湖南省第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第六次月考試題 理

1、 整理于網(wǎng)絡(luò) 可修改湖南省瀏陽市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第六次月考試題 理考試時(shí)量：120分鐘 試卷滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1設(shè)集合，則A B C D 2. 設(shè)為虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則 A B C1 D3. 已知某超市2019年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯(cuò)誤的是A該超市2019年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B該超市2019年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C該超市2019年16月份的總收益低于2019年712月份的總收益D該超市2019年712月份的

2、總收益比2019年16月份的總收益增長了90萬元4已知，則A B C D5. 已知，滿足，則ABCD6. 函數(shù)圖象的大致形狀是 A B C D7.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜先他10米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜先他1米，所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為 A米B米C米D米8.已知函數(shù)，且在上單調(diào).則

3、下列說法正確的是A B C函數(shù)在上單調(diào)遞增 D函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱9.在中，滿足，則的面積的最大值為A. B. 2 C. D. 10已知雙曲線C：，分別為其左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則C的離心率是A B C2 D11. 在正方體中，分別為，上的動點(diǎn)，且滿足，則下列4個(gè)命題中：存在，某一位置，使； 的面積為定值；當(dāng)時(shí)，直線與直線一定異面； 無論，運(yùn)動到何位置，均有. 其中所有正確命題的序號是A. B. C. D. 12若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分 把答

4、案填在答題卡中的橫線上）13若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)_ _14在菱形中，將這個(gè)菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為，則的長為 15.已知數(shù)列滿足，則(1) ，(2) .16如圖，衡陽市有相交于點(diǎn)的一條東西走向的公路與一條南北走向的公路，有一商城的部分邊界是橢圓的四分之一，這兩條公路為橢圓的對稱軸，橢圓的長半軸長為2，短半軸長為1(單位:千米). 根據(jù)市民建議，欲新建一條公路，點(diǎn)分別在公路上，且要求與橢圓形商城相切，當(dāng)公路長最短時(shí)，的長為_千米.三、解答題（本大題共6小題，共70分 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（一）必考題：60分17(本小題滿分12分)

5、 已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面積為，設(shè)D為邊AC的中點(diǎn)，求線段BD長的最小值18(本小題滿分12分) 已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將ADE沿DE折起，使ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.（1）證明：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；（2）求角的正弦值.19(本小題滿分12分) 如圖，已知橢圓的長軸長為4，過橢圓的右焦點(diǎn)為F作斜率為的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線，直線分別與相交于兩點(diǎn)，設(shè)為線段的中點(diǎn)，求證：20(本小題滿分12分)已知

6、函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21. (本小題滿分12分) 隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推； y表示人數(shù))：x12345y(萬人)2050100150180(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；(2)該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，

7、送免費(fèi)購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn). 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次。若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費(fèi)購物券金額的期望值。附

8、：在線性回歸方程中，.（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22. (本小題滿分10分) 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程，直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求的值23. (本小題滿分10分) 選修45：不等式選講 已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）證明：參考答案考試時(shí)量：120分鐘 試卷滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

9、符合題目要求的）題號123456789101112答案BADDACBCACBD二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分 把答案填在答題卡中的橫線上）13 _ -2 _ 14 15. (1) ， (2) .16 _ 三、解答題（本大題共6小題，共70分 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（一）必考題：60分17(本小題滿分12分) 已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面積為，設(shè)D為邊AC的中點(diǎn)，求線段BD長的最小值【詳解】(1)由，得，即，即.由正弦定理得，因，所以，則，所以， 所以，即.(2)由ABC的面積為，即，得.因?yàn)镈為邊A

10、C的中點(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，即線段BD長的最小值為.18(本小題滿分12分) 已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將ADE沿DE折起，使ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.（1）證明：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；（2）求角的正弦值.【詳解】(1)證明：過點(diǎn)A作AG平面BCDE，垂足為G，連接GC，GD.因?yàn)锳CD為等邊三角形，所以AC=AD，所以點(diǎn)G在CD的垂直平分線上.又因?yàn)镋F是CD的垂直平線，所以點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.另證：過點(diǎn)A作AGEF，再證AGCD，從而證得AG平面BCDE，即點(diǎn)A在平面

11、BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上(2) 解：以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA所在直線為z軸，GF所在直線為y軸，過點(diǎn)G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，連接AF，則AF= a，AE= a，EF=2 a. 所以設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為m=(x，y，z)，則，取y=1，得m=，又平面DEC的一個(gè)法向量n=(0，0，1)所以，即.19(本小題滿分12分) 如圖，已知橢圓的長軸長為4，過橢圓的右焦點(diǎn)為F作斜率為的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線，直線分別與相交于兩點(diǎn)，設(shè)為線段的中點(diǎn)，求證：【詳解】(1)設(shè)，因點(diǎn)B在橢圓上，所以，故

12、又， 所以，即因 所以，所以，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線BC的方程為，由，得，則.直線的方程為，令，得；同理；所以，即點(diǎn)，又，所以，所以.20(本小題滿分12分)已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1) 當(dāng)時(shí)，則令，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，解得當(dāng)時(shí)，得，解得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故即，在上單調(diào)遞減，所以所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?(2)因?yàn)椋士苫癁榧春瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即恒成立.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，故，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21. (本小題滿分12分) 隨著科學(xué)技術(shù)的飛

13、速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：x12345y(萬人)2050100150180(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；(2)該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費(fèi)購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn). 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得

14、免費(fèi)購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次。若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費(fèi)購物券金額的期望值。附：在線性回歸方程中，.(1) 故 從而所以所求線性回歸方程為，令，解得.故預(yù)計(jì)到2022年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人（3

15、）遙控車開始在第0格為必然事件，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為,即。遙控車移到第n（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種。 遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為 遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為所以， 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 以上各式相加，得 （）， 獲勝的概率失敗的概率設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為元，或X的期望參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約400元.（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22. (本小題滿分10分) 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程，直線與曲線C