摩擦學原理(第7章潤滑原理)2012

1、第三篇 潤滑理論,Theory of lubrication,82669157 ,流體潤滑理論，是利用流體力學基本理論求解摩擦學的潤滑問題，假定潤滑劑為連續(xù)介質，它的流動服從牛頓定律。 研究對象：粘性流體 解決問題：潤滑劑流動與作用力的關系 解決方法：物理學的基本方程（粘性流體力學中的基本方程），結合流體潤滑的特點進行簡化計算,7.1 流體潤滑的形式與狀態(tài),1)流體動壓潤滑： 兩個潤滑表面的幾何 構形（楔形空間）、潤滑劑的粘度效應（供油充分） 、以及兩個潤滑表面的相對運動（大口進，小口出）來產生分離兩個潤滑表面的壓力,徑向滑動軸承液體動壓潤滑示意圖,hydrodynamic lubricati

2、on,statuses and types in Hydrodynamic Lubrication,按潤滑膜承載能力形成的機理：流體動壓潤滑、流體靜壓潤滑、 動靜壓混合潤滑,流體靜壓潤滑： 潤滑劑供應系統(tǒng)提供的壓力將兩個潤滑表面（可以有運動，也可以不運動）分離開 設計重點：如何選擇合適液壓、氣壓系統(tǒng)，如供油泵的選擇、油路的設計、節(jié)流方式與所需支撐性能的關系等,液體靜壓軸承潤滑示意圖,hydrostatic lubrication,按潤滑介質分類： 液體潤滑和氣體潤滑 (1)液體潤滑： 各種液體作潤滑劑，由液膜將軸頸與軸瓦分開 潤滑介質；各種潤滑油，但也有用水、液 氫、液氦、液氧和高聚物 優(yōu)點：

3、承載能力高、支撐剛度高、阻尼 大、精度高、壽命長等 缺點：(氣體潤滑相比)摩擦力大，溫升高 一般不用于高、低溫環(huán)境(性能限制) 等,Classification of lubrication media,Liquid lubrication,氣體潤滑： 氣體作潤滑劑，由氣膜將兩個工作表面分開。 潤滑介質：空氣，也用氫、氦、一氧化碳及水蒸汽等介質。 與液體相比：氣體的粘度低，粘度隨溫度變化小，化學穩(wěn)定性好。 優(yōu)點：摩擦小、精度高、速度高、溫升低、壽命長、耐高低溫及原子輻射，對主機和環(huán)境無污染等。 缺點：承載能力小、剛度低、穩(wěn)定性差、對加工、安裝和工作條件要求嚴格等,Liquid lubricat

4、ion,Navier_Stokes方程 從質量守恒的連續(xù)方程入手 從受力分析的動力學出發(fā) 運用牛頓粘性定律 以及流體運動速度的表達式,7.2 流體潤滑的基本方程,7.2 流體潤滑的基本方程包括流體力學中的連續(xù)方程、動力學方程、能量方程,7.2.1 連續(xù)方程 經典力學中質量守恒定律在流體力學中的具體表達,用當?shù)胤ㄍ茖?。如圖：取任意時間t前無窮小時間dt內，任意封閉控制面S圍成的空間體積為研究對象,單位時間內,從面積元 流出的液體質量,從封閉控制面S流出的液體總質量,由于體積內各空間點密度場值發(fā)生 變化導致空間體積包含液體質量的 減小量,根據(jù)空間體積不能“生成”或“消滅”液體 質量，由質量守恒定律

5、有,continuum equation,Hydrodynamic Lubrication Basic Equations,由高斯定理，將面積分改寫為體積分，即,代入上式有,因為S是任意選擇的，相應也是任意的，故,或,或,定常流場中流體連續(xù)性方程,密度與時間無關，即,代入公式7.2為,或,7.2,不可壓縮流體：密度為常數(shù)，代入公式7.2為,或,在直角坐標系中，速度向量vn和梯度向量的表達式為 （7.5） （7.6） （7.7） 式中， 、 、 分別為沿x、y、z方向的速度。 圓柱座標系下表達式可用座標變換求得,7.2.2流體動力學方程,7.2.2流體動力學方程經典力學中牛頓第二定律、動量定理、

6、動量矩定理在流體力學中的具體表達，用實體法推導。 如圖：取任意瞬時t，位于任意封閉控制面S圍成的空體積內的流體團為研究對象,t瞬時質量力矢量場,t瞬時密度場,則空間點上單位體積的流體質量所受的體力整個流體團體力矢量和,t瞬時控制面S空間一點處單位外法線,空間點與面元相應n方向上的應力矢量,則作用于流體團外面力矢量和等于,根據(jù)動量定理，流體團的動量,對時間的全導數(shù)等于作用于流體團的外力的,主矢,fluid dynamics equations,由于,將上兩式代入,則有,因為體積是任意選擇的,故,即,或,奧高公式,X方向有,7.2.3 Navier-Stokes方程為了求解流體力學的連續(xù)方程（7.

