河南省許昌市濟(jì)源市平頂山市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題文含解析

1、河南省許昌市、濟(jì)源市、平頂山市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題 文（含解析）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，冉選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，又所以故選：

2、c【點睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（ ）a. b. c. 1d. 【答案】b【解析】【分析】先求，再安照復(fù)數(shù)除法法則化簡整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式即可.【詳解】解：，故選：b【點睛】考查求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，基礎(chǔ)題.3.雙曲線的漸近線方程是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】令得.故選：d【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.已知直線l是平面和平面的交線,異面直線a,b分別在平面和平面內(nèi).命題p：直線a,b中至多有一條與直線l相交；命題q：直線a,b中至

3、少有一條與直線l相交；命題s：直線a,b都不與直線l相交.則下列命題中是真命題的為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷命題的真假性,再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對命題,當(dāng)均與相交,且不相交于同一點時也滿足題意,故命題為假命題.對命題,當(dāng)均不與相交時, ,則有,不滿足異面.故至少有一條與直線相交.故命題為真命題.對命題,當(dāng)都不與直線相交,則有,則有,不滿足異面.故為假命題.故為真命題，其余均為假命題.故選：d【點睛】本題主要考查了線面關(guān)系的判定以及邏輯聯(lián)結(jié)詞中的命題的真假判斷.屬于基礎(chǔ)題.5.劉徽是魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，他是中國古典數(shù)學(xué)

4、理論的奠基者之一.他全面證明了九章算術(shù)中的方法和公式，指出并糾正了其中的錯誤，更是擅長用代數(shù)方法解決幾何問題.如下圖在圓的直徑上任取一點e，過點e的弦和垂直，則的長不超過半徑的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為1，由得的范圍，從而確定點滿足的條件，再由幾何概型公式算出概率.【詳解】設(shè)圓的半徑為1，則有，解得：，又在直徑上，所以所求的概率為.故選：a【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算，考查了圓的弦長的計算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.6.在中，且，則（ ）a. 3b. 5c. d. 【答案】a【解析】【分析】由，得，代入計算即可得最后結(jié)果.【詳解】由，得，

5、又，所以.故選：a【點睛】本題主要考查向量的線性表示和向量的數(shù)量積的計算，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7.已知向量，且，則直線的傾斜角為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】計算出，由得出，從而求出斜率，進(jìn)而得出傾斜角.【詳解】由題知，又，所以，得，所以，則直線斜率，故傾斜角為.故選：d【點睛】本題主要考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8.已知直線與拋物線c：相交于a，b兩點，o為坐標(biāo)原點，的斜率分別為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計算即可得答案.【詳解

6、】設(shè)，由消得：，所以，故.故選：c【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9.設(shè)，則，的大小關(guān)系是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，得，判斷函數(shù)在為減函數(shù)，結(jié)合減函數(shù)的性質(zhì)與不等式性質(zhì)判斷出的大小關(guān)系.詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，故在為減函數(shù)，因為，所以，則，故；又，所以，即，故，所以.故選：b【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與不等式性質(zhì)比較大小，考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力.10.已知區(qū)間是關(guān)于x的一元二次不等式的解集，則的最小值是（ ）a. b. c. d.

7、 3【答案】c【解析】【分析】由題知，則可得，則，利用基本不等式“1”的妙用來求出最小值.【詳解】由題知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，則有，所以，且是兩個不同正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是.故選：c【點睛】本題主要考查了一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.11.的內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c，已知，則的周長的最大值是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由正弦定理得，則有，利用基本不等式求出的最大值，即可得的周長的最大值.【詳解】，由正弦定理得，所以，又，

8、得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的周長的最大值是.故選：a【點睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.12.已知函數(shù)，若方程有2不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由得有2不同的實數(shù)解，等價于或有兩個不同的實數(shù)解，分析得到?jīng)]有實數(shù)解，即有兩個不同的實數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)分析即得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得，去分母整理得有2不同的實數(shù)解，所以或，所以或，設(shè)所以，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，所以沒有實數(shù)解.所以方程有兩個不同的實數(shù)解.當(dāng)時，；當(dāng)時，要方程有兩個不同的實數(shù)解，必須.故選：b.【點睛】本

