專題七：初中數(shù)學(xué)閱讀理解型師用

1、專題七：初中數(shù)學(xué)閱讀理解型九年級(jí)數(shù)學(xué)集備組組員：鄭步群、張彩霞、方國財(cái)閱讀理解型閱讀理解是近年來中考試題中頻繁出現(xiàn)的新題型，這種題型特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、超越常規(guī)，源于課本，高于課本，不僅考查學(xué)生的閱讀能力，而且綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力，尤其側(cè)重于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，此類題目能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從模仿到創(chuàng)造的思維過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。閱讀理解題的篇幅一般都較長，試題結(jié)構(gòu)大致分兩部分：一部分是閱讀材料，另一部分是根據(jù)閱讀材料需解決的有關(guān)問題閱讀材料既有選用與教材知識(shí)相關(guān)的內(nèi)容的，也有廣泛選用課外知識(shí)的考查目標(biāo)除了初中數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)知識(shí)外，更注重考查閱讀理解、分析轉(zhuǎn)化、范例

2、運(yùn)用、探索歸納等多方面的素質(zhì)和能力閱讀理解型問題是指通過閱讀材料，理解材料中所提供新的方法或新的知識(shí)，并靈活運(yùn)用這些新方法或新知識(shí)，去分析、解決類似的或相關(guān)的問題。一、試題分析 從全國各地近年來的中考數(shù)學(xué)試卷中閱讀理解題的分布來看， 閱讀理解題存在以下特點(diǎn)：(1)全面性。在選擇、填空和解答題中都有出現(xiàn)；(2)創(chuàng)新性。主要考查數(shù)學(xué)思想方法、理論依據(jù)和方案設(shè)計(jì)等：(3)綜合性?？疾殚喿x理解能力、觀察思考能力、分析判斷能力、抽象概括能力、類比能力等；(4)靈活性。有的信息直接給出，有的隱含在其中，有的則包含在眾多知識(shí)的交匯中；(5)思想性。體現(xiàn)化歸思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)學(xué)建模思想

3、、數(shù)形結(jié)合思想等。就考查方法而言，不僅要求同學(xué)回答是什么，而且要求回答為什么？如果正確，要說出根據(jù)；如果錯(cuò)誤，要說出理由；如果缺少條件，要補(bǔ)齊條件；如果步驟不全，要補(bǔ)全步驟。有時(shí)要提出猜想，有時(shí)要給出證明，有時(shí)問數(shù)學(xué)思想方法，有時(shí)問理論根據(jù)和方案。既注重最終結(jié)果，又注重理解過程。 二、預(yù)測與建議 1隨著新課程改革的縱深推進(jìn)，初中升學(xué)考試的題型越來越新，測試范圍越來越廣，近年來，閱讀理解型試題在中考試卷中占的比例越來越大，常見題型有：（1）新定義型；（2）知識(shí)遷移型；（3）方法模擬型；（4）概括歸納型。 2解答這類型試題一般有以下幾個(gè)步驟：（1）閱讀給定材料提取有用信息; （2）分析、歸納信息，

4、建立數(shù)模;（3）解決數(shù)模，回顧檢查。 三、中考試題分類解讀（一）新定義型在閱讀材料中，為問題的提出設(shè)置一種背景。背景的設(shè)置形式可能是文字，也可能是圖表。通過對(duì)材料信息的加工、提煉和運(yùn)用，能反映學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新的能力。例1：（2010杭州）. 定義 a,b,c為函數(shù)y=ax+bx+c 的特征數(shù), 下面給出特征數(shù)為 2m，1m ,1m的函數(shù)的一些結(jié)論： 當(dāng)m =3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1/3 ，8/3 )； 當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于3/2； 當(dāng)m 1/4時(shí)，y隨x的增大而減??； 當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn). 其中正確的結(jié)論有（ ）A. B. C. D.