7、1）和動量方程（7.11），還必須建立速度表達方式以及速度向量與應力張量關系的本構方程，即廣義牛頓粘性定律,流體運動的表達,1變形速率張量 流體控制體受表面張力作用的運動會產生變形，通常用變形速率張量表示 變形速率與流速間的關系通過微單元變形分析得到，在直角坐標系下， 它們的關系為,2壓力p 前面已給出了直角坐標系下的應力張量表達式 （7.16） 定義 根據(jù)剪應力互等定律，因此，式（7.16）表示了一個二階對稱應力張量，根據(jù)應力張量的性質，應力張量中的法向應力之和x+y+z為一個常量，通常這三個法向應力的平均值負數(shù)用流體壓力p來表示，即： （7.18） 式中，加入負號的用意是，流體所受的為壓應

8、力時，p為正值,pressure,3廣義牛頓粘性定律 general Newtonian viscosity law 假設潤滑流體滿足以下關系： (1)流體是連續(xù)的，應力張量與變形速率張量呈線性關系； (2)流體各向同性，其性質與方向無關； (3)當流體靜止時，即變形速率為零時，流體中的壓力就是流體靜壓力。 （7-19） 牛頓提出如果粘性流體作直線層狀運動時，流體層之間的應力與其速度梯度成正比，即 （7.20,牛頓粘性定律,式（7.20）稱為牛頓粘性定律。將式（7.20）推廣到三維流動的情況下，有： （，i，j = x, y, z） （7.21） 張量形式的牛頓粘性定律可寫成 （7.22） 式

9、中，m為流體控制單元的體變形m=(x+y +z)/3 式（7.22）為廣義牛頓粘性定律，它表示畸變應力張量與畸變變形速率張量間的比例關系。通常把滿足式（7.22）的流體稱為牛頓流體或stockes流體，不滿足的稱為非牛頓流體,4Navier-Stokes方程 將廣義牛頓粘性定律式（7.22）代入流體動力學方程（7.11）消去各應力分量可得 在直角坐標系下，對不可壓縮流體與等溫流動，因為v=0，=常數(shù)，式（7.23）變成,Navier-Stokes equation,h0,5Navier-Stokes方程簡化 Navier-Stokes方程是一個二階非線性偏微分方程，只有在極少數(shù)特殊情況下才能得

10、到解析解。通常在略去高階小量的基礎上進行簡化 ,采用歸一化的處理。(偏微分方程，對其產生影響的是變量的變化率，而非變量值本身的大小) （7.25） h0為潤滑膜厚度方向上的長度單位，L為潤滑膜另外兩個方向上的長度單位，V為潤滑膜厚度方向上的速度單位，Ux為潤滑膜另外兩個方向上的速度單位，0、t0、0、p0和g分別為在給定情況下的密度、溫度、動力粘度、壓力值及體積力、重力加速度的相對單位 h0為某已知點處的流體膜厚度。根據(jù)實驗測量結果得知，流體潤滑膜的厚度h0遠小于x、z方向的結構特征尺寸。以x方向為例，如果潤滑表面在x方向上的結構特征尺寸為L，則h0/L1，將式（7.25）帶入式（7.24a）

11、，可得,Simplified Navier-Stokes equation,7.26,將全式除以 并取, 比較各項的系數(shù)，并略去式中級小量項，引入雷諾數(shù)： Re= 弗魯?shù)聰?shù) ，則式（7.26）可改寫為 （7.27） 當 ， 1時，慣性項，體力項可略去。這樣式（7.27）變?yōu)闊o量綱方程 （7.28） 取壓力相對單位 ，此時式（7.28）變?yōu)?（7.29） 同樣的方法可簡化式（7.24b）和式（7.24c）得 （7.30） （7.31,慣性項,體力項,粘性項,應力圖,寫成有量綱形式為,7.33,7.32,7.34,如果動力粘度沿z方向為常數(shù),7.37,7.36,7.35,7.3 Reynolds方

