線性系統(tǒng)的頻域分析方法

1、自動(dòng)控制原理,A,引言,1)高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行； (2)當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行,用時(shí)域法分析系統(tǒng)的性能比較直觀、準(zhǔn)確，但是求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)往往比較繁雜,1.時(shí)域分析法的缺點(diǎn),頻域分析法是二十世紀(jì)三十年代發(fā)展起來的研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典工程實(shí)用方法。是一種利用頻率特性進(jìn)行控制系統(tǒng)分析的圖解方法，可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì),2.頻域分析法,頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，通過這種內(nèi)在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)求出時(shí)域性能指標(biāo)或反之。因此，頻域分析法與時(shí)域分析法是統(tǒng)一的,頻域分析法的優(yōu)點(diǎn),1)不必求解系統(tǒng)的特征根，采用

2、較為簡(jiǎn)單的圖解法來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而形象直觀且計(jì)算量少。 (2)系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出。頻率特性有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)方法來測(cè)定，這對(duì)于難以列寫微分方程式的元件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義,3)頻域分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)的分析研究，還可以推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng),4)便于系統(tǒng)分析和校正。根據(jù)系統(tǒng)的頻率性能間接地揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，便于分析和校正,2.頻域分析法,第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法,本章主要內(nèi)容： 5.1 頻率特性 5.2 典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻

3、率特性曲線的繪制 5.3 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 5.4 穩(wěn)定裕度 5.5 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo),6,7,第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法,本章要求： 正確理解基本概念； 掌握開環(huán)頻率特性曲線的繪制； 熟練運(yùn)用頻率域穩(wěn)定判據(jù)； 掌握穩(wěn)定裕度的概念； 了解閉環(huán)頻域性能指標(biāo),8,5.1 頻率特性,本節(jié)主要內(nèi)容： 1、頻率特性的基本概念 2、頻率特性的幾何表示,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖,設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,特征方程的根,r(t)=Asint,S1, S2 Sn,輸出響應(yīng) c(t),C(s)=G(s)R(s,一、頻率特性的基本概念,1.頻率特性的定義,將C(s)按部分分式展開,拉氏反變換得,設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S1, S2S

4、n的實(shí)部均小于零,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,求待定系數(shù),同理,代入,A1,系統(tǒng)正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，輸出與輸入的幅值之比為|G(j)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為G(j,系統(tǒng)輸入輸出曲線,r(t,c(t,A,定義,系統(tǒng)的幅頻特性,系統(tǒng)的相頻特性,系統(tǒng)的頻率特性,A() =|G(j),幅頻特性,幅頻特性曲線,幅頻特性,在正弦信號(hào)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比,頻率特性的物理意義： 穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的幅值和相位的變化，這就是頻率特性的物理意義,相頻特性,相頻特性曲線,相頻特性,在正弦信號(hào)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入正弦信號(hào)的相位差,15,右圖為RC濾波網(wǎng)絡(luò)，設(shè)電容C

5、的初始電壓為uo,取輸入信號(hào)為正弦信號(hào) ，曲線如圖所示,當(dāng)響應(yīng)呈穩(wěn)態(tài)時(shí)，可以看出仍為正弦信號(hào)，頻率與輸入信號(hào)相同，幅值較輸入信號(hào)有一定衰減，相位存在一定延遲,A,B,16,其微分方程是,網(wǎng)絡(luò)的傳函,輸出電壓的瞬態(tài)分量,穩(wěn)態(tài)分量,右圖RC網(wǎng)絡(luò)輸入,頻率響應(yīng),17,隨著t趨于無窮大,瞬態(tài)分量趨于零,于是,都是頻率的函數(shù),幅頻特性,相頻特性,18,幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性,頻率特性: 線性定常系統(tǒng)的頻率特性是零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比(頻域,2.介紹幾個(gè)名詞,幅值比：同頻率下輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值 之比。B/A 相位差：同頻率下輸出信號(hào)的相位與輸入信號(hào) 的相位之差,