5、 答案：By = ax+bx+c 特征數(shù)：2m, 1-m, -1-m當(dāng)m = -3時(shí)，y = -6x+4x+2 = -6(x-1/3)+8/3，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1/3, 8/3)-正確當(dāng)m 0時(shí)，令y=0，有2mx+(1-m)x+(-1-m)=0，解得：x=(3m+1)/(4m)-(1-m)/(4m)|x2-x1|=(3m+1)/(2m)=3/2+1/(2m)3/2-正確當(dāng)m 0時(shí)，y = 2mx+(1-m)x+(-1-m) 是一個(gè)開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：x=(m-1)/(4m)，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減小(單調(diào)遞減)。因?yàn)楫?dāng)m 1/4，即對(duì)稱軸在x=1/4右邊，因此函數(shù)在x=1/4右

6、邊先單調(diào)遞增到對(duì)稱軸位置，再單調(diào)遞減。-錯(cuò)誤當(dāng)x=1時(shí)，y = 2mx+(1-m)x+(-1-m)=2m+(1-m)+(-1-m)=0即對(duì)任意mR，函數(shù)圖像都經(jīng)過點(diǎn)(1, 0)那么同樣的：當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)(1, 0) -正確根據(jù)上面的分析，都是正確的，是錯(cuò)誤的。題中的答案只有B符合。解析：此題給出了函數(shù)的“特征數(shù)”的定義，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題，最后求出結(jié)果，解決問題的關(guān)鍵是讀懂“特征數(shù)”。（二）、知識(shí)遷移型123123xy此類閱讀題設(shè)計(jì)的背景材料就是數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的信息源。要求學(xué)生閱讀后會(huì)比較原內(nèi)容與遷移問題的共同因素和不同因素，知識(shí)的相似點(diǎn)和連接點(diǎn)，分

7、析材料的表面成分和結(jié)構(gòu)成分，形成知識(shí)的正向遷移。例2：（2009年漳州）閱讀材料，解答問題例 用圖象法解一元二次不等式：解：設(shè)，則是的二次函數(shù)拋物線開口向上又當(dāng)時(shí)，解得由此得拋物線的大致圖象如圖所示觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)或時(shí)，的解集是：或（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：的解集是_；11xy（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：解：（1）（2）解：設(shè)，則是的二次函數(shù)拋物線開口向上又當(dāng)時(shí)，解得由此得拋物線的大致圖象如圖所示觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)或時(shí)，的解集是：或點(diǎn)評(píng)：此題從學(xué)生熟悉的模型入手，隨著問題背景從直線到等邊三角形，再到圓的不斷變化，問題解決的復(fù)雜程度不斷增加，思維要求不斷深入。在

8、第（3）小題中，雖然變成作圖找點(diǎn)使兩個(gè)角相等，但模型運(yùn)用的本質(zhì)，即利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解題的方法沒有改變。在這樣一個(gè)變式探究的過程中，學(xué)生的思維逐步深入，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律。形成學(xué)習(xí)知識(shí)的一種正向遷移，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)增值性的學(xué)習(xí)。（三）、方法模擬型通過閱讀材料的學(xué)習(xí)，將理解的信息通過觀察、歸納、分析和類比，作出合情的推斷，大膽的猜想，得出題目必要的結(jié)論。對(duì)材料信息的搜集、整理、歸納和發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)生類比、模仿、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。例3：(2011江蘇南京)問題情境：已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a0），當(dāng)該矩形的長為多少時(shí)，它的周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？數(shù)學(xué)模

9、型：設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為15342O142xy3511探索研究：我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)的圖象性質(zhì)填寫下表，畫出函數(shù)的圖象：x1234y觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；在求二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）的最大（?。┲禃r(shí)，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到請(qǐng)你通過配方求函數(shù)(x0)的最小值解決問題用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案【答案】解：，2，函數(shù)的圖象如圖本題答案不唯一，下列解法供參考當(dāng)時(shí)，隨增大而減?。划?dāng)時(shí),隨增大而增大；當(dāng)時(shí)函數(shù)的最小值為2=當(dāng)=0，即時(shí)，函數(shù)的最小值為2 當(dāng)該矩形的長為時(shí)，它的周長最小，最小值為

