廣東署山市第二中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第七次月考試題理含解析

1、廣東省佛山市第二中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第七次月考試題 理（含解析）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.滿(mǎn)分150分.考試時(shí)間120分鐘.第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題.每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，求得，根據(jù)交集定義，即可求得答案【詳解】又故故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握集合運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，其中是虛數(shù)單位，若，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)

2、數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、幾何意義，即可求得答案.【詳解】實(shí)數(shù)滿(mǎn)足其中是虛數(shù)單位，可得解得.,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)和復(fù)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，的范圍，然后逐一考查所給的不等式，即可求得答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 可得：對(duì)于a，由，可得，故a錯(cuò)誤；對(duì)于b

3、，由，可得，故b正確；對(duì)于c，由，可得，故c錯(cuò)誤；對(duì)于d，根據(jù)圖象可得，由，與的大小無(wú)法確定，故d錯(cuò)誤；故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)已知不等式判斷所給不等式是否正常，解題關(guān)鍵是掌握不等式比較大小方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知非零向量，滿(mǎn)足 ，且 ，則與的夾角為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用向量數(shù)量積定義以及向量垂直表示化簡(jiǎn)條件，解得夾角.【詳解】由已知可得，設(shè)的夾角為，則有，又因?yàn)?，所以，故選c.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積定義以及向量垂直表示，考查基本求解能力.5.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)二倍

4、角公式求得，再利用誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.【詳解】 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用誘導(dǎo)公式將所求角與已知角聯(lián)系起來(lái).6.若函數(shù)在上的最大值為4，則的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】要求函數(shù)的最大值，可先分別探究函數(shù)與的單調(diào)性，從而得到的最大值【詳解】易知上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.7.17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話(huà)，那么可以把黃金分割比作

5、鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）.例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】要求的值，需將角用已知角表示出來(lái)，從而考慮用三角恒等變換公式解題已知角有，正五邊形內(nèi)角，已知三角函數(shù)值有，所以，從而【詳解】由題可知，且，則.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查解讀信息與應(yīng)用信息的能力.8.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）a. 函數(shù)的周期為b. 函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為c. 函數(shù)在上單調(diào)遞

6、增d. 函數(shù)的最小值為【答案】c【解析】【分析】化簡(jiǎn)，可得，逐項(xiàng)判斷，即可求得答案.【詳解】對(duì)于a，函數(shù)的周期為： ,故a說(shuō)法正確；對(duì)于b，時(shí)，是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，故b說(shuō)法正確；對(duì)于c，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不單調(diào)，故c說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)于d， 函數(shù)的最小值為，故d說(shuō)法正確，故選：c.【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和正弦函數(shù)圖象特征，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.9.已知函數(shù)的圖象的一部分如下圖所示，若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根已知條件求得，可得，根據(jù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即可求得答案.【詳解】由圖可知，函數(shù)的周期為則，可得又

7、，故可得則又在函數(shù)圖象上，則故故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為可得即又在上是單調(diào)遞增函數(shù)，解得 故選:c.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)圖象求解函數(shù)表達(dá)式和根據(jù)三角函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)性求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握三角形函數(shù)圖象的基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.10.在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，現(xiàn)有下面三個(gè)結(jié)論：為正三角形；異面直線(xiàn)與所成角為；平面.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析】計(jì)算出三邊是否相等；平移與，使得它們的平行線(xiàn)交于一點(diǎn)，解三角形求角的大小；探究平面內(nèi)是否有與平行的直線(xiàn)【詳解】易證的三邊相等，所以它是正三角形.平面截正方體所得截面