12、程 7.3.1 Reynolds方程的推導,直接通過解簡化后Navier-Stokes方來分析流體潤滑的問題則仍然很困難，其原因在于速度邊界條件的處理。Reynolds采用沿潤滑膜厚度方向積分的方法較好的解決了這個問題，建立Reynolds方程,圖 7.3 潤滑區(qū)域坐標系示意圖,如圖所示，對于兩個作相對運動潤滑表面，其運動情況如圖7.3所示,Reynolds Equation,由式（7.34）可知：壓力p與z無關，將（7.32）和（7.33）式對z積分，得,7.38,7.39,7.40,對z再次積分,根據(jù)已知速度邊界條件,7.41,將式（7.41）代入式（7.40），可解得vx和vy，從而有：

13、為兩潤滑表面間流體的速度表達式,7.42,與壓力梯度有關的速度,剪切作用所引起的速度,將式（7.42）代入連續(xù)方程（7.5），并沿潤滑膜厚度z方向進行積分，有,7.43,注意到式（7.43）的積分邊界h是x、y的函數(shù)， 式（7.43）式可寫成：Reynolds方程,7.44,幾何楔效應,表面伸縮效應,擠壓、變密度效應,7.3.2 流體動壓形成機理,將式（7.44）右端展開，各項的物理意義如下,1,動壓效應,當下表面以速度U運動時，沿運動方向的間隙逐漸減小，潤滑劑從大口流向小口，形成收斂間隙。由于流量連續(xù)條件，必然產生如圖所示的壓力分布。此壓力引起的壓力流動將減少大口的流入流量，而增加小口的流出

14、流量，以保持各斷面的流量相等,formation principles of hydrodynamics,當固體表面由于彈性變形或其它原因使表面速度隨位置而變化時，將引起各斷面的流量不同而產生壓力流動。為了產生正壓力，表面速度沿運動方向應逐漸降低,伸縮效應,2,3,變密度效應,4,當潤滑劑密度沿運動方向逐漸降低時，各斷面的容積流量相同，但質量流量不同，也將產生流體壓力。變密度效應產生的流體壓力并不高，但有可能使相互平行的表面具有一定的承載能力,兩個平行表面在法向力作用下使?jié)櫥ず穸戎饾u減 薄而產生壓力流動,擠壓效應,7.3.3 Reynolds方程的邊界條件與初始條件,1. 邊界條件,求解Re

15、ynolds方程時，需根據(jù)壓力分布的邊界條件來確定積分常數(shù)。壓力邊界條件一般有兩種形式，即,強制邊界條件,自然邊界條件,當邊界已知時,s是求解域的邊界; n是邊界的法向,例,在（0 xL）區(qū)域上的一維邊界條件,當出口邊界未知時,通常根據(jù)幾何結構和供油情況不難確定油膜入口和出口邊界,boundary condition of Reynolds equation,2初始條件,對于速度或載荷隨時間變化的非穩(wěn)態(tài)工況的潤滑問題，Reynolds方程含有擠壓項。潤滑膜厚將隨時間變化，因此需要提出方程求解的初始條件。初始條件的一般提法是,初始膜厚,初始壓力,initial condition of Reyn

16、olds equation,7.4 求解潤滑問題的其它方程 7.4.1能量方程 1微分形式的能量方程,能量方程是能量守恒定律或熱力學第一定律在流體力學 中的具體表達,在充滿粘性流體的空間 中，任意取瞬時t位于封閉控制面S內流體體積為V的流體團作為研究對象,根據(jù)能量守恒定律，該體積內流體動能的變化率等于單位時間內質量力和表面力對該流體團做的功，再加上單位時間該流體團熱能的增量,流體團宏觀動能和內能增量,體力作用做功,面力作用做功,表面內外溫差傳導對流體團做功,熱輻射等做功,energy equation,differential energy equation,采用奧斯特洛格拉得斯基高斯公式統(tǒng)一

17、成體積分，寫成向量形式，如下,由于控制體V是任取的，而且被積函數(shù)是連續(xù)的，可得,7.47,7.46,在式（7.47）式中，當溫度變化范圍不大時，可認為,根據(jù)張量的微分定律有,為定容比熱,由連續(xù)方程（7.5），由廣義,牛頓粘性定律（7.22），則式（7.47）在直角坐標系中可寫成,7.48,2能量方程簡化,不考慮熱輻射并假設潤滑劑為不可壓縮流體情況下，并采用以下無量綱表達式,simplification of energy equation,7.50,將上式代入式（7.48），除以,并略去高階小量，則有,7.51,為Peclet數(shù)，它表示流體對流帶走的熱量與熱傳導帶走的熱量的比例,關系，系數(shù),表

