自動控制原理_課后答案(孫亮_楊鵬_著)_北京工業(yè)大學(xué)出版社

1、第 2 章習(xí)題及解答21 已知電網(wǎng)絡(luò)如題圖所示，輸入為ui ( t) ，輸出為 uo (t) ，試列寫微分方程。CR1LuiR1 R2uoui CR2 uo(a)(b)習(xí)題 21題解：（1）由題圖，設(shè)電流變量如圖所示，寫出變量約束方程為R1i1 (t) + R2i(t) = ui (t)i2Ci1i1 (t) + i2 (t) = i(t)iR1R i (t) 1i (t)dt = 0uiR2uo1 1C2R2i(t) = uo (t)化簡，消去中間變量 i1 (t), i2 (t), i(t) 得到輸出變量為 uo (t) ，輸入變量為 ui (t) 的微分方程為R1R2Cduo (t)+

2、(R1 + R2 )uo (t) = R1R2Cdui (t)+ R2ui (t)dtdt可簡寫為R1R2C uo (t)+ (R1 + R2 )uo (t) = R1R2C ui (t) + R2ui (t)（2）由題圖，設(shè)電流變量如圖所示，寫出變量約束方程為1R1iLi2R1i(t) +C i1 (t)dt= ui (t)i1 (t) + i2 (t) = i(t)uiCi1 R2uoL di2 (t) + R i (t) =1 i (t)dtdt22C 1R2i2 (t) = uo (t)化簡，消去中間變量 i1 (t), i2 (t), i(t) 得到輸出變量為 uo (t) 分方程為

3、R1LC uo (t) + (L + R1R2C) uo (t) + (R1 + R2 )uo (t)，輸入變量為 ui (t) 的微= R2 ui (t)解畢。122 電磁鐵的磁拉力計算公式為F ( x , i) =0 S ( Ni)2，（單位：N）4x2式中，0為空氣導(dǎo)磁率，S為磁極面積，N為激磁繞組匝數(shù)，i為激磁電流，x為氣隙大小，求出 F( x, i) 的線性化方程。題解：由于磁拉力 F( x, i) 為電流 i 和位移 x 的雙元函數(shù)，在工作點鄰域 F0 (x0 , i0 ) ，其泰勒級數(shù)展開式為F (x, i) = F0 (x0 , i0 ) + F x (x, i)x=x0 (x

4、 x0 ) + F i (x, i)x=x0 (i i0 ) +i=ii=i001 (x x )21 (i i )2 +F x (x, i)x=x+F i (x,i)x=x2!002!00i=i0i=i0忽略二次以上各項有F (x, i) = F0 (x0 , i0 ) + F x (x, i)x=x0 (x x0 ) + F i (x, i)x=x0 (i i0 )i=ii=i00令F = F (x, i) F0 (x0 , i0 )Kx = F x (x, i) x= x0i=i0Ki = F i (x, i) x=x0i=i0x = x x0i = i i0則有磁拉力增量式= S(Ni

5、)2002x30=SN2i002x20F = Kx x + Ki i將增量式寫為一般函數(shù)表達式有F = Kx x + Ki i = 0 S(Ni0 )2 x + 0 SN 2i0 i2x032x02解畢。23 求下列時間函數(shù) f ( t)的拉氏變換 F ( s)。（a）f ( t ) = 0.5(1 cos 5t)（b） f (t) = e0.2t cos 314t（c） f (t) = sin(5t + )3題解：2（a）f ( t ) = 0.5(1 cos 5t)由定義或者查表F (s) = 0.5(1s) =12.5ss2 + 25s(s2 + 25)（b） f (t) = e0.2t

6、 cos 314t由于Lcos 314t =ss2 + 3142應(yīng)用拉氏變換的衰減定理有F (s) =s + 0.2(s + 0.2)2 + 3142（c） f ( t ) = sin(5t + 3 )由于=s + 0.2s2 + 0.4s + (3142 + 0.22 )sin(5t + ) = cos sin 5t + sin cos 5t =1 sin 5t +3 cos 5t33322所以F (s) =15+3s=0.866s + 2.5（d） f (t) = t 2 e3t2s2 + 522s2 + 52s2 + 25由于Lt 2 =2!s3應(yīng)用拉氏變換的衰減定理有F (s) =2(

