù)，那就是函數(shù)方程. 上面13個等式都是方程，未知的都是函數(shù)，因此上面13表達式都是函數(shù)方程. (2) 常(偏)微分方程：函數(shù)方程中未知的是一元函數(shù)且含有其導(dǎo)函數(shù)，則稱其為常微分方程（如上例(1)-(9)）；若函數(shù)方程未知的是多元函數(shù)且含有偏導(dǎo)數(shù)，則稱為偏微分方程.(如上例(10)-(12) (3) 線性(非線性)微分方程：若方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)或偏導(dǎo)函數(shù)都是一次的，則稱其為線性微分方

3、程，這里分類不管方程中自變量以何種函數(shù)形式出現(xiàn)。(1)-(3)、(7)、(9)、(10)-(12)都是線性的；(4)-(5)、(8)、（13）不是，出現(xiàn)未知函數(shù)和.(4) 方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)或偏導(dǎo)函數(shù)最高階數(shù)稱之為方程的階數(shù). 例如(1)-(5)、(8)、(10)、(13)都是一階微分方程；(7)、(12)是二階微分方程；(9)是四階微分方程. 練習(xí) 9. 教材P26 習(xí)題 1. 2. 微分方程的解與定解條件考察落體問題，以鉛直向上的方向建立直線坐標(biāo)系，設(shè)落體在t時刻位置為x，則由牛頓第二定律知，其中g(shù)為重力加速度，負號是由于力方向和x軸正向相反，. 考察函數(shù)，將上述兩

4、個函數(shù)代入方程，易見：左端 = 右端. 于是我們稱為方程的兩個解. 一般地，考察微分方程. 若已知函數(shù)代入上述方程使得微分方程等式成立，則稱為微分方程的一個解. 練習(xí)10. 教材P27 習(xí)題 2.（5）、(6)； 習(xí)題3. (2)、(6). 改寫方程為微分形式，其中為積分常數(shù). 這里大家很快發(fā)現(xiàn)：微分方程解不唯一，有無窮多個. 這里原因是確定解的條件不足. 解釋如下：(1) 在時刻t=0，假設(shè)落體位置x(0)=10, 落體速度是，則從10米處自由下落，規(guī)律如下；(2) 在時刻t=0，假設(shè)落體位置x(0)=20, 落體速度是，則從20米處自由下落，規(guī)律如下；(3) 在時刻t=0，假設(shè)落體位置x(

5、0)=10, 落體速度是，則從10米處先上拋再自由下落，規(guī)律如下；(4) 在時刻t=0，假設(shè)落體位置x(0)=10, 落體速度是，則從10米處先下拋后下落，規(guī)律如下. (5) 經(jīng)觀察在時刻t=0，落體位置x(0)=10, 在時刻t=2，落體位置為x(2)=20，則先上拋再下落，規(guī)律如下 ，這里取g=10. 在上述5中情形下方程的解都是確定的，其中(1)-(4)是給出了初始時刻的位置和速度，也就是給出某個時刻的未知函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的值，這組條件就稱之為初值條件；(5)中給出了兩個不同時刻的位置，也就是給出了x(0)和x(2)的值，這組條件稱之為邊值條件. 一般地，我們稱含有兩個獨立任意常數(shù)的解為

6、為二階方程通解，稱在給定初值條件或邊值條件下的解為方程的特解, 初值條件和邊值條件統(tǒng)稱為定解條件，用來確定通解中相應(yīng)獨立常數(shù). 在該例題中對應(yīng)于初始速度，對應(yīng)于初始位置. 相應(yīng)地稱研究的解問題為初值問題或柯西問題；稱研究的解問題為邊值問題. 一般情形下定義（參見教材P18 表達式(1.42)式和P370表達式(1)-(4)）. 例 13. 給定一階微分方程，(1) 求出它的通解； (2) 求通過點(1, 4)的特解； (3) 求出與直線y=2x+3相切的解；(4) 求出滿足條件的解；(5) 繪出(2)-(4)解的圖像. 解：(1) 改寫方程為為所求通解.(2) 由題意知，y(1)=4，于是，因