18、示流體摩擦產生的熱量與熱傳導帶走的熱量的比例關系,對能量方程進行無量綱化，取,作為溫度的相對單位,7.53,式（7.51）為,如果Pe1時，可略去導熱項，此時則有,7.54,對于氣體潤滑時，通常有Pe1，即對流項和摩擦項可略去，此時,7.55,式（7.53）-（7.55）有量綱形式分別為,7.56,7.57,7.58,對待每個具體潤滑問題時，應知道所應用的方程在簡化過程中略去了那些項以及它們的數(shù)量級，以便在必要時可根據(jù)計算精確度的要求，加以考慮,7.4.2氣體狀態(tài)方程,潤滑劑為氣體時，通?？梢哉J為其滿足理想氣體的有關方程，即，理想氣體狀態(tài)方程,氣體常數(shù),由于氣體的內摩擦很小，在潤滑過程中，通常

19、可以認為氣體的溫度不發(fā)生變化，即，T=常數(shù)，因此式（7.63）可以寫為,如果認為氣體的內摩擦產生的熱量完全由氣體帶走，則可稱為絕熱潤滑過程，這時有,7.65,7.63,7.64,為氣體的定壓比熱Cp和定容比熱Cv之比，對于空氣=1.4,7.4.3密度與溫度的關系,對于大部分潤滑劑通常認為密度隨溫度的變化可以采用指數(shù)公式或線性關系表達式,gas state equation,7.4.4 液體潤滑劑密度與壓力的關系,于液體潤滑劑通常認為密度與壓力無關，但在壓力變化較大的情況下也可以采用指數(shù)公式表達密度與壓力的關系，即,7.68,7.4.5 粘度與溫度T的關系,1氣體粘度與溫度T的關系,一般認為有,

20、7.69,T0=273.16K，0為一個大氣壓下溫度在0c時氣體的動力粘度系數(shù)，n為溫度指數(shù)（對空氣n0.76，氫n0.69等），在估算時，高溫時可取n0.5，低溫時n1,更為準確時，可采用Sutherland公式,7. 70,Ts為Sutherland常數(shù)，與氣體性質有關,氣體的粘度隨溫度升高而增大。其原因是由于溫度升高，氣體的內能增加，氣體的分子運動加劇，從而使氣體的粘度增大,relation of gas viscosity and temperature,relation of viscosity and temperature T,2液體粘度與溫度T的關系,液體的動力粘度與溫度T的關

21、系，通常也采用指數(shù)公式、冪函數(shù)或指數(shù)與冪函數(shù)組合的形式，如,Reynolds粘度方程,Slotte粘度方程,Vogel粘度方程,7.71,7.72,7.73,雙對數(shù)形式的Walther方程,7.74,G.Duffing提出了流體的運動粘度與溫度關系的更廣泛的表達式,7.75,液體潤滑劑當其溫度升高時，液體膨脹，分子間距離增大，分子間相互作用力減小，導致 液體的粘度隨溫度升高而減小,relation of liquid viscosity and temperature,或,由傅里葉導熱定律,q為單位面積的熱流矢量；T為溫度梯度；k為導熱系數(shù)(單位是：W/mK)，不同流體有不同的導熱系數(shù)。液體的

22、導熱系數(shù)一般隨溫度升高而下降（水除外），氣體的導熱系數(shù)則隨溫度的升高而增大。當溫度為0C時，水的導熱系數(shù)為0.556，礦物潤滑油的導熱系數(shù)可取為0.147，空氣的導熱系數(shù)為0.024,7.4.6 導熱與冷卻方程,對于氣體導熱系數(shù)與溫度的關系可近似由下式計算,7.78,采用Sutherland公式,式中，k0、T0、n和Ts取決于氣體種類。對于空氣k0=0.02415 W/mK；T0=273.16 K；n=0.81；Ts=194K；對于氮氣k0=0.0242 W/mK；T0=273.16 K；n=0.76；Ts=167 K等,7.79,heat transfer equation and col