7、s + 3)3解畢。MATLAB 語言求解（a）f ( t ) = 0.5(1 cos 5t)syms tf=0.5*(1-cos(5*t);F=laplace(f)F =1/2/s-1/2*s/(s2+25)（b） f (t) = e0.2t cos 314tsyms tf=exp(-0.2*t)*cos(314*t);F=laplace(f)F =(s+1/5)/(s+1/5)2+98596)3（c） f ( t ) = sin(5t + 3 )syms tf=sin(5*t+pi/3);F=laplace(f)F =(1/2*s*3(1/2)+5/2)/(s2+25)（d） f ( t

8、) = t 2 e3tsyms tf=t2*exp(-3*t);F=laplace(f)F =2/(s+3)3解畢。424 求出題圖所示時間信號 f ( t)的拉氏變換 F ( s)。f(t)f(t)半波正弦f(t)占空比=Tt0AMttt000t0/-MT01（a）（b）（c）習(xí)題 24題解：f(t)f1(t)（a） 由于信號 f (t) 可以分解為信號的組合如圖所示，t1f (t) = t 1(t) F (s) =0t0f2(t)11s2f3(t)f(t) = (t t0) 1(t t) F(s) = 1 et0 s202s21f(t) = t1(t t) F(s) = t et0 ss3

9、0030所以拉氏變換為F (s) = F (s) + F (s) + F (s) =11 et0 s t1 et0 s=1 et0 s (1+ t0 s)s2s123s20s2（b） 由于信號 f (t) 可以分解為信號的組合如圖所示，f(t)f1(t)f2(t)f1 (t) = Asint F1 (s) =AAts2 + 20Af (t) = sin t 1(t ) F (s) = ess2+ 222所以拉氏變換為F(s) = F (s) + F (s) =A (1+ es )12s2 + 2（c） 由于信號 f (t) 為周期信號，第一周期的信號如圖所示，其拉氏變換為f(t)占空比=TF1

10、 (s) =M2MeTs+MeTs=M(1 2eTs+ eTs)MTssss0已知 F1 (s) ，則周期信號的拉氏變換為-MF (s) =1 F1(s)1 eTs所以占空比為的方波脈沖信號的拉氏變換為F (s) =1 F (s) =M1 2eTs + eTs1 eTs1s1 eTs解畢。25 已知下列拉氏變換 F ( s)，求出時間表達式 f ( t)，并畫出曲線草圖。5（a） F ( s) =s 2 + s + 100（b） F ( s) =s 2 + 3s + 5s ( s2 +100)s 2 + 2 s + 4（c） F ( s) =1 eTs（d） F ( s) =1s21 eTs題

11、解：（a）將 F (s) 作海維塞分解可分解為1.1F (s) =1+1s 2+ 100s作拉氏反變換，有1=1111f (t) = L+= 1(t) +sin10tss 2 + 10010時間曲線如圖所示。0.91230（b）將 F (s) 作海維塞分解可分解為1s +1s +1F (s) = 1 + s2 + 2s + 4= 1+ (s +1)2 + ( 3)20.5作拉氏反變換，有01s +13)2 = (t) + etf (t) = L1 + (s + 1)2 + (cos 3t-0.5時間曲線如圖所示。2460（c） F (s) 可分解為 12 eTstF (s) = 12Tss0作

12、拉氏反變換，有Tf (t) = L1 s12 s12 eTs = t 1(t) (t T ) 1(t T )時間曲線如圖所示。（d） F (s) 可作等比級數(shù)分解為F (s) =1= 1 + eTs + e2Ts + 1 eTs作拉氏反變換，有f (t) = L11 + eTs + e2Ts + = (t) + (t T ) + (t 2T ) + 時間曲線如圖所示。解畢。626 用拉氏變換法求解下式微分方程。= r ，r = R 1( t)， c(0) = 0（a） 2 c+ 7 c+ 5c0, c(0)（b） 2 c+ 7 c+ 5c= 0 ， c(0) = c0 ， c(0)= c0題解

13、：= r ，r = R 1( t)， c(0) = 0（a） 2 c+ 7 c+ 5c0, c(0)將方程兩邊作拉氏變換+L2 c7 c+ 5c = Lr由拉氏變換的線性定理有L2 c + L7 c + L5c = Lr由拉氏變換的微分定理有+ 7sC(s) c(0) + 5C(s) = R(s)2s2C(s) sc(0) c(0)1將初值 c(0) =0, c(0) = 0 及輸入信號的拉氏變換 R(s) = LR 1(t) = R 代入上式s12s2C(s) + 7sC(s) + 5C(s) = R s有輸出信號的拉氏變換為C(s) =11 R = R 1111+212s2 + 7s +

