知識(shí)講解-不等關(guān)系與不等式

1、不等關(guān)系與不等式編稿：張希勇 審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解實(shí)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系；2會(huì)用差值法比較兩實(shí)數(shù)的大??；3掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)： 兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語言：；兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語言：；兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語言：任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語言：，.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、；. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)、,三種關(guān)系有且只有一種成立.要點(diǎn)詮釋：這

2、三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù). 要點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有： (1) 對(duì)稱性： (2) 傳遞性： (3) 可加性： (cR)(4) 可乘性：ab，運(yùn)算性質(zhì)有： (1) 可加法則：(2) 可乘法則：(3) 可乘方性：(4) 可開方性：要點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).要點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.；.作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.；.中間量法：若

3、且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小若兩個(gè)式子具有相同的函數(shù)結(jié)構(gòu)，可以利用相應(yīng)的基本函數(shù)的單調(diào)性比較大小.作差比較法的步驟：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化為“積”；第三步：定號(hào)，就是確定差是大于、等于還是小于0；最后下結(jié)論.要點(diǎn)詮釋：概括為：“三步一結(jié)論”.這里“定號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵過程.【典型例題】類型一：用不等式表示不等關(guān)系例1.某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共，擬分割成大、小兩類房間作為旅游客房，大房間面積為，可住游客5人，每名游客每天住宿費(fèi)40元；小房間每間面積為，可住游客3人，每名游客每天住宿費(fèi)

4、50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他只能籌款8000元用于裝修，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.【思路點(diǎn)撥】把已知條件用等式或不等式列出來（代數(shù)化），把目標(biāo)用代數(shù)式表示，再研究條件和目標(biāo)的關(guān)系?！窘馕觥考僭O(shè)裝修大、小客房分別為間，間，根據(jù)題意，應(yīng)由下列不等關(guān)系：（1） 總費(fèi)用不超過8000元（2） 總面積不超過；（3） 大、小客房的房間數(shù)都為非負(fù)數(shù)且為正整數(shù).即有： 即此即為所求滿足題意的不等式組【總結(jié)升華】求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，只要把模型中的量具體化，就可以得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技巧等解決數(shù)學(xué)問題.在解決實(shí)際問題時(shí)，

5、要注意變量的取值范圍.舉一反三：【變式】某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求，600mm的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢？【答案】假設(shè)截得500 mm的鋼管 x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：（1）截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不超過4000mm ;（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù).要同時(shí)滿足上述的三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：類型二：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例2已知，求，的取值范圍【解析】因?yàn)?，所以?兩式相加，得.因

6、為，所以，則.又，所以，則.【總結(jié)升華】求含字母的數(shù)（式）的取值范圍，一是要注意題設(shè)中的條件，充分利用條件，二是在變換過程中要注意利用不等式的基本性質(zhì)以及其他與題目相關(guān)的性質(zhì)等. 舉一反三：【變式1】【變式】已知，求（1）(2)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【高清課堂：不等關(guān)系與不等式387156 題型三 不等式性質(zhì)的應(yīng)用】【變式2】已知函數(shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范圍【答案】f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.設(shè)m(ab)n(ab)4a2b.f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.例3對(duì)于

7、實(shí)數(shù)a,b,c判斷以下命題的真假 （）若ab, 則acbc2，則ab; （）若ababb2; （）若ab|b|; （）若ab, , 則a0, bbc2, 所以c0, 從而c20，故原命題為真命題.（）因?yàn)?，所以a2ab 又，所以abb2 綜合得a2abb2 ，故原命題為真命題（）兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，故原命題為真命題（）因?yàn)?，所以 所以 ，從而abb，所以a0, b0，故原命題為真命題【總結(jié)升華】題目中要注意不等式變形的等價(jià)性，性質(zhì)的應(yīng)用要合理.舉一反三：【高清課堂：不等關(guān)系與不等式387156 題型二 不等式的性質(zhì)】【變式1】若a0ba，cd0，則下列命題：(1)adbc；(2)

8、；(3)acbd；(4)a(dc)b(dc)中能成立的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4【答案】C；【變式2】若abv0)，則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時(shí)間平均速度， ， 因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度.【總結(jié)升華】 恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出變量，利用了做差比較大小是本例的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】甲乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a,另一半時(shí)間的速度為b;乙車用速度為a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，試判斷哪輛車先到達(dá)B地.【答案】甲車先到達(dá)B地；【解析】設(shè)從A到B的路程為S，甲車用的時(shí)間為，乙車用的時(shí)間為

9、，則所以，甲車先到達(dá)B地.類型三：作差比較大小【高清課堂：不等關(guān)系與不等式387156 題型一 比較大小】例5. 已知a，b，c是實(shí)數(shù)，試比較a2b2c2與abbcca的大小【思路點(diǎn)撥】此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)。根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來得出兩個(gè)代數(shù)式的大小。比較兩個(gè)代數(shù)式大小的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算符號(hào)問題?！窘馕觥?， 當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)a2b2c2abbcca.【總結(jié)升華】用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大小，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡(jiǎn)，其

10、目標(biāo)應(yīng)是個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)需進(jìn)行討論；第三步：得出結(jié)論?！究偨Y(jié)升華】用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大小，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡(jiǎn)，其目標(biāo)應(yīng)是個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論；第三步：得出結(jié)論.舉一反三：【變式1】在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)： (1) ； （2） ；（3） ； （4）當(dāng)時(shí)， .【答案】(1)； （2） ； （3）； （4）【變式2】比較下列兩代數(shù)式的大?。海?）與；（2）與.【答案】（1）（2），.例6.已知(), 試比較和的大小.【解析】， 即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 【總結(jié)升華】變形一步最為關(guān)鍵，直至變形到能判斷符號(hào)為止；另需注意字母的符號(hào)，必要時(shí)需要分類討論舉一反三：【變式】已知，比較的大小【答案】類型四：作商比較大小例7已知：、, 且,比較的大小.【思路點(diǎn)撥】本題是兩指數(shù)式比較大小，如果設(shè)想作差法，很明顯很難判斷符號(hào)，由指數(shù)式是正項(xiàng)可以聯(lián)想到作商法.【解析】 、 ，作商： （*）(1)若ab0, 則，a-b0, , 此時(shí)成立；(2)若ba0, 則, a-b0，, 此時(shí)成立.綜上，總成立.【總結(jié)升華】1、作商比