23、d equation,7.4.7 牛頓冷卻定律,7.80,式中：Q為通過壁面熱流量；S為壁面的換熱面積；Tw為壁面溫度；Td為流體溫度；為對流換熱系數(shù)(W/mK)，其值的大小表示對流換熱的強度，影響值的因素較多，除了流體的物理性質、速度、溫度和流動空間的大小外，還與壁面的溫度、形狀和放置位置有關,75 彈性流體動壓潤滑理論 7.5.1 流體動壓潤滑與彈流潤滑的差異,1膜厚形狀隨壓力變化,對于彈性流體動壓潤滑問題，Reynolds方程依然是產生流體動壓的主要控制方程,7.81,流體動壓潤滑和彈流潤滑主要的差別之一：前者將被潤滑的表面視作剛體，忽略了油膜壓力對表面的作用，膜厚的形狀不會變化,The

24、ory of elastic-hydrodynamic lubrication (EHL,Difference between EHL and HL,考慮潤滑表面的彈性變形，這樣膜厚方程寫成,7.82,式中，h0(x,y)為初始膜厚形狀，(x,y)為彈性變形項,在一些特殊結構型式中，考慮彈性變形影響可以提高設計、計算與分析的精度,將Reynolds方程（7.82） 得到的壓力（P,彈性力學方程求解 變形的膜厚（H,循環(huán)迭代，直至獲得收 斂的壓力和膜厚解,2粘度隨壓力p變化,彈流潤滑與流體動壓潤滑的另一主要區(qū)別是，潤滑劑的粘度也隨改變。通?？煞譃槎?1） 低彈性模量的“軟彈流潤滑問題“：流體潤

25、滑膜所產生的動壓力不是很大，但足以使?jié)櫥谋砻姘l(fā)生明顯的變形，所涉及到的材料通常是橡膠、塑料、石墨與其它軟金屬或非金屬材料,2） 高彈性模量的“硬彈流潤滑問題” ：流體潤滑膜產生的動壓足夠大，可以使?jié)櫥砻姘l(fā)生顯著的彈性變形，潤滑劑壓粘特性也必須考慮,當壓力增加時，液體潤滑劑分子間距離減小，分子間作用力增大，從而使其粘度增大。對于常用潤滑油，當p10MPa時，一般認為液體的粘度不隨壓力p變化，當壓力變化大于10MPa時，應考慮壓力變化對粘度的影響,通常采用指數(shù)公式，即Barus方程,7.83,式中，0為給定壓力p0時的粘度，為壓粘系數(shù)，取決于流體的性質,在一些壓力和溫度變化較大的潤滑情況下，需

26、考慮壓力和溫度的變化對潤滑油粘度的影響，這時，如采用指數(shù)函數(shù)則有,7.85,式中，、分別為壓粘、溫粘指數(shù)，pa、Ta分別為參考工況下的壓力和溫度，a為該工況下的粘度值,還有一些比如冪函數(shù)形式，壓粘、溫粘方程等，較復雜但現(xiàn)實性實際較符合,7.5.2彈性力學的基本方程,點接觸彈流潤滑問題基本上都是基于Hertz接觸理論，系統(tǒng)地闡述了彈性體在較小的載荷作用下的接觸狀態(tài)，預測了接觸區(qū)的形狀以及它們的尺寸大小隨著載荷的增加而增加的規(guī)律?；谄鋵嶒灲Y果并為了方便地計算局部變形，一種簡化：每一個物體均可看作是一個彈性半空間體，載荷作用在平面的一個小的橢圓區(qū)域上,basic equation of elast

27、icity,局限性：無摩擦表面及理想彈性固體。因此，為了更為準確的計算接觸表面的彈流潤滑問題，人們發(fā)展了多種計算方法，其中有限元法和有限差分法是最為廣泛采用,1力平衡方程,式中，X，Y，Z為x，y，z方向上的作用力，x，xy，xz，y，yx，yz，z，zx，zy分別為為x，y，z方向上的應力張量,2形變與位移的關系,7.89,7.90,式中，u, v, w為x，y，z方向上的位移， x, y, z, xy, yz, zx為應變張量,relation of deformation and motion,3廣義虎克定律,7.91,式中，E為彈性模量，為泊松比,general Hooks law,7