9、題主要考查利用研究函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知,其中,則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)角度關(guān)系,先根據(jù)二倍角公式求解,進(jìn)而得出.再根據(jù)角度的范圍求解,再湊角根據(jù)求解即可.【詳解】因為,故,又,故.所以,.又,故,又,所以.故.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換求解三角函數(shù)值的問題,需要根據(jù)角度的關(guān)系選擇合適的三角函數(shù)公式.同時需要結(jié)合角度的范圍分析三角函數(shù)的正負(fù),再根據(jù)湊角求解三角函數(shù)值等.屬于中檔題.14.非典和新冠肺炎兩場疫情告訴我們：應(yīng)堅決杜絕食用野生動物，提倡文明健康

10、，綠色環(huán)保的生活方式.在我國抗擊新冠肺炎期間，某校開展一次有關(guān)病毒的網(wǎng)絡(luò)科普講座.高三年級男生60人，女生40人參加.按分層抽樣的方法，在100名同學(xué)中選出5人，則男生中選出_人.再從此5人中選出兩名同學(xué)作為聯(lián)絡(luò)人，則這兩名聯(lián)絡(luò)人中男女都有的概率是_.（第1空2分，第2空3分）【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】用男生總?cè)藬?shù)乘以抽樣比即可得解；所求事件只包含抽到1名男生和1名女生，利用古典概型概率計算公式即可得解.【詳解】按分層抽樣的方法，在100名同學(xué)中選出5人，則男生中選人，女生中選2人；從此5人中選出兩名同學(xué)作為聯(lián)絡(luò)人，設(shè)這兩名聯(lián)絡(luò)人中男女都有為事件a，則.故答案為：3；【

11、點睛】本題考查分層抽樣、古典概型概率計算公式、簡單的組合問題，屬于基礎(chǔ)題.15.已知矩形中，e是邊的中點，現(xiàn)以為折痕將折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為_.【答案】【解析】分析】當(dāng)平面平面，三棱錐的高最大，此時其體積最大，為直角三角形，所以，為正三角形，其中心設(shè)為，再證明，根據(jù)平面平面，則易證.【詳解】解： 因為， ，e是邊的中點， 所以，為正三角形，其面積為定值，其中心設(shè)為，所以當(dāng)平面平面，三棱錐的高最大，此時其體積最大，設(shè)此時點為點，即有平面平面，取的中點，連結(jié)，則，又平面平面，所以平面，所以，又，即為直角三角形，所以，所以，所以為三棱錐的外接球球心，該三棱錐外接球的表面

12、積為.故答案為：【點睛】考查三棱錐外接球的表面積的求法，其關(guān)鍵在于確定球心的位置，即找一點到四個頂點的距離相等，通常先考慮直角三角形外心或等邊三角形中心，同時要證明這一點到各個頂點的距離相等；本題屬于中檔題.16.已知函數(shù)，若恒成立，則a的值為_.【答案】0【解析】【分析】要使得在定義域上恒成立，則函數(shù)和函數(shù)必有相同零點，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，令，解得或，因為恒成立，所以函數(shù)的零點也為或，所以，即，解得，當(dāng)時，當(dāng)時，可得恒成立，當(dāng)時，可得恒成立，綜上可得，當(dāng)時，在定義域上恒成立，所以實數(shù)a的值為.故答案：.【點睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題，其中解答中轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有相同

13、的零點，列出方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）如果數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列通項與前n和的關(guān)系，由，得到，兩式相減求解即可.（2）由（1）得， 再利用錯位相減法求和.【詳解】（1）因為所以，兩式相減得. （2）由（1）得， 所以 -得，所以.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項與前n和的關(guān)系以及錯位相