6、19,幅頻特性：幅值比與頻率之間的關(guān)系,相頻特性：相位差與頻率之間的關(guān)系,幅相特性： 將幅頻和相頻畫到一起,矢量端點(diǎn)的軌跡,20,3.求取頻率特性的方法,實(shí)驗(yàn)法,利用傳遞函數(shù)求頻率特性的方法,系統(tǒng)的頻率特性G(j)可以通過系統(tǒng)的傳 遞函數(shù)G(s)來求取,利用傳遞函數(shù)求,已知系統(tǒng)的方程，輸入正弦函數(shù)求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復(fù)數(shù)比,一般不用,21,例1:設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)為 ，若輸入信號(hào)為： ，試求(1)穩(wěn)態(tài)輸出css(t) (2)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t),解:(1,穩(wěn)態(tài)輸出,22,2,穩(wěn)態(tài)誤差,23,將G(j)寫成復(fù)數(shù)形式,實(shí)頻特性,虛頻特性,幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛

7、頻特性之間的關(guān)系,4.頻率特性的表示法,24,1.幅頻相頻形式: G(j)=|G(j)| G(j) 2.實(shí)頻虛頻形式: G(j)=P()+jQ() 3. 三角函數(shù)形式: G(j)=A()cosj()+jA()sinj() 4.指數(shù)形式: G(j)=A()ej(,頻率特性的表示法,25,由于頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，因而它和傳遞函數(shù)、微分方程一樣，可以表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型,5. 頻率特性與其它數(shù)學(xué)模型的關(guān)系,26,例2：設(shè)傳遞函數(shù)為,微分方程為,頻率特性為,27,頻率特性的極坐標(biāo)圖（幅相圖）/奈魁斯特圖,頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖/伯德圖,頻率特性的對(duì)數(shù)幅相圖/尼柯爾

8、斯圖,二、 頻率特性的幾何表示法,28,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常有三種表達(dá)形式,1.通過頻率特性G(j)的模| G(j)|與相位G(j)在極坐標(biāo)中表示的圖形,稱為極坐標(biāo)圖(Polar plot)或奈魁斯特圖( Nyquist plot),2. 通過半對(duì)數(shù)坐標(biāo)分別表示幅頻特性和相頻特性的圖形,稱為對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(Logarithmic plot)或伯德圖(Bode plot,3. 用伯德圖中的幅頻特性與相頻特性統(tǒng)一繪制成的圖形來表示系統(tǒng)的頻率特性。這種表達(dá)頻率特性的圖形稱為對(duì)數(shù)幅相圖（Log-magnitude-phase diagram）或尼柯爾斯圖(Nichols chart),29,1.極坐標(biāo)圖

9、,當(dāng)：0時(shí)，向量G(j )的幅值|G(j )|和相角j()隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡稱為極坐標(biāo)圖或Nyqusit圖（奈氏圖）。以橫軸為實(shí)軸、縱軸為虛軸,幅相頻率特性曲線（Nyqusit曲線,是的偶函數(shù)， 是的奇函數(shù)， 因此，：0-時(shí)，G(-j)與G(j )關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,G(jw2,G(jw1,30,一般作圖方法,1)手工繪制 取=0和=兩點(diǎn)，必要時(shí)還應(yīng)在0 之間選取一些特殊點(diǎn)，算出這些點(diǎn)處的幅值和相角，然后在幅相平面上作出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線將它們連接起來。 (2)用計(jì)算機(jī)繪制,31,2.伯德圖,對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode曲線,伯德圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線組成

10、，都以頻率為橫軸變量,慣性環(huán)節(jié),32,1)伯德圖的坐標(biāo),橫坐標(biāo)分度,橫坐標(biāo)采用不均勻的對(duì)數(shù)刻度 縱坐標(biāo)采用線性刻度,半對(duì)數(shù)坐標(biāo),線性分度：變量增大1時(shí)，坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度。 對(duì)數(shù)分度：變量增大10倍時(shí)，坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度,33,縱坐標(biāo)分度,對(duì)數(shù)幅頻特性曲線,L()-對(duì)數(shù)幅值,L()=20lgA(,對(duì)數(shù)相頻特性曲線,單位：分貝(dB,單位：度(o)或弧度,以頻率的對(duì)數(shù)值lg 進(jìn)行線性分度，但為了便于觀察仍標(biāo)以的值，因此對(duì) 而言是非線性刻度,Dec(十倍頻程)：每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長(zhǎng)度,34,2)使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn),由于橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)刻度，展寬了低頻段，壓縮了高頻段；頻