14、55s3s+115s+ 2.5s作拉氏反變換解得c(t) = R 11(t) 1 et+2 e2.5t 1553（b） 2 c+ 7 c+ 5c= 0 ， c(0) = c0 ， c(0)= c0本題為齊次方程求解，初始條件不為零而輸入信號為零。將方程兩邊作拉氏變換= 0L2 c+ 7 c+ 5c由拉氏變換的微分定理有2s2C(s) sc(0) c(0) + 7sC(s) c(0) + 5C(s) = 0將初值 c(0) = c0 ， c(0) = c0 代入上式2s2C(s) 2sc0 2 c0 + 7sC(s) 7c0 + 5C(s) = 0整理有2s 2 + 7s + 5C(s) = 2

15、c0 s +(2 c0+ 7c0 )方程解的拉氏變換為C(s) =2c0 s + (2 c0+ 7c0 )2s 2 + 7s+ 57作拉氏反變換解得c(t) =2 c0+ 5c0 et 2 c0+ 2c0 e2.5t33解畢。MATLAB 符號運算求解= 0（a） 2 c+ 7 c+ 5c = r ，r = R 1( t)， c(0) =0, c(0)f=2*D2c+7*Dc+5*c=R,c(0)=0,Dc(0)=0;dsolve(f)ans =1/5*R-1/3*R*exp(-t)+2/15*R*exp(-5/2*t)（b） 2 c+ 7 c+ 5c = 0 ， c(0)= c0 ， c(0

16、)= c0f=2*D2c+7*Dc+5*c=0,c(0)=c1,Dc(0)=c2;dsolve(f,t)ans =(5/3*c1+2/3*c2)*exp(-t)+(-2/3*c1-2/3*c2)*exp(-5/2*t)解畢。27 用運算放大器組成的有源電網(wǎng)絡(luò)如題圖所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法寫出它們的傳遞函數(shù)。R2R3R2Cui R1Cui R1R3uouo-R4-+R5（a）（b）習(xí)題 27題解：（a）應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗法，如圖所示計算反饋復(fù)數(shù)阻抗Uo (s)R21= I (s)R3+R2R Cs +1R22R2Cs +1則反饋復(fù)數(shù)阻抗為Z(s) =Uo (s)= R R Cs + R + RfI (s

17、)2 323對于反相運算電路，其傳輸關(guān)系為，G(s) =U(s)= Z f (s)，輸入阻抗為 Z(s) = R ，oUi (s)Zi (s)i1將輸入阻抗與反饋阻抗代入上式，得到傳遞函數(shù)為G(s) = 1(R R Cs + R + R ) = R2 + R3(R2 R3Cs +1)2323R1R2 + R3R18（b）應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗法，計算反饋復(fù)數(shù)阻抗，由于Uo (s)R5 (R2 +R3)R3Cs +11= I f (s)R3R3R3R5(R2 +)R5+ (R2+) R2+R4 +R3Cs +1R3Cs+1R3Cs+1R5 + (R2+R3)R3Cs +1則反饋復(fù)數(shù)阻抗為U(s)(R +

18、R )(R+ R )R2 R3Cs +1Z(s) =R+ R+ Rfo234523I f(s)R5R3Cs +14輸入阻抗為 Zi (s) = R1 ，將輸入阻抗與反饋阻抗代入上式，得到傳遞函數(shù)為Z f (s)R2 R3Cs +1G(s) =U(s)= = (R + R )(R + R )R + R+Ro2345234U(s)Zi(s)R RR Cs +1Ri1531解畢。28 力學(xué)系統(tǒng)如圖所示，試寫出系統(tǒng)的微分方程，并求取傳遞函數(shù)。k1k2k1yimm1k2F(t)x(t)m2yof(a)(b)習(xí)題 28題解：（a）忽略重力，應(yīng)用牛頓第二定律 ma = F ，寫出運動平衡方程為ma = Fk1 + Fk 2 + F (t)其中 F= kx ， F= k x ，而 a =d 2 x，均代入平衡方程得k 22k11dt 2m d 2 2x = k1 x k2 x + F (t) dt整理，得到微分方程為md 2 x+ (k + k)x = F (t)dt212傳遞函數(shù)為G(s) =X (s)=1F (s)ms2 + (k + k)12解畢。9（b）忽略重力，設(shè)中間變量質(zhì)量 m1 的位移量為 yx ，應(yīng)用牛頓第二定律 ma = F ，寫出運動