江蘇省宿遷市沭陽縣2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

1、江蘇省宿遷市沭陽縣2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.數(shù)列的通項公式是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列前幾項，歸納猜想出數(shù)列的通項公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項為：；則其通項公式.故選：c.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.2.已知數(shù)據(jù)的均值為2，那么數(shù)據(jù)的均值為（ ）a. 2b. 5c. 7d. 4【答案】c【解析】【分析】根據(jù)均值線性變換公式，求得新數(shù)據(jù)的均值.【詳解】由數(shù)據(jù)的均值為，則數(shù)據(jù)的均值為

2、.故選：c.【點睛】本小題主要考查數(shù)據(jù)均值的線性運算：若（）的均值為，則（）的均值為.屬于基礎(chǔ)題.3.已知，那么下列不等式中一定成立的是a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)a，b的符號和范圍，結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行判斷即可詳解】若，則，則，故a不成立；不一定成立，如a=-5,b=6,故b不成立；，,故c不成立，則，成立，故d正確，故選：d【點睛】本題主要考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)4.某市的a，b，c三個學(xué)校共有學(xué)生3000名，且這三個學(xué)校學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4.如果用分層抽樣的方法從所有學(xué)生中抽取1個容量為200的樣本，那么學(xué)校c應(yīng)抽取的學(xué)

3、生數(shù)為（ ）a. 60b. 70c. 80d. 30【答案】c【解析】【分析】先求得學(xué)校學(xué)生占的比例，由此求得學(xué)校應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù).【詳解】學(xué)校c中的學(xué)生占的比例為，故學(xué)校c應(yīng)抽取的人數(shù)為，故選：c.【點睛】本小題主要考查分層抽樣有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.5.已知數(shù)列的前項和為，且，則的值為（ ）a. -4b. -2c. -6d. -8【答案】a【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求得和的值.【詳解】依題意，數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，故選：a.【點睛】本小題主要考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式求某一項，屬于基礎(chǔ)題.6.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，則公比qa. 4b. 3c. 2d. 【答案】c【解析

4、】【分析】由，利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合各項為正數(shù)求出，從而可得結(jié)果.【詳解】，故選c.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列基本量運算，意在考查靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于簡單題.7.不等式的解集是，則的值為（ ）a. 14b. -14c. 10d. -10【答案】d【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次不等式對應(yīng)的一元二次方程的根的對應(yīng)關(guān)系，求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】不等式的解集是，可得是一元二次方程的兩個實數(shù)根，解得，故選：d.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式對應(yīng)的一元二次方程的根的對應(yīng)關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)是

5、等比數(shù)列，有下列四個命題：是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；是等比數(shù)列.其中正確命題的個數(shù)是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數(shù).【詳解】是等比數(shù)列可得（為定值）為常數(shù)，故正確，故正確為常數(shù)，故正確不一定為常數(shù)，故錯誤故選：c.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9.已知數(shù)列滿足，若，則（ ）a. -1b. 2c. 3d. 2019【答案】c【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式判斷出數(shù)列是周期為周期數(shù)列，由此求得的值.【詳解】依題意，則；所以數(shù)列以3為周期的數(shù)列，所以，所以.故選：c.【點睛】本小

6、題主要考查數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)題.10.若，則時，與的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 隨值變化而變化【答案】a【解析】【分析】利用作差比較法，計算得，由此得出正確選項.【詳解】，且，.故選：a.【點睛】本小題主要考查差比較法比較大小，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.11.放射性物質(zhì)的半衰期定義為每經(jīng)過時間，該物質(zhì)的質(zhì)量會衰退原來的一半，鉛制容器中有兩種放射性物質(zhì)，開始記錄時容器中物質(zhì)的質(zhì)量是物質(zhì)的質(zhì)量的2倍，而120小時后兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，已知物質(zhì)的半衰期為7.5小時，則物質(zhì)的半衰期為（ ）a. 10 小時b. 8 小時c. 12 小時d. 15 小時【答案】b【解析】【

7、分析】由16設(shè)mb1則ma2設(shè)物質(zhì)b的半衰期為t由題意可得：2，解得t【詳解】由題意得16又不妨設(shè)mb1則ma2設(shè)物質(zhì)b的半衰期為t由題意可得：2，解得t8故選：b【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12.正數(shù)滿足,且恒成立,則實數(shù)的取值范圍是a. b. c. d. 【答案】b【解析】略二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在的汽車大約有_輛.【答案】60【解析】【分析】先求得區(qū)間的頻率，由此求得時速在的汽車的數(shù)量.【詳解】由已知可得樣本容量為200，又?jǐn)?shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為時

8、速在的汽車大約有故答案為：60【點睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計算頻數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為_.【答案】【解析】【分析】利用累乘法求得數(shù)列的通項公式.【詳解】數(shù)列滿足，則當(dāng)時，所有的式子相乘得，整理得（首項符合通項）.故.故答案為：【點睛】本小題主要考查累乘法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，則不等式的解集是_【答案】【解析】試題分析：函數(shù)，由解得，由解得，故不等式的解集為.考點：分段函數(shù)解不等式.16.設(shè)正實數(shù)滿足，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)，得到，代入，利用一元二次方程有解，判別式為非負(fù)數(shù)列不等式，解不等式求得的可能取值范圍