10、點(diǎn)評(píng)：此題先是通過閱讀，理解模擬材料中所述的過程、方法，再去解決類似的相關(guān)問題。此類試題除了考查學(xué)生的閱讀理解能力外，還考查合理猜想或推理判斷等能力。掌握方法在于把握問題的本質(zhì)，模擬不是簡單的機(jī)械模仿。因此，教學(xué)中要適時(shí)、恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有深刻的印象。從而提高學(xué)生解這類問題的能力。（四）、概括歸納型這類閱讀理解題，在閱讀材料中往往遵循由淺入深的順序，由新概念的給出和簡單問題的證明對(duì)后面問題的解決給予提示，在解題時(shí)，一般采用類比思想，仿照閱讀材料中的思路求解；或者按照閱讀材料的思路把解題過程補(bǔ)充完整；或者將閱讀材料的解法進(jìn)行推廣，總結(jié)歸納得到更一般性結(jié)論的解法。例4：（20

11、10青海）觀察探究，完成證明和填空如圖10，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形； 圖11圖10 （2）如圖11，當(dāng)四邊形ABCD變成等腰梯形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形，請(qǐng)你探究并填空：當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成菱形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是（3）根據(jù)以上觀察探究，請(qǐng)你總結(jié)中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？分析：（1）利用三角形中

12、位線推出所得四邊形對(duì)邊分別平行，故為平行四邊形（2）順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為菱形；順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形；順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為正方形謹(jǐn)記以上原則回答即可（3）由以上法則可知，中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系來決定的【答案】（1）證明：連接BD E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，EH是ABD的中位線EHBD，EHBD 同理得FGBD，F(xiàn)GBDEHFG，EHFG 四邊形EFGH是平行四邊形 （2）填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形 （3）中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系來決定的 【涉及

13、知識(shí)點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形點(diǎn)評(píng)：不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂題目已知條件中的背景，從背景中概括出數(shù)學(xué)本質(zhì)，應(yīng)用聯(lián)想，建立數(shù)學(xué)模型。大膽猜測，用一句話概括學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，主要考查了學(xué)生的文字概括能力和書面表達(dá)能力。在平時(shí)教學(xué)中教師要給學(xué)生這種探究的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察猜想的能力，并能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用精煉準(zhǔn)確的語言進(jìn)行表述。從以上例題可以看出，閱讀理解題側(cè)重于對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展所必須的各種知識(shí)和能力的考查，這種考查是動(dòng)態(tài)、發(fā)展的，是面向?qū)W生全體的。平時(shí)在指導(dǎo)學(xué)生解決這類問題時(shí)，教師在課堂上要和學(xué)生一起探討解題，遵循學(xué)生思維的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生積極主動(dòng)參與，暴露學(xué)生

14、的解題方法。在總結(jié)學(xué)生已有方法的基礎(chǔ)上，加以引導(dǎo)，循循善誘，才能使學(xué)生更好地掌握解題方法和技巧。閱讀理解題練習(xí)一、選擇題1(2009鄂州)為了求的值，可令S，則2S ，因此2S-S，所以仿照以上推理計(jì)算出的值是（D ）A. B. C. D.二、填空題2（2009麗水）用配方法解方程時(shí)，方程的兩邊同加上4 ，使得方程左邊配成一個(gè)完全平方式3（2009中山）小明用下面的方法求出方程的解，請(qǐng)你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解令則所以令，則（舍去），所以令，則（舍去），所以三、解答題4(2009年四川內(nèi)江)閱讀材料：如圖

15、，ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為，腰上的高為h，連結(jié)AP，則 即： （定值）（1）理解與應(yīng)用如圖，在邊長為3的正方形ABC中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，F(xiàn)MBC于M，F(xiàn)NBD于N，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求出FM+FN的長。（2）類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等到邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為，等邊ABC的高為h，試證明：（定值）。（3）拓展與延伸若正n邊形A1A2An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為，請(qǐng)問是否為定值，如果是，請(qǐng)合理猜測出這個(gè)