28、.93,將廣義虎克定律和形變與位移的關系代入受力平衡方程，并整理后可得作用力與位移的 關系,7.92,為體積形變，和分別為模量系數(shù) ，即,對于點接觸彈流潤滑問題，可以近似假設為半無限體上作用一個集中力P的情況。 半無限體內各點的位移可通過聯(lián)立求解受力平衡方程、形變與位移的關系、廣義虎克定律和力與位移的關系得出，即,在彈性流體潤滑情況下，僅有表面的Z方向上的位移對彈性流體潤滑性能有影響，即Z=0時的w位移,式中r為集中力P所作用點與變形所在點的距離,P,r,7.5.3 彈性變形的簡化求解,simplified solution of elastic deformation,對于分布載荷而言，如果

29、假定 是邊界平面上單位面積內的載荷密度，則在該單位面積上有相當于作用了一集中載荷,這時載荷作用點 到半無限體表面上一點 的距離r為,即：彈流潤滑區(qū)域中的彈性變形量為,則i點的Z方向上的位移為,式中1、2分別為接觸區(qū)表面1和表面2的泊松比，E1、E2分別為接觸區(qū)表面1和表面2的彈性模量,式中D(idx,jdy)= 稱為影響函數(shù),而對于下圖所示的網格劃分情況下，對于任意一個矩形單元內施加單位均布載荷時，接觸表面的彈性變形則可寫為,式中a = xi-dx/2、b=xi+dx/2、 c=yj-dy/2 、d=yj+dy/2，E 為等效彈性模量,如果采用數(shù)值積分技術則積分式可轉換為離散函數(shù)的求和式,圖7

30、.5給出兩個任意形狀物體相接觸時接觸點附近的幾何關系。兩物體在各自的兩個正交主平面上接觸點的主曲率半徑分別為R1x、R1y和R2x、R2y。正交主平面與公切面的交線為坐標軸X1、Y1及X2、Y2，兩組坐標軸相互夾角為,圖7.5點接觸問題的一般情況,在工程問題中，通常=0。如果忽略高階微量，則兩物體鄰近接觸點的表面可用以下方程表示,7.99,沿z軸方向上兩物體表面間的距離s為,7.100,通過適當選取X和Y坐標軸方向，總可以使方程（7.100）不含xy項，于是兩物體表面間的距離表示為,7.101,點接觸潤滑膜厚度表達式,點接觸的一般情況是橢圓接觸，即接觸區(qū)為橢圓。兩個任意形狀的物體的接觸可以表示

31、為以接觸點處的兩個主曲率半徑構成的橢圓體相接觸,expression of film thickness,式中，A、B常數(shù)與兩物體的幾何形狀有關，它們的數(shù)值為,由式（7.101）可知，在XOY平面上，s的等值線是一族橢圓。若將兩物體沿Z軸方向施加載荷壓緊，彈性變形后的接觸區(qū)將具有橢圓邊界,工程實際中，最普遍的點接觸問題是兩個接觸物體的主平面相互重合，即圖7.5中的角為0或90 。所以任何點接觸問題都可看作圖7.6所示的一個彈性橢球與一個剛性平面的接觸問題，對于圖7.6所示的點接觸情況，接觸點和接觸平面之間的潤滑膜厚度可表示為,圖7.6 點接觸問題的示意圖,式中，hc為接觸中心點的潤滑膜厚度，(

32、x,y)為相對于接觸中心點(xc,yc)的潤滑表面上各點的彈性變形，Rx、Ry分別為接觸點在x、y方向上的曲率半徑,點接觸應力與接觸區(qū)尺寸,根據(jù)Hertz接觸理論，點接觸應力在接觸區(qū)內按照橢球體規(guī)律分布。如果以a、b分別表示接觸區(qū)橢圓的長、短半軸，當接觸橢圓的短軸方向與X軸相重合時，接觸應力p為,7.104,最大Hertz接觸應力pH為,7.105,式中，W為總載荷,在工程設計中，接觸橢圓的尺寸a和b的數(shù)值可以采用下列公式計算,7.106,根據(jù) 可以得到ka和kb的數(shù)值,彈性接觸問題的重要特征（1）應力與載荷成非線性關系，由（7.104）式可以看出，點接觸時最大的接觸應力與載荷的立方根成正比。

33、（2）接觸應力的大小與材料的彈性模量和泊松比有關,stress and dimension of contact aera in point contact,對于線接觸的問題可以用半徑分別與接觸點的曲率半徑相等的兩個圓柱體的接觸來近似，見圖7.8a。這兩個圓柱體接觸還可以進一步通過數(shù)學變換轉化為一個當量圓柱與一個平面的接觸見圖7.8b，只要使它們構成的間隙形狀相同就滿足潤滑力學的要求,a,b,圖7.8 油膜間隙與當量圓柱,圖7.8a所示的兩個圓柱所構成的間隙即油膜厚度可以由幾何關系求得，如,7.108,式中，R稱為當量曲率半徑，如圖7.8b所示。R滿足以下關系,7.109,如果兩個圓柱的中心處

