南京理工大學高等數學歷年期末試卷

1、.2009級（下）A卷一：填空與選擇題(每空3分，共30分)1. 一動點到的距離為到平面的距離的一半, 則動點的軌跡方程是_。2. 由方程所確定，則=_ 。3. 改變積分順序_ _。4. 若級數收斂，則= _。5 為圓周, 則積分=_。6 方程的通解是_。7 設，則= ( ) 0 8. 下列級數中收斂的是( ) 9. 設是半球面()，則的值為( ) 10. 設二階常系數非齊次線性微分方程的三個特解為： ，則該微分方程的通解可表達為( ) 二： （9分） 求過點且通過直線的平面方程。三： （8分）設的二階偏導連續(xù), ,求。四： （9分） 求微分方程的通解。五：（9分）計算, 其中D是由直線圍成的

2、閉區(qū)域。. 六：（9分）計算，其中是從到的上半圓周。七：（分）將函數，展開為的冪級數并給出收斂域八：（9分）在平面上求一點，使它到及三條直線的距離平方之和為最小。九：（9分）設曲面為拋物面，取上側, 計算2008級（下）A卷一：填空題1 曲面在處的切平面方程是_。2 曲線： 繞軸旋轉所形成的旋轉曲面的方程為 。3 函數由方程所確定,則= 。4 累次積分交換積分次序后， 。5 設是上從,到的一段弧, 則_。6 微分方程的特解形式是_。7 冪級數的收斂區(qū)間是 8 直線：與平面：的關系是 。 平行； 垂直相交； 在上； 相交但不垂直。9 下列級數中，發(fā)散的是。 ； ； ； ；二： 設，其中有二階連續(xù)

3、導數,有二階連續(xù)偏導數，求。三：將函數展開成的冪級數。四：計算，其中D為由不等式確定。五：計算，其中是下半球面 取上側.六：判斷級數是絕對收斂,條件收斂還是發(fā)散。七： 求解方程。八： 將長為的細鐵絲剪成三段，分別用來圍成圓、正方形和正三角形，問怎樣剪法，才能使它們所圍成的面積之和最?。坎⑶蟪鲎钚≈?。九：設是單連通區(qū)域，函數在區(qū)域上一階偏導是連續(xù)的，證明：在區(qū)域內是某函數的全微分的充要條件是 在區(qū)域內恒成立。2007級（下）A卷一：填空題1設，則。2級數3曲面在處的切平面方程是。4設是及所圍成的閉區(qū)域，則在柱坐標系下的三次積分是。5設是直線 在與的一段，則=。6設是以為周期的周期函數，在上，它的

4、級數為則=。7冪級數的收斂區(qū)間（不考慮端點收斂性）是。8方程的通解是。9 交換二重積分的積分次序。10微分方程滿足初始條件的特解為。11的麥克勞林級數為。12若，其中：，；，其中： 則。 ；二：求過點且通過直線的平面方程。三：已知，其中均可微，求。四：求函數的極值。五：計算，其中是從到的上半圓周。六：求球面與錐面所圍的包含球心的那部分區(qū)域的體積。七：計算，其中為的下側。八：設可微函數在上滿足，求。九：設，且存在，證明：當時，級數收斂。2006級（下）A卷一 填空 （每小題3分 共15分 ）1 曲面在點的切平面的方程為_。2 設隱函數是由方程確定的，則 。3 設是平面在第一卦限部分，則。4 設周

5、期為，且 ，是的級數的和函數，則_。5 設冪級數在處條件收斂，則冪級數的收斂半徑為 。二 選擇（每小題2分 共10分 ）1 設是平面區(qū)域，則下面說法正確的是（ ）（A ）若在上可微，則的一階偏導在上一定連續(xù)；（B） 若在上一階偏導存在，則在上一定可微；（C） 若在上一階偏導存在，則在上一定連續(xù)；（D） 若在上與均連續(xù)，則。2 下列級數中絕對收斂的級數是 （ ）（A）； （B）; （C）; （D）。3 直線過點且與直線垂直相交，則交點的坐標是（ ）（A） ； （B）； （C）； （D）。4 方程 表示 。 (A) 單葉雙曲面； （B） 雙葉雙曲面 ； （C） 錐面 ； （D） 旋轉拋物面。5 一

6、階微分方程的類型是（ ）（A）全微分方程； （B） 可分離變量方程；（C）齊次方程； （D）一階線性微分方程。三()設是具有二階連續(xù)導數的函數，求。四（）計算，其中是直線及雙曲線所圍區(qū)域。五（）修建一個容積為V的長方體地下倉庫，已知倉頂和墻壁每單位面積造價分別是地面每單位面積造價的3倍和2倍，問如何設計倉庫的長、寬和高，可使它的造價最小。六（）求微分方程的通解。七（）計算 ，其中是由曲面及所圍的空間區(qū)域。八（）求，其中是曲線，取逆時針方向。九(）計算曲面積分，其中是錐面介于之間的部分，而是在處的外法線向量的方向余弦。十（）已知如下命題成立：設是單調減少的正數列，級數收斂當且僅當收斂。請用此命題