16、定值。A DB M CENF AB P Chr1r2r3P分析：（1）已知BE=BC，采用面積分割法，SBFE+SBCF=SBEC得出三角形高的數(shù)量關(guān)系（2）連接PA，PB，PC，仿照面積的割補(bǔ)法，得出SPBC+SPAC+SPAB=SABC，而這幾個(gè)三角形的底相等，故可得出高的關(guān)系（3）問題轉(zhuǎn)化為正n邊形時(shí)，根據(jù)正n邊形計(jì)算面積的方法，從中心向各頂點(diǎn)連線，可得出n個(gè)全等的等腰三角形，用邊長為底，邊心距為高，可求正n邊形的面積，然后由P點(diǎn)向正n多邊形，又可把正n邊形分割成n過三角形，以邊長為底，以r1r2rn為高表示面積，列出面積的等式，可求證r1+r2+rn為定值解：（1）如圖，連接AC交BD

17、于O，在正方形ABCD中，ACBD BE=BCCO為等腰BCE腰上的高， 根據(jù)上述結(jié)論可得 FM+FN=CO而CO=AC=FM+FN= （2）如圖，設(shè)等邊ABC的邊長為，連接PA，BP，PC，則SBCP+SACP+SABP=SABC 即 （3）+是定值 +（為正邊形的邊心距） 點(diǎn)評(píng)：本題主要利用面積分割法，求線段之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了面積法解題的作用5（2009衢州）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累計(jì)確診病例人數(shù)如圖所示(1)在5月17日至5月21日這5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？該天增加了多少人？(2)在5月17日至5月2

18、1日這5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感確診病例多少人？如果接下來的5天中，繼續(xù)累計(jì)確診病例人數(shù)新增病例人數(shù)0421961631932671775673074161718192021日本2009年5月16日至5月21日甲型H1N1流感疫情數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖人數(shù)(人)050100150200250300日期按這個(gè)平均數(shù)增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累計(jì)確診病例將會(huì)達(dá)到多少人？(3)甲型H1N1流感病毒的傳染性極強(qiáng)，某地因1人患了甲型H1N1流感沒有及時(shí)隔離治療，經(jīng)過兩天傳染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？如果按照這個(gè)傳染速度，再經(jīng)過5天的傳染后，這

19、個(gè)地區(qū)一共將會(huì)有多少人患甲型H1N1流感？解：(1)18日新增甲型H1N1流感病例最多，增加了75人；(2)平均每天新增加人，繼續(xù)按這個(gè)平均數(shù)增加，到5月26日可達(dá)52.65+267=530人；(3)設(shè)每天傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則，解得(x = -4舍去)再經(jīng)過5天的傳染后，這個(gè)地區(qū)患甲型H1N1流感的人數(shù)為(1+2)7=2 187（或1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187），即一共將會(huì)有2 187人患甲型H1N1流感6.（2009濟(jì)寧）閱讀下面的材料： 在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線平行的定義.下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設(shè)一

20、次函數(shù)的圖象為直線，一次函數(shù)的圖象為直線，若，且，我們就稱直線與直線互相平行. 解答下面的問題：（1）求過點(diǎn)且與已知直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式,并畫出直線 的圖象；24624622 （2）設(shè)直線分別與軸、軸交于點(diǎn)、，如果直線：與直線平行且交軸于點(diǎn)，求出的面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.解：（1）設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為yk xb. 直線l與直線y2x1平行， k2. 直線l過點(diǎn)（1，4）， 2b 4， b 6. 直線l的函數(shù)表達(dá)式為y2x6. 直線的圖象如圖. (2) 直線分別與軸、軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為（0，6）、（3，0）.,直線為y2x+t.C點(diǎn)的坐標(biāo)為. t0, .C點(diǎn)在x軸的正半軸上.當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，;當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)時(shí)， .的面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為7(2009湖州)若P為所在平面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)叫做的費(fèi)馬點(diǎn).（1）若點(diǎn)為銳角的費(fèi)馬點(diǎn)，且，則的值為_；（2）如圖，在銳角外側(cè)作等邊連結(jié).求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)，且=.【答案】（1）2. ACBPE（2）證明：在上取