7、此所求特解為.(3) 直線斜率為，于是由相切條件知，解得x=1，相應(yīng)地. 于是相切點為(1, 5)，也就是解通過點(1, 5). 于是. 所求特解為.(4) ，所求特解為. (5) 圖像為拋物線經(jīng)向上多次適當(dāng)平移所得, 如圖. 作業(yè)11. 給定一階方程. (1) 求出方程的通解；(2) 分別求出過點(0,1)和(2,1)的特解；(3) 畫出上述特解的圖像.(定義域、單調(diào)性、凸凹性) 3. Jacobi矩陣、變量之間的函數(shù)相關(guān)性、變量獨立性和n階方程的通解(1) Jacobin矩陣：設(shè)有n個自變量的多元函數(shù)，定義如下的Jacobi矩陣，特別地，若m=n，則為一個方陣. (2) 隱函數(shù)定理和反函數(shù)

8、定理：（參見數(shù)學(xué)分析下P148 定理18.1和P155定理18.5）(3) 變量的函數(shù)相關(guān)性：高等代數(shù)中介紹過向量的線性相關(guān)性和線性無關(guān)性. 后面也會提到函數(shù)的線性相關(guān)性和線性無關(guān)性. 這里介紹變量獨立和變量的函數(shù)相關(guān)性. 舉一個例子，整個平面上點(x,y)，這里x 和 y 就是獨立的；對于曲線上點(x,y)， 變量x 和 y 就不獨立了，它們是函數(shù)相關(guān)的，即y= sin x. 再比如，設(shè)(u,v)為平面上任一點，變量x= u cos v, y= u sin v， 則問變量x, y是否獨立？從形式上看，這個變換是極坐標(biāo)變換，由知，(u,v)是(x,y)的函數(shù)，因此變量x, y是獨立的，它們可以

9、在允許范圍內(nèi)獨立任意取值. 再舉上半球面 ，. 這里三個變量x, y, z真正獨立的只有兩個，因為 ，可以由隱函數(shù)定理知，進而，因此，變量z與變量x, y 函數(shù)相關(guān). 一般地，考察n階微分方程，若有解，其中，我們知道初始條件應(yīng)該是n個獨立變量，可以任意選取，就像落體那個例子所呈現(xiàn)的. 下面的問題是考慮任意初始條件能否對應(yīng)于確定的呢？ 這就看在某個鄰域內(nèi)是否行列式不為零. 若行列式不為零，則稱解中常數(shù)是獨立的，稱具有n個獨立常數(shù)的解為n階方程（*）的通解. 例14. 驗證為二階方程的通解.解：，, 因此，是獨立的, 因此，為二階方程的通解. 練習(xí)12. 驗證教材P27習(xí)題2中(5)和(6)都是二

10、階方程的通解. 4. 方向場、積分曲線、等傾線(1) 方向場：考察方程，在f(x,y)定義區(qū)域G內(nèi)每一點(x,y)作小直線段，其中斜率為k=f(x,y), 箭頭方向表示x增加的方向，稱所得的小切線段為線素，稱畫出所有線素后所得到圖像為方程所定義的方向場；稱所有具有相同斜率k的點全體為等傾線. (2) 設(shè)y=y(x)為方程一個特解，則其圖像稱為方程的一條積分曲線，若y=y(x,c)為方程的通解，則其圖像為一族積分曲線. (3) 由上述定義知，方程任一條積分曲線上每點切線與該點線素重合；反過來，如果在G內(nèi)一條光滑曲線y=y(x)滿足曲線上每點切線與線素重合，則該曲線一定是積分曲線.例15. 畫出(

11、1) 方程的方向場; (2) 方程的方向場；(3) 的方向場.解：(1) (2) (3) 等傾線：(1) 2x=k; (2) y=k; (3) -x =k y. 例16. 考察Riccati方程. 畫出等傾線, 特別地取k=-1, k=0, k=1. 解：當(dāng)初始點落在兩拋物線之間，當(dāng)x趨于正無窮大時，y趨于拋物線x=y2. 練習(xí)13. （1） 畫出方程的方向場. （2）研究方程不同初始條件下解當(dāng)x趨于正無窮大時的性態(tài).5. 應(yīng)用題例17. 將某物體放置在空氣中，在時刻t=0時，測得它溫度為，10分鐘后測得它溫度為，現(xiàn)假定空氣溫度保持為，試問20分鐘后，物體的溫度為多少？解：設(shè)在t時刻物體溫度為T(t)，則由牛頓冷卻定律知， . 分離變量得到，改寫為 . 再由初始條件T(0)=150知，.于是，物體溫度變化規(guī)律為.由T(10)=100知，;( 還有一種方法由此方程求出k ), 再次改寫為.解得 T(20). 答：20分鐘后物體的溫度約為. 作業(yè)14. 根據(jù)實驗，在一年里每克鐳衰變了0.44毫克，經(jīng)過多少年鐳將衰變到原來數(shù)量的一半？