11、率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性,縱坐標(biāo)采用L()=20lgA()可以將幅值的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,35,所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示,對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式,36,3)關(guān)于Bode圖的說明,由于橫坐標(biāo)采用的對(duì)數(shù)刻度，所以=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來,橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定,37,本章主要內(nèi)容： 1、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性 2、開環(huán)幅相曲線繪制 3、開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線繪制 4、傳遞函數(shù)的頻率實(shí)驗(yàn)確定,5.2 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系

12、統(tǒng)頻率特性,38,一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是由一系列具有不同傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)所組成,39,G(j)=K,A()=K,0o,1比例環(huán)節(jié),0,K,Re,Im,比例環(huán)節(jié)的奈氏圖,1) 奈氏圖,奈氏圖是實(shí)軸上的K點(diǎn),G(s)=K,傳遞函數(shù)和頻率特性,幅頻特性和相頻特性,起始角，起始點(diǎn)的相位角,40,比例環(huán)節(jié)的伯德圖,對(duì)數(shù)幅頻特性,對(duì)數(shù)相頻特性,2) 伯德圖,20lgK,0,L()/dB,L()=20lg A(,20lgK,0o,K不同時(shí)：幅頻曲線上下平移，相頻曲線不變,41,對(duì)數(shù)幅頻特性 L(w) =20lgK,相頻特性 j (w)=0,比例環(huán)節(jié),K1時(shí),K=1時(shí),K1時(shí),42,2

13、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)和頻率特性,幅頻特性和相頻特性,-tg-1T,1) 奈氏圖,繪制奈氏圖近似方法,根據(jù)幅頻特性和相頻特性求出特殊點(diǎn),然后將它們平滑連接起來,A()=0,-90o,慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖,0,A()=1,0o,取特殊點(diǎn),A()=0.707,-45o,可以證明,慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是以(1/2,jo)為圓心，以1/2為半徑的半圓,43,整理得,證 明,44,傳遞函數(shù),幅頻特性,相頻特性,K,45,2) 伯德圖,1 / T頻段,可用0dB漸近線近似代替,T)21,慣性環(huán)節(jié)的伯德圖,T)21,-20lgT,1 / T頻段，可用-20dB/dec漸近線近似代替,兩條漸近線相交點(diǎn)的頻率為轉(zhuǎn)折頻率 =

14、1 / T,漸近線所產(chǎn)生的最大誤差值為,相頻特性曲線,0,0o,-45o,1/T,-90o,46,傳遞函數(shù),對(duì)數(shù)幅頻特性,相頻特性,漸近線,精確曲線,轉(zhuǎn)折頻率,轉(zhuǎn)折頻率,47,3積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)和頻率特性,幅頻特性和相頻特性,1) 奈氏圖,積分環(huán)節(jié)奈氏圖,-90o,48,2) 伯德圖,對(duì)數(shù)幅頻特性,對(duì)數(shù)相頻特性,積分環(huán)節(jié)的伯德圖,L()=20lgA(,-20lg,-90o,分析： w =1 , L=0 db w =10 , L=-20 db,49,對(duì)數(shù)幅頻特性 L(w) = -20lg w,相頻特性,分析： w =1 , L=0 db w =10 , L=-20 db,50,4微分環(huán)節(jié),傳遞

15、函數(shù)和頻率特性,幅頻特性和相頻特性,1) 奈氏圖,微分環(huán)節(jié)奈氏圖,G(s)=S,G(j)=j,A(),90o,0,51,2) 伯德圖,微分環(huán)節(jié)的伯德圖,對(duì)數(shù)幅頻特性,對(duì)數(shù)相頻特性,L()=20lgA(,20lg,90o,52,53,5一階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)和頻率特性,幅頻特性和相頻特性,G(s)=1+Ts,G(j)=1+jT,tg-1T,1) 奈氏圖,1,0,一階微分環(huán)節(jié)奈氏圖,0,A()=1,0o,A()=,90o,54,轉(zhuǎn)折/交接頻率,高頻漸近線斜率為20dB/Dec,對(duì)數(shù)幅頻特性,相頻特性,低頻漸近線為0dB的水平線,2) 伯德圖,55,對(duì)數(shù)幅頻特性,一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反