34、于接觸點的同一側，即，R1為筒狀圓柱的內半徑，且R1R2，當量曲率半徑R則為,7.110,圖7.8b的間隙形狀和圖7.8a的間隙形狀采用相同的潤滑膜厚度表達式，因此它們的潤滑情況是等效的。此外，根據(jù)線彈性等效原則，還可以用一個具有當量彈性模量E的彈性圓柱與一剛性平面的接觸來代替彈性模量分別為E1和E2，泊松比分別為1和2的兩個彈性圓柱的接觸，使當量彈性圓柱的接觸變形將等于兩個彈性圓柱接觸時的變形之和。這一當量彈性模量為,7.111,綜上所述，兩個任意截面的彈性柱體的線接觸潤滑問題，經過幾何變換和彈性變換，最終可轉換為具有當量曲率半徑R和當量彈性模量E的彈性圓柱與剛性平面的接觸問題。它們的潤滑性

35、能是等效的,線接觸時接觸應力與接觸區(qū)尺寸,如圖7.9所示，兩個彈性圓柱在載荷W作用下相互擠壓，接觸線擴展成為一個狹長的面。如前所述，兩個彈性圓柱的接觸，可等效為一當量彈性圓柱和一剛性平面的接觸問題，因此在彈流潤滑研究中，可以將接觸區(qū)視為平面,stress and dimension of contact aera in line contacts,圖7.9 線接觸問題的示意圖,根據(jù)Hertz彈性接觸理論，接觸區(qū)的半寬b為,7.112,式中，R為當量曲率半徑；E為當量彈性模量；L為圓柱長度,在接觸區(qū)上，表面的接觸應力依照半橢圓規(guī)律分布，即,7.113,其中，p為接觸應力；pH為最大接觸應力，它可

36、按下式計算,7.114,主應力的最大值都發(fā)生在接觸表面，但由它們所構成的45剪應力的最大值卻發(fā)生在表層內,7.5.4 點、線接觸彈性流體動壓潤滑的粘壓效應與相關問題,對于硬彈性流體動壓潤滑問題，由于摩擦副的載荷集中作用，接觸區(qū)內的壓力很高，因而在潤滑計算中要同時考慮接觸表面的彈性變形和潤滑劑的粘壓效應,在1949年提出的彈流潤滑入口區(qū)分析方法，首次將Reynolds流體潤滑理論和Hertz彈性接觸理論聯(lián)系起來處理彈流潤滑問題，并提出線接觸等溫彈流潤滑問題的近似解,線接觸的彈性變形,如圖7.11點劃線表示半徑為R的彈性圓柱與剛性平面在無載荷條件下相互接觸的情。當施加載荷W以后，兩表面相互擠壓而產

37、生位移，此時變形后的情況如圖中實線所示。顯然，在接觸應力作用下，接觸區(qū)以外的表面也產生變形，使表面的曲率半徑增大,圖7.11 Hertz線接觸的變形,根據(jù)Hertz理論，在接觸區(qū)以外的任何買潤滑膜厚度方程為,7.116,令 ， 稱為拉梅常數(shù),elastic deformation of line contact,則得,考慮粘壓效應的Reynolds方程。將Reynolds方程（7.81）作無限長簡化，即略去Z方向上的壓力變化，并將Barus粘壓關系 式 ，即有,7.118,若假設誘導壓力,則式（7.118）可改寫為,7.119,將式（7.119）代入式（7.118），即可求得考慮粘壓效應的Re

38、ynolds方程,7.120,式（7.120）表明：經過變量變換以后，用誘導壓力q來代替壓力p，則考慮粘壓關系的Reynolds方程與等粘度的Reynolds方程的形式相同,1在接觸區(qū)絕大部分的壓力很高，以致e-p 趨于0，因而誘導壓力趨于 1/a ，即常數(shù)。如果 在接觸區(qū)內q值為常數(shù)，則 ，根據(jù)方程（7.120） 得知，此時，即接觸區(qū)內油膜厚度是個常量，即 在接觸區(qū)內形成平行間隙,2由于接觸區(qū)內的油膜壓力比接觸區(qū)以外的入口區(qū)(x-b)的壓力高得多，因此可以認為，彈性柱體的變形只取決于接觸區(qū)內的Hertz壓力分布，也就是說在接觸區(qū)以外仍然保持無油膜時的彈性變形，其潤滑膜厚度可按下式計算,7.1