7、證明當時發(fā)散，而當時收斂；證明所給的命題。2006級（下）B卷一 填空（每小題3分，共15分）1 設，則。2 方程的滿足的特解為_。3 曲線在點的切線方程為 _。4 冪級數的收斂域為 _。5 設是周期為的函數，且，其級數為 ，則（要計算出結果）。二 選擇（每小題3分，共15分）1 若 且，則必有_。（A）； （B）； （C）； （D）。2 下列命題正確的是（ ）。（A）若發(fā)散,則必有；（B）若收斂,發(fā)散,則必發(fā)散；（C）若部分和數列有界,則必收斂；（D）若絕對收斂,則條件收斂。3 對于，如果在區(qū)域上_，則的全微分存在。（A）存在； （B）連續(xù)且存在；（C）存在且連續(xù)； （D）以上答案都不對。4

8、 設是由球面和所圍的空間區(qū)域，則（A） ； （B）；（C）； （D）。5 方程的特解形式為（A）； （B）；（C）； （D）。三（7 分）求過點且與直線和都平行的平面方程。四（9分）設是具有二階連續(xù)偏導的函數，求。五（9分） 長為的鐵絲分為兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓，問怎樣分才能使正方形與圓的面積和最大？六（9分）將函數展開成的冪級數。七（9分）計算，其中為拋物線與直線所圍的區(qū)域。八（10分）求曲面積分，其中為拋物面 位于部分的上側。九(10分) 設具有二階連續(xù)導數，在整個平面區(qū)域積分與路徑無關，求。十（7分）設在上連續(xù)，利用二重積分證明：2005級（下）A卷一、填空題：(14分) 1

9、 設函數則。2 已知則的夾角為。 3 微分方程的特解形式為。 4 設向量場則。 5 冪級數的收斂半徑為。 6 設以為周期，則的級數在處收斂于。7 是球面在部分，取外側，則。二 （6分）在有界閉區(qū)域上的二元函數一定能取到最（大，小）值嗎？若能，請問 可能在那些點取最值，并給出在上求最值的一般步驟。三 （6分）設平面區(qū)域由曲線與直線所圍成，計算二重積分。四（6分）計算，其中由所圍。五（8分）設曲線：計算第一型曲線積分。六（8分）計算其中是拋物線上從到 的一段弧。七（8分）已知具有二階連續(xù)導數的函數在的偏導數為求在點的二階偏導數。八（8分）求微分方程的特解：。九（8分）過直線作曲面的切平面，求此切平

10、面的方程。十（8分）利用的冪級數展開式，求級數的和。2004級（下）A卷一、填空題：(20分)1曲線在處的法平面方徎為_。2點()到平面的距離為_。3設平面過點.則平面方程為_。4已知,則=_。5交換積分的積分次序為_。6設：則=_ 。7函數, 則。8設函數是以為周期，且()，的級數為，則。9設是以為周期的奇函數，其級數為，則級數= 。10下列四個命題：（1）.若級數發(fā)散，則級數也發(fā)散；（2）.若級數 發(fā)散，則級數也發(fā)散；（3）.若級數收斂，則級數也收斂；（4）.若級數收斂，則級數也收斂。上述正確的命題是_。二（8分）求函數的極值，并指出是極大值，還是極小值。三（8分）求級數的收斂域和它的和函

11、數。四（8分）計算，其中是拋物線上自點到的一段弧。五（8分）計算曲面積分,其中是由錐面 與半球面所圍立體的表面外側。六（10分）求下列方程的通解。1.; 2. 七（8分）兩個物體A、B的形狀如圖（一），體積相等，物體A是由拋物面（）和平面（）所圍。物體B是柱體，它的母線平行于軸，底面是由所圍的平面區(qū)域，求柱體B的高。ajxytnOL八.（5分）設有二階連續(xù)導數，為光滑的簡單閉曲線的外法向量（如圖二），為圍成的區(qū)域，有人利用切向量和外法向量的夾角的關系，以及格林公式，證明了如下結論：。若你認為是正確的，請給出證明過程；若你認為是錯誤的，請推理出正確的結論。九.（5分）證明不等式：。2003級（下

12、）A卷一、 判斷題：（對的劃“”，錯的劃“”，每題1分共14分）1 二元函數f在P點可微，則f在P點連續(xù)。2 二元函數f在P點的偏導數存在，則f在P點可微。3 ，在上可積，則等式 成立。4 若存在，則和一定相等。5 ，其中為兩個向量。6 方向向量的方向余弦為，在的偏導數存在，則。7 三個向量的混合積的絕對值就是以這三個向量為鄰邊的平行六面體的體積。8 兩個向量的向量積就是以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的面積。9 是函數的極值點，則一定是函數的駐點。10 級數收斂，其中，則成立。11 微分方程是二階微分方程。12 是以為周期的連續(xù)的奇函數，則它的傅立葉級數展開式是余弦級數。13 收斂，則級數一定