9、，利用基本不等式確定的取值范圍.【詳解】設(shè)，所以，代入，得，化簡得，方程有根，化簡，解得或者由，所以，所以，所以.即的最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查表達(dá)式最小值的求法，考查一元二次方程有實數(shù)根的條件，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共計70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.17.甲、乙兩個同學(xué)分別拋擲1枚質(zhì)地均勻的骰子.（1）求他們拋擲點數(shù)相同的概率；（2）求他們拋擲骰子的點數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）列舉出所有的基本事件，確定拋擲點數(shù)相同的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公

10、式，計算出所求概率.（2）根據(jù)（1）中列舉出的基本事件，確定拋擲骰子的點數(shù)之和是的倍數(shù)的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）甲、乙兩個同學(xué)分別拋擲1枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件：共有36個，用來表示兩枚骰子向上的點數(shù) 記“他們拋擲點數(shù)相同”為事件a，則a包含基本事件：（；，共6種，故.（2）記“他們拋擲骰子的點數(shù)之和是3的倍數(shù)”為事件b，則b包含基本事件有：，共12種.故.【點睛】本小題主要考查列舉法計算古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】(1) ,(2)【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列

11、方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式.（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由，得，解得，；（2）由，得.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.19.近年來大氣污染防治工作得到各級部門的重視，某企業(yè)現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本（單位：萬元）與日產(chǎn)量（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為，現(xiàn)為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備，每噸產(chǎn)品除塵費用為萬元，除塵后當(dāng)日產(chǎn)量時，總成本.（1）求的值；（2）若每噸產(chǎn)品出廠價為59萬元，試求除塵后日產(chǎn)量為多少時，每噸產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為多少？【答案】(1

12、)2,(2) 除塵后日產(chǎn)量為11噸時，每噸產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為6萬元.【解析】【分析】（1）利用原來的成本加上衛(wèi)生綜合整治后增加的成本，求得除塵后總成本的表達(dá)式，利用，求得的值.（2）由（1）求得除塵后總成本的表達(dá)式，進(jìn)而求得總利潤的表達(dá)式，由此求得每噸產(chǎn)品利潤的表達(dá)式，利用基本不等式求得每噸產(chǎn)品的利潤的最大值，以及此時對應(yīng)的日產(chǎn)量.【詳解】（1）由題意，除塵后，當(dāng)日產(chǎn)量時，總成本，故，解得.（2）由（1），總利潤，每噸產(chǎn)品的利潤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，除塵后日產(chǎn)量為11噸時，每噸產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為6萬元.【點睛】本小題主要考查函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，考查利用基本不等式求最值，屬

13、于基礎(chǔ)題.20.數(shù)列中，.（1）求；（2）求數(shù)列前項和；（3）設(shè)，存在數(shù)列使得，試求數(shù)列的前項和.【答案】（1）,（2）,（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，求得的值.（2）利用，化簡后證得是等比數(shù)列，由此求得的通項公式.（3）由（2）求得的通項公式，進(jìn)而求得的通項公式，利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1），. （2）， 是首項為，公比為2的等比數(shù)列. （3）， .【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列，考查裂項求和法，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.21.一般來說，一個人腳掌越長，他的身高就越高，現(xiàn)對10名成年人的腳掌與身高進(jìn)行測量，得到數(shù)據(jù)（單位：cm）作為樣本如表所示：腳掌長（

14、）20212223242526272829身高（）141146154160169176181188197203（1）在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點圖后，發(fā)現(xiàn)散點在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程；（2）若某人的腳掌長為26.5cm，試估計此人的身高；（3）在樣本中，從身高180cm以上的4人中隨機抽取2人進(jìn)行進(jìn)一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）,（2）腳長為26.5cm的人，身高約為185.5cm；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.（2）

15、將代入（1）中求得的回歸直線方程，求得身高的估計值.（3）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）由題意知，關(guān)于的線性回歸方程為；（2）當(dāng)時，即腳長為26.5cm的人，身高約為185.5cm；（3）記身高在180cm以上的4人為a，b，c，d，其中c，d為身高190cm，從這4人中隨機抽取2人的情形有：ab，ac，ad，bc，bd，cd共6種，其中有c或d的有5種，所求概率為.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的計算，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，考查古典概型概率計算問題的求解，考查運算求解能力，屬于中檔題.22.已知函數(shù)的值域為，記函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）存在使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程有5個不等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1,(2) ,(3) 【解析】【分析】（1）利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值.（2）將原問題轉(zhuǎn)化為“存在成立”，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍.（3）首先判斷不是方程的根. 當(dāng)時，利用換元法，將原方程轉(zhuǎn)化為.通過研究的單調(diào)性和值域，結(jié)合方程根的個數(shù)，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，即有時，即，解