泛函分析中的概念和命題

1、泛函分析中的概念和命題賦范空間，算子，泛函定理：賦范線性空間是有限維的當(dāng)且僅當(dāng)它的單位球是列緊的；有限維賦范線性空間上的任兩個(gè)范數(shù)是等價(jià)的；有限維賦范線性空間是Banach空間.定理：是賦范線性空間的一個(gè)真閉線性子空間，則使得： 定理：設(shè)是賦范線性空間，是上的線性泛函，則1.2.定理： 可分B空間： 不可分Hahn-Banach泛函延拓定理設(shè)為線性空間，若：(1)(2)(3) 實(shí)Hahn-Banach泛函定理: 設(shè)是實(shí)線性空間，是定義在上的次可加正齊性泛函，是的線性子空間，是定義在上的實(shí)線性泛函且滿足，則必存在一個(gè)定義在上的實(shí)線性泛函，且滿足：12. 復(fù)Hahn-Banach泛函定理: 設(shè)是復(fù)

2、線性空間，是定義在上的次可加對(duì)稱泛函，是的線性子空間，是定義在上的線性泛函且滿足，則必存在一個(gè)定義在上的線性泛函，且滿足：12. 定理: 設(shè)是線性空間， 若， 則在上必存在非零線性泛函。Hahn-Banach延拓定理: 設(shè)是賦范線性空間， 是的線性子空間，是定義在上的有界線性泛函，則必存在一個(gè)定義在上的有界線性泛函，滿足：12. 定理：設(shè)是賦范線性空間，是的線性子空間，則必有，滿足： (1)定理：設(shè)是賦范空間，定理：設(shè)是賦范空間，凸集分離定理極大線性子空間：一個(gè)線性空間的子空間，真包含它的線性空間是全空間超平面：它是線性空間中某個(gè)極大線性子空間對(duì)某個(gè)向量的平移，也稱極大線性流形承托超平面：承托

3、超平面Minkowski泛函：取值于的函數(shù)： 與對(duì)應(yīng)，稱函數(shù)為的Minkowski泛函定理：是賦范空間的(閉)超平面存在上的非零(連續(xù))線性泛函及Hahn-Banach定理的幾何形式: 設(shè)是賦范空間，是的具有內(nèi)點(diǎn)的真凸子集，又設(shè)定理：設(shè)是賦范空間，則Ascoli定理：設(shè)是賦范空間，是的真閉凸子集，則適合Mazur定理：設(shè)是賦范空間，是的一個(gè)有內(nèi)點(diǎn)的凸子集，是的一個(gè)線性流形，又設(shè)定理：設(shè)是賦范空間，是的一個(gè)含有內(nèi)點(diǎn)的閉凸集，則通過(guò)的每個(gè)邊界點(diǎn)都可以作出的一個(gè)承托超平面基本定理定理：開映射定理：Banach逆算子定理：等價(jià)范數(shù)定理：設(shè)是線性空間，和是上的兩個(gè)范數(shù)，若關(guān)于這兩個(gè)范數(shù)都成為Banach

4、空間，而且強(qiáng)于，則也強(qiáng)于，從而和等價(jià)閉算子：若的圖像是賦范線性空間中的閉集，則稱是閉映射或閉算子閉算子判別定理：設(shè)是賦范空間，若閉圖像定理：，而且是閉算子，若是的閉線性子空間，則是連續(xù)的定理：，則連續(xù)是閉算子共鳴定理：是賦范空間，如果，都有自反空間與共軛算子除聲明外下面的都是一般的賦范線性空間共軛空間：伴隨算子:1.2.3.4.定理：若；是Banach空間， 自反空間的閉線性子空間是自反空間 自然嵌入映射是賦范空間到的保范的有界線性算子，即：Riesz表示定理：設(shè)X是局部緊空間，(1) 若上的正線性泛函，則存在X上一個(gè)正則Borel測(cè)度u，使得對(duì)任都有(2) 若，則存在X上一個(gè)廣義正則Bore

5、l測(cè)度u，使(3) 若是X上具有緊支集的復(fù)連續(xù)函數(shù)空間，則對(duì)上任一有界復(fù)線性泛函，存在復(fù)正則Borel測(cè)度u，使弱收斂和弱列緊基本概念：弱收斂；算子列的一致收斂，強(qiáng)收斂，弱收斂；泛函列的*弱收斂； 弱列緊；局部弱列緊；*弱列緊；局部*弱列緊定理：設(shè) 1. 2.定理：設(shè) 1. 2.定理：設(shè) 1. 2.定理：設(shè)則存在由的凸組合構(gòu)成的點(diǎn)列使其強(qiáng)收斂到，且定理：可分賦范空間的共軛空間是局部*弱列緊的；自反空間是局部弱列緊的Hilbert Space基本概念：除聲明外下面所涉及的空間都是Real or Complex Hilbert Space X內(nèi)積：一個(gè)(數(shù)域K上)線性空間上的內(nèi)積指的是共軛雙線性泛