8、為正六邊形，且該截面與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，易證，從而平面.取的中點(diǎn)，連接，則，易知，所以與所成角不可能是，從而異面直線(xiàn)與所成角不是.故正確.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11.過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，該直線(xiàn)與的漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【詳解】直線(xiàn)l:y=-x+a與漸近線(xiàn)交于,直線(xiàn)l:y=-x+a與漸近線(xiàn)交于,a,因?yàn)?所以,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,故選d.點(diǎn)睛:本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì),屬于中檔題目.解決本題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)以及向量坐標(biāo)化,先求出過(guò)右頂點(diǎn)且斜率為-1的直線(xiàn)方程,分別聯(lián)立該直線(xiàn)

9、與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn),求出交點(diǎn)坐標(biāo),代入中,通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算,即可得到a,b的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線(xiàn)中,即可求得離心率.12.設(shè)函數(shù)若存在的極值點(diǎn)滿(mǎn)足，則m的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由題意知：的極值為，所以，因?yàn)?，所以，所以即，所以，?，而已知，所以3，故，解得或，故選c.考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究的極值，考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.第卷（非選擇題 共90分）第1321題為必考題，每道試題考生都必須作答.第2223為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：每小題5分，滿(mǎn)分20分.其中第15題第一空2分，第二空3分.13.

10、隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)購(gòu)早已融入人們的日常生活.網(wǎng)購(gòu)的蘋(píng)果在運(yùn)輸過(guò)程中容易出現(xiàn)碰傷，假設(shè)在運(yùn)輸中每箱蘋(píng)果出現(xiàn)碰傷的概率為0.7，每箱蘋(píng)果在運(yùn)輸中互不影響，則網(wǎng)購(gòu)2箱蘋(píng)果恰有1箱在運(yùn)輸中出現(xiàn)碰傷的概率為_(kāi).【答案】0.42【解析】【分析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解【詳解】題目可轉(zhuǎn)化為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即重復(fù)做2次試驗(yàn)，每次事件發(fā)生的概率為0.7，則恰有1次發(fā)生的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，考查應(yīng)用意識(shí)與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14.設(shè)，分別為內(nèi)角，的對(duì)邊.已知，則_.【答案】2【解析】【分析】要求的值，可考慮將已知條件化成三角函數(shù)式的形式，利用三角恒等式化簡(jiǎn)計(jì)算【詳解】因?yàn)椋?所以

11、，所以【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力.15.已知點(diǎn)滿(mǎn)足，則取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用兩點(diǎn)間的斜率公式進(jìn)行求解,即可求得答案.【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，由圖象知oa的斜率最小，oc的斜率最大，由,可得此時(shí)oc斜率由,可得此時(shí)ob斜率，則的取值范圍為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,關(guān)鍵是根據(jù)所給的約束條件準(zhǔn)確地畫(huà)岀可行域和目標(biāo)函數(shù).在平面區(qū)域中,求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,要注意分析線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,從而確定目標(biāo)函數(shù)在何處取得最優(yōu)解.16.如圖，在四棱錐中，平面，底面為

12、正方形，且.若四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積的最小值為_(kāi)；當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，二面角的正切值為_(kāi). 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)要求球的表面積的最小值，需求出球的表面積的算式，為此又需求出球的半徑，從而根據(jù)算式的特點(diǎn)，用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求出最小值 (2)列出四棱錐的體積的算式，求出體積取得最大值時(shí)變量的取值，從而求出二面角的正切值【詳解】(1)設(shè)，則.平面，又，平面，則四棱錐可補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，球的球心為的中點(diǎn)，從而球的表面積為.(2)四棱錐的體積，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故，此時(shí)，.過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角.，.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的體

13、積與球體的表面積，考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想以及直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)棱錐中有線(xiàn)面垂直條件時(shí)，可考慮將棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，簡(jiǎn)化思考便于計(jì)算找二面角平面角的常用方法有：定義法，三垂線(xiàn)法三、解答題：本大題共7小題.共70分.解答須寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）.（2）.（3）【解析】【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案；（2）由，可得，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，即可求得答案；（3）由，可得，根據(jù)錯(cuò)位相減求和，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng).，當(dāng)時(shí)，由