16、比 , 所以它們的伯德圖對(duì)稱于橫軸,G(j)=1+jT,56,微分環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),57,二階微分環(huán)節(jié),奈氏圖,58,轉(zhuǎn)折/交接頻率,伯德圖,高頻漸近線斜率為40dB/Dec,對(duì)數(shù)幅頻特性,相頻特性,低頻漸近線為0dB的水平線,59,伯德圖,60,振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)和頻率特性,幅頻特性和相頻特性,61,振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖,1) 奈氏圖,0,A()=1,0o,n,-90o,A()=0,-180o,振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性曲線因值的不同而異,62,2) 伯德圖,對(duì)數(shù)幅頻特性,n,L()20lg1=0dB,n,對(duì)數(shù)相頻特性,0,0o,-90o,n,-180o,轉(zhuǎn)折頻率,n,63,漸近線,振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖,64

17、,從圖可知,當(dāng)較小時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線出現(xiàn)了峰值，稱為諧振峰值Mr，對(duì)應(yīng)的頻率稱為諧振頻率r,00.707,可求得,代入得,精確曲線與漸近線之間存在的誤差與值有關(guān)，過大或過小，誤差都較大，曲線應(yīng)作出修正,65,漸近線誤差,用漸進(jìn)特性近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性存在誤差,誤差曲線為一曲線簇，根據(jù)誤差曲線可以修正漸進(jìn)特性曲線而獲得準(zhǔn)確曲線,66,延遲環(huán)節(jié),延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個(gè)單位圓,1) 奈氏圖,1,0,G(s)=e-s,G(j)=e-j,A()=1,c(t)=1(t-)r(t,67,2）伯德圖,時(shí)滯環(huán)節(jié)的伯德圖,L()=20lg1=0,延遲環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響是造成了相頻特性的明顯變化,68,慣性環(huán)節(jié),一

18、階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié),對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于0dB線對(duì)稱； 對(duì)數(shù)相頻特性曲線關(guān)于0o線對(duì)稱,典型環(huán)節(jié)綜合分析,69,純微分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié),70,振蕩環(huán)節(jié),二階微分,71,常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表,72,對(duì)于最小相位系統(tǒng)而言,幅頻特性和相頻特性 之間有著確定的單值關(guān)系,最小相位傳遞函數(shù)：在復(fù)平面S的右半面既沒有 極點(diǎn)、也沒有零點(diǎn)的開環(huán)傳遞函數(shù),若時(shí),幅頻特性的斜率為-20(n-m)dB/dec, 其中n,m分別為傳遞函數(shù)中分母、分子多項(xiàng)式的 階數(shù),而相角等于-90(n-m),則系統(tǒng)是最小相 位系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)：具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng),具有相同幅頻特性的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相

19、角 變化范圍最小,最小相位系統(tǒng),73,非最小相位環(huán)節(jié),開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有S右半平面上的極點(diǎn)和零點(diǎn)的環(huán)節(jié), 稱為最小相位環(huán)節(jié); 而開環(huán)傳遞函數(shù)中含有S右半平面上的極點(diǎn)或零點(diǎn)的環(huán)節(jié), 則稱為非最小相位環(huán)節(jié),最小相位環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而對(duì)非最小相位環(huán)節(jié)來說，就不存在這種關(guān)系,74,1)比例環(huán)節(jié),2)慣性環(huán)節(jié),3)一階微分環(huán)節(jié),4)振蕩環(huán)節(jié),5)二階微分環(huán)節(jié),除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點(diǎn)的位置,最小相位環(huán)節(jié),非最小相位環(huán)節(jié),75,的幅相曲線 幅相曲線,76,幅相曲線,77,對(duì)數(shù)頻率特性曲線,78,對(duì)數(shù)頻率特性曲線,7