6、函：，它滿足正定性和共軛對(duì)稱性。內(nèi)積空間：定義了內(nèi)積的線性空間。定義了內(nèi)積的復(fù)(實(shí))線性空間稱為復(fù)(實(shí))內(nèi)積空間。內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)滿足平行四邊形公式。內(nèi)積(按內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù))是上的連續(xù)函數(shù).若由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是完備的，這樣的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間定理：設(shè)是內(nèi)積空間，是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，則與滿足如下關(guān)系：當(dāng)是實(shí)線性空間時(shí)，當(dāng)是復(fù)線性空間時(shí)，極化恒等式：， 定理：為了在賦范線性空間中引入內(nèi)積，使得由導(dǎo)出的范數(shù)就是，當(dāng)且僅當(dāng)滿足平行四邊形公式：定理：設(shè)是內(nèi)積空間，是的非空子集，則1. 2.3. 4.5. 6. 定理：設(shè)是希爾伯特空間，是的非空閉凸子集，則，使得正交分解定理：設(shè)是希爾伯特空間的一

7、個(gè)閉線性子空間，存在唯一的正交分解：定理：設(shè)是希爾伯特空間，是的線性子空間，則：1. 2. 定理：定理：假定是，那么有Parseval不等式：定理：是，有Fourier展開式和Parseval等式：，其中：。定理：是，有：定理：標(biāo)準(zhǔn)正交系完備定理：。定理：；實(shí)(復(fù))有窮維可分Hilbert空間都與Hilbert空間同構(gòu)Riesz表示定理：設(shè)是希爾伯特空間，是上的連續(xù)線性泛函，則必有唯一的，使得：有界雙線性泛函：，A被唯一確定 Hermite雙線性泛函： 命題：若Hilbert Space中的算子常見算子(除聲明外下面所涉及的空間都是Real or Complex Hilbert Space X

8、)0正規(guī)算子：。酉算子：等距滿射算子。自伴算子： ；1 ； 2當(dāng)考慮復(fù)空間時(shí)，有結(jié)論：設(shè) 設(shè) 設(shè)A是自伴算子，則它的特征值是實(shí)數(shù)，且不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交 設(shè)A是自伴算子，則. 設(shè)A是自伴算子，則3設(shè)為自伴算子，(當(dāng)考慮復(fù)空間時(shí),自伴算子的條件可去掉，極化恒等式) 設(shè) 設(shè)A是正算子，則也是正算子，其中n是正整數(shù)；且有性質(zhì)： 設(shè)為一致有界的單調(diào)自伴算子列，則存在唯一的自伴算子A，使強(qiáng)收斂到A設(shè)A是正算子，則存在唯一的正算子S，使，稱S為A的正平方根，記為；是A的某一多項(xiàng)式序列按強(qiáng)算子拓?fù)涫諗康臉O限，與A可換的算子必與可換.設(shè)A是正算子，設(shè)自伴算子4是投影算子是自共軛算子， ，則：；此時(shí)的

9、投影子空間是在中的正交余空間定理: 定理：設(shè)是Hilbert空間上的對(duì)稱緊算子，則必有使得：定理：設(shè)是Hilbert空間上的對(duì)稱緊算子，則有至多可數(shù)個(gè)非零的，只可能以0為聚點(diǎn)的實(shí)數(shù)，它們是算子的本征值，并對(duì)應(yīng)一組正交規(guī)范基(不一定可數(shù))，使得： 線性算子的譜概念：正則值，點(diǎn)譜，連續(xù)譜，剩余譜，預(yù)解式，譜半徑，定理：設(shè)，則 1. 2.； 3. 4. 5.緊算子除聲明外下面的都是一般的賦范線性空間是緊算子Fredholm結(jié)論：是緊算子，令，則是閉值域算子，且：1.2.3.緊算子的譜：是緊算子，則：1.；2.；3.；4.Fredholm算子定義：稱為一個(gè)Fredholm算子，是指定義：是一個(gè)Fredholm算子，令，并稱其為的指標(biāo)定理：若和緊算子定理：，又有，以及緊算子和緊算