13、收斂。14 冪級數的收斂域為。二、計算題（1）（每小題4分共8分）1，求： 2. 設是周期為的周期函數，它在區(qū)間上定義為,求的傅立葉級數的和函數。三、計算題（2）（每小題4分共8分）1求。2. 求過點M(1，2，1)且平行于直線的直線方程。四（6分）已知,具有二階連續(xù)偏導數，求五.（6分）把二重積分化為兩種次序（先后、先后）的二次積分，其中由、和所圍。六（8分）計算，其中為從到的順時針方向的上半圓?。?。七（8分）計算，其中為曲面被平面所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐標系的軸正向是向上的）。八（8分） 求微分方程的通解。九（8分）求經過點的所有平面中，哪一個平面與坐標平面所圍成的立體(在

14、第一卦限）的體積為最小，并求其最小值。十（6分）設正項數列 單調減少，且級數發(fā)散，試問：級數是否收斂？并說明理由。2008級（下）A卷一 填空與選擇題(每空3分，共30分)1 ; 2 ; 34 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 二（9分） 解：在直線取點，則已知直線的方向向量為 設所求平面的法線向量與向量 . 所求平面的方程為: 即 三（8分） 解 四 （9分）解：對應齊次方程的特征根為：，故對應齊次方程的通解為：。自由項，不是特征根。所以方程特解為：。代入方程解得，。所以，故方程的通解為：。五 （9分）解 畫出區(qū)域D, 可把D看成是X-型區(qū)域: 0x1, 0y x于是六 （9

15、分）解 附加有向線段：從3到-3 原式 七 （8分）解： 收斂域滿足解出得八（9分） 解：設所求點為，則它到三已知直線的距離分別為，令。得駐點為，此時取極小值，且駐點唯一，從而為最小值，點即為所求九（9分） 解：補充平面取下側，則與圍成空間區(qū)域于是 2008級（下）A卷一：1 ； 2 ； 3 ；4 ； 5 ；6 ； 7 ； 8 ； 9 ；二： 三 ：, 四：的極坐標表示是：，故五：設 取下側，則由高斯公式得 :而.因此。六： 級數是條件收斂的。由于, 令 ，則是單調減少且區(qū)域0的數列,因此交錯級數收斂，另一方面 當時, ,而 ,又發(fā)散,因此 原級數條件收斂。七：方程變形得：，這是齊次方程。令得

16、：，代入方程得：由原方程知，因此，對上式積分，得： 即故方程的通解為：八：設剪成的三段分別為，則圍成的面積之和為，且這是條件極值問題。作函數為 由 得條件駐點，其中 由實際問題有解，而駐點唯一，故問題的解在駐點取得。所求的最小面積為九：下冊207頁。2007級（下）A卷 一：1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 0； 7 ； 8 ；9 ； 10 ；11 ； 12 。二：， ，即。三：四：，令，得駐點：。，故在處取極小值。五：添加：從6到。，六：七：添加：，取上側。八：當時，可分離變量方程，解得，又，當時，故九：取，且，存在，當時， ，故收斂。2006級（下）A卷 答案一 1 ； 2 ；

17、3 ； 4 ； 5 。二 D A B D C三 。四 五 設地面每個單位造價為1，則墻壁和倉頂分別為 2， 3。 設長寬高分別為， 則現(xiàn)在的要求是 ：在約束下的極值?？紤]，則條件極值點滿足以下方程組：由上述方程組可解得：，根據實際情況可知，此時造價最小。六 特征方程為：， 對應的齊次方程的通解為： 設特解為，代入到原方程化簡可得： 原方程的通解為：。 七 由及，得 ，于是 。八 原式，（格林公式）九 原式，取外側，設：，取上側，則而 ，于是 原式。十1 設，則，于是由已知的斂散性與等比數列斂散性一致。因此當時原級數發(fā)散，而當時收斂；2令，當設是單調減少的正數列時，有 由比較判別法，收斂當且僅當

18、收斂，即收斂當且僅當收斂。2006級（下）B卷 答案一1 ； 2 3 ； 4 ； 5 。二 D B C B A.三 兩條直線的方向向量分別是： 于是所求平面的法向量是 因此所求平面的方程為 四 ， 五 設長為的鐵絲用來圍正方形，長為的鐵絲用來圍圓，則其面積和為，約束條件為，設 ，則極值點滿足方程 ， 解得：根據實際情況，可知此時面積和取得最大值。六 七 拋物線與直線的交點為。于是八 設：的下側，為所圍的空間區(qū)域。則由公式可得而 ，于是 原式。九 根據曲線積分與路徑無關的條件可得：這是一個常系數二階非齊次方程，對應得齊次方程得通解為：，設非齊次方程得特解為 ，代入方程可得：比較系數可得 于是齊次方程的通解為：，又得 于是。十 設在上連續(xù)，則在上連續(xù)， 。2005級（下）A卷 答案一 二 一定能取到最值，可能在駐點，不可導點及邊界