14、減法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，三棱錐的體積為1，求線段的長度.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）取ad中點m，連接pm，bm，證出，再利用線面垂直的判定定理證出平面，進(jìn)而證出.（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再利用等體法：求出，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】解:（1） 取ad中點m，連接pm，bm，.四邊形是菱形，且，是正三角形， ，又，平面. 又平面，. （2）平面平面，且交線為，平面. 在正三角形中，. 由題意可知，.，.平面，平面，., .【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理

15、、線面垂直的性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理、等體法求點到面的距離，屬于基礎(chǔ)題.19.（在花卉進(jìn)行硬枝扦插過程中，常需要用生根粉調(diào)節(jié)植物根系生長.現(xiàn)有20株使用了生根粉的花卉，在對最終“花卉存活”和“花卉死亡”進(jìn)行統(tǒng)計的同時，也對在使用生根粉2個小時后的生根量進(jìn)行了統(tǒng)計，這20株花卉生根量如下表所示，其中生根量在6根以下的視為“不足量”，大于等于6根為“足量”.現(xiàn)對該20株花卉樣本進(jìn)行統(tǒng)計，其中“花卉存活”的13株.已知“花卉存活”但生根量“不足量”的植株共1株.編號0102030405060708091011121314151617181920生根量68389566277596788469（1）

16、完成列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“花卉的存活”與“生根足量”有關(guān)？生根足量生根不足量總計花卉存活花卉死亡總計20（2）若在該樣本“生根不足量”的植株中隨機(jī)抽取3株，求這3株中恰有1株“花卉存活”的概率.參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗中的，其中.【答案】（1）見解析，不能在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“花卉的存活”與“生根足量”有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）由題意以及生根量的統(tǒng)計數(shù)量即可得出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表計算出觀測值即可得出結(jié)果.（2）樣本中“生根不足量”有5株，其中“花卉死亡”的有4株， 存活的1株，記存活的花卉為a，花卉的植株分別為，利用列舉法求出隨機(jī)抽取3株

17、的基本事件個數(shù)以及恰好有1株存活的基本事件個數(shù)，然后再根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】解： （1） 由題意可得“花卉存活”的13株，“花卉死亡”的7株；“生根足量”的15株，“生根不足量”的5株，填寫列聯(lián)表如下： 生根足量生根不足量總計花卉存活12113花卉死亡347總計15520. 所以不能在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“花卉的存活”與“生根足量”有關(guān)（2）樣本中“生根不足量”有5株，其中“花卉死亡”的有4株， 存活的1株. 設(shè)事件a：抽取的3株中恰有1株存活記存活的花卉為a，花卉的植株分別為.則選取的3株有以下情況：， 共10種. 其中恰有一株花卉存活的情況有6種. 所以

18、.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的基本思想、古典概型的概率公式，考查了考生的數(shù)據(jù)分析處理能力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓c：（）的離心率，短軸長為2，m、是橢圓c上、下兩個頂點，n在橢圓c上且非頂點，直線交x軸于點p，是橢圓c的左，右頂點，直線，交于點q.（1）求橢圓c的方程；（2）證明：直線與y軸平行.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，解方程即可求解.（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，由，可得直線的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理求出，求出直線，兩直線聯(lián)立求出交點的橫坐標(biāo)即證.【詳解】解： （1） 故橢圓的方程為 (2) 因為m、是橢圓c上、下兩個頂點，則，設(shè)，設(shè)直

19、線的方程為，又因為，故直線的方程為. 聯(lián)立方程組，于是， 直線， 聯(lián)立方程可得所以 所以，即直線pq與y軸平行【點睛】本題考查了根據(jù)離心率求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，此題要求較高的計算能力，屬于難題.21.已知函數(shù)，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為證：，再兩邊構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，且即可.【詳解】（1），切點坐標(biāo)為，則有. 所以切線方程為：，即. （2）要證：，即證. 令， 則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增所以. 令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減所以，.所以，. 即.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了等價轉(zhuǎn)化思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題.（二）