14、可得兩式相減可得：即且上式對(duì)于也成立，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）（3），由可得：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式和求數(shù)列和，解題關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)數(shù)列求和的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.18.已知三棱柱中，.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）要證平面，只需求證，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)，即可求得答案.【詳解】（1）,.在中,由余弦定理得,.又,又,平面.（2）由（1），又在中，可得又平面；由（1）得平面， 又以

15、為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則,又解得：，故設(shè)平面法向量為由，可得故：取，則設(shè)平面法向量為由，可得故：取可得：平面與平面所成二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線(xiàn)面垂直的證法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.19.某公司為了提高利潤(rùn)，從2012年至2018年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤(rùn)增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)如下表：年份2012201320142015201620172018投資金額（萬(wàn)元）4.55.05.56.06.57.07.5年利潤(rùn)增長(zhǎng)（萬(wàn)元）6.07.07.48.18.99.61

16、1.1（1）請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（2）現(xiàn)從20122018年這7年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查，記年利潤(rùn)增長(zhǎng)投資金額，設(shè)這三年中（萬(wàn)元）的年份數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)公式求出，即可求得答案；（2）由所給數(shù)據(jù)可得，的可能取值為1，2，3，求得即可求得答案.【詳解】（1），故關(guān)的回歸直線(xiàn)方程為：，（2）由表格可知，年這年中年份20122013201420152016201720181.521.92.12.42.63.6的可能取值為1，2，3可得：123【點(diǎn)睛】本題主要考查

17、了求回歸直線(xiàn)方程和隨機(jī)變量的分布列與期望，解題關(guān)鍵是掌握回歸直線(xiàn)的求法和統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為正三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）.（2）在軸上是存在點(diǎn)，坐標(biāo)為，【解析】【分析】（1）因?yàn)闄E圓：的離心率為，可得，右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故，即可求得答案；（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)，若是正三角形，且，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】（1）橢圓：的離心率為，可得故右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.當(dāng)時(shí)，將代入可得整

18、理可得：即解得：（舍去）或由，可得，即根據(jù)可得：當(dāng)時(shí)，將代入可得整理可得：方程無(wú)解（2）過(guò)點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)的方程為 聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程可得：，消掉可得：根據(jù)韋達(dá)定理可得： 設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，是正三角形且根據(jù)，可得由可得：可得：，解得：設(shè)，將其代入可得可得故在軸上是存在點(diǎn)，使得為正三角形，坐標(biāo)為，【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓方程和橢圓中的三角形問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐基礎(chǔ)知識(shí)和橢圓中三角問(wèn)題的解法，圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題，要通過(guò)直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)聯(lián)立方程，通過(guò)韋達(dá)定理，建立起直線(xiàn)斜率與目標(biāo)直線(xiàn)的關(guān)系，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性.（2

19、）試問(wèn)是否存在，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 存在；的取值范圍為.【解析】【分析】（1），所以得，所以通過(guò)對(duì)與的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論得的單調(diào)性；(2)假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的的值，由題意需，所以由(1)的單調(diào)性求即可；又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以可以考慮從區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)值代入，解出的取值范圍，從而將的范圍縮小減少討論.【詳解】解：（1），.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增. （2）假設(shè)存在，使得對(duì)恒成立.則，即，設(shè)，則存在，使得， 因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)?，所以時(shí)即. 又因?yàn)閷?duì)恒成立時(shí)，需，所以由（1）得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，且成立，從而滿(mǎn)足題意. 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以所以（*）設(shè)，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?所以的零點(diǎn)小于2，從而不等式組（*）的解集為，所以即.綜上，存在，使得對(duì)恒成立，且的取值范圍為.【點(diǎn)睛】求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：（1）求定義域；（2）求；（3）討論的零點(diǎn)是否存在；若的零點(diǎn)有多個(gè)，需討論它們的大小關(guān)系及是否在定義域內(nèi)；（4）判斷在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的正負(fù)號(hào)，得的單調(diào)