20、9,對(duì)數(shù)頻率特性曲線,80,非最小相位的慣性環(huán)節(jié),最小相位的慣性環(huán)節(jié),其幅頻特性相同，相頻特性符號(hào)相反，幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,舉例分析最小相位環(huán)節(jié)與非最小相位環(huán)節(jié)區(qū)別及聯(lián)系,81,最小相位的慣性環(huán)節(jié),非最小相位的慣性環(huán)節(jié),對(duì)數(shù)幅頻特性曲線相同； 相頻特性曲線關(guān)于0o線對(duì)稱。 這些特點(diǎn)同樣適合于其他最小相位環(huán)節(jié)對(duì),82,二、系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線的繪制,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積,極坐標(biāo)形式,求系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性： 首先計(jì)算=0和=時(shí)開環(huán)頻率特性的幅值 及相角, 然后分析或計(jì)算中間過程，繪制極坐標(biāo)圖,83,1）確定開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn) 和終點(diǎn),繪制奈氏圖的三要素,2）

21、確定開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn) 或 為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸交點(diǎn)為,3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性,84,例1 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= 試?yán)L制其極坐標(biāo)圖,85,例2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= ,試?yán)L制極坐標(biāo)圖,86,例3 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是 G(s)H(s)= 試?yán)L制其極坐標(biāo)圖,87,例4 比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖,每增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后90,若增加個(gè)積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后90,88,例5 比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖,結(jié)論：每增加一個(gè)一階環(huán)節(jié)， 當(dāng)時(shí)，相位應(yīng)滯后90,89,例6：比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖,思考題,90,最小相位系統(tǒng)奈氏圖小結(jié),一

22、般情況,1. 0型系統(tǒng)：無積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，=0,91,2. 1型系統(tǒng)：有一個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，=1,3. 2型系統(tǒng)：有2個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，=2,0時(shí),時(shí),起始幅角與系統(tǒng)型號(hào)有關(guān),n-m=1,n-m=2,n-m=3,終止幅角與n-m個(gè)數(shù)有關(guān),92,4. 0時(shí)的漸近線,平行于虛軸的漸近線,平行于實(shí)軸的漸近線,93,5. 極坐標(biāo)曲線與實(shí)、虛軸的交點(diǎn),求與虛軸的交點(diǎn)，令實(shí)部為0,求與實(shí)軸的交點(diǎn)，令虛部為0,94,例1 某0型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。 解：由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為-900，故該系統(tǒng)開環(huán)幅 相曲線中 起點(diǎn)為： 終點(diǎn)為： 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性,95,令 ，得 ，即

23、系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在 處外與實(shí)軸無交點(diǎn)。 由于 、 可正可負(fù)，故系統(tǒng)幅相曲 線在第和第象限內(nèi) 變化，系統(tǒng)概略開環(huán)幅 相曲線如左圖虛線所示。 由于 ，而非最小 相位比例環(huán)節(jié)的相角恒 為 ，故此時(shí)系統(tǒng)概 略開環(huán)幅相曲線相對(duì)于最小 相位比例環(huán)節(jié)的曲線，繞原 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 而得,96,例2:設(shè)某型系統(tǒng)的開環(huán)傳函為： (K,T1,T20)，試?yán)L制其開環(huán)極坐標(biāo)圖,解,分析,1.w=0時(shí),當(dāng)0時(shí)，G(j)漸近線是一條通過實(shí)軸-K(T1+T2 )，且平行于虛軸的直線,97,2.當(dāng) w時(shí),3.與實(shí)軸的交點(diǎn),令：Q(w) =0,解得,交點(diǎn)為,極坐標(biāo)圖,98,例3 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是 試?yán)L制其極坐標(biāo)圖,99,例4

24、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試 畫出 該系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線,解： n=m,tg-1-tg-1T,1) T,0,A()=K,0o,0,A()K,0o,A()K,0o,T 的奈氏圖,2) T,0,A()=K,0o,0,A()K,0o,A()K,0o,T的奈氏圖,100,例5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。 解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 起點(diǎn)： 終點(diǎn)： 與實(shí)軸的交點(diǎn),101,因?yàn)?從 單調(