39、21,3如圖7.12所示，入口區(qū)形成收斂間隙所產生的流體動壓p在x=-b處應滿足壓力相等的條件，即q=1/。根據(jù)這一條件便可求得油膜厚度h0值,圖7.12壓力分布和油膜形狀,理論只限于入口區(qū)分析，但在出口區(qū)情況更為復雜，也需要對Hertz壓力分布和變形進行修正，否則不能滿足流量連續(xù)條件。這是由于在接觸中心處只存在速度流動。但在x=+b處，出口區(qū)除速度流動之外還存在相當強的壓力流動，總流量要比接觸中心的大得多,線接觸彈流潤滑問題分析與討論,線接觸的彈流潤滑,潤滑膜厚度方程,接觸區(qū)的半寬b,R為當量曲率半徑； E為當量彈性模量； L為圓柱長度,接觸應力,最大接觸應力,最大剪切應力,剪切應力最大值z

40、x,max=0.301po，作用在距表面0.786b處，它對接觸疲勞磨損有重要作用,為了維持流量連續(xù)條件，出口區(qū)表面的彈性變形趨于恢復，使間隙減小形成頸縮。通常頸縮處的最小油膜厚度hmin約是按公式求得h0的75%。由于頸縮的存在，在相應的位置上將出現(xiàn)二次壓力峰。頸縮和二次壓力峰是彈流潤滑的重要特征,膜厚公式,將入口區(qū)的潤滑膜厚度方程（7.121）代入考慮粘壓效應的Reynolds方程（7.120）得到,7.122,進行無量綱化處理，令,由潤滑膜方程得,H=H0+ （7.124,7.123,將（7.123）、（7.124）式代入（7.122）式，則Reynolds方程無量綱形式變?yōu)?formu

41、la of film thickness,7.125,假設邊界條件：當X=-時，Q=0,如要求計算X=-1處的Q值。所以可以采用下列定積分，即,7.126,在該積分式中，H0與X無關，為X的函數(shù)。因此可采用數(shù)值積分方法對于一系列的H0數(shù)值求出定積分值，然后將結果整理成經驗關系式，即有,7.127,如前所述，在x=-b處應滿足q=1/的條件，則可得,將這一結果,代入（7.127）式，并代入EL=E,經整理得,7.128,油膜厚度參數(shù),速度參數(shù),材料參數(shù),載荷參數(shù),7.129,式（7.199）給出了平均油膜厚度的近似值，通常它比測量值約大20%左右,提出的入口區(qū)分析彈流問題的近似方法被廣泛地引用來

42、處理彈流潤滑的其它問題。例如，對于球與平面接觸的彈流潤滑，相當于理論的膜厚公式為,7.130,公式,采用Dowson提出的無量綱參數(shù)來表示。這組無量綱參數(shù)為,膜厚參數(shù),粘性參數(shù),彈性參數(shù),橢圓率,采用上述無量綱參數(shù)，橢圓接觸問題的四個潤滑狀態(tài)區(qū)的最小油膜厚度計算公式為,1剛性一等粘度潤滑狀態(tài),7.135,實際最小油膜厚度與剛性潤滑理論算得的油膜厚度相比較的大小,粘度變化,表面彈性變形的大小,點接觸問題的潤滑狀態(tài)圖,1979年Hamrock和Dowson提出了橢圓接觸的潤滑狀態(tài)圖，采用四個無量綱參數(shù)，即,4彈性一變粘度潤滑狀態(tài),7.138,圖7.15k=3 橢圓接觸潤滑狀態(tài)圖,圖7.14和圖7.15分別為k=1和k=3時橢圓接觸潤滑狀態(tài)圖。圖中劃分為四個潤滑狀態(tài)區(qū)域。橢圓接觸的潤滑狀態(tài)圖的應用與線接觸潤滑狀態(tài)圖相同，首先根據(jù)機械零件的工作條件確定參數(shù)gv、ge和k的數(shù)值，然后由圖上查出所處的潤滑狀態(tài)區(qū)，最后選用相應的公式計算最小油膜厚度,3彈性一等粘度潤滑狀態(tài),7.137,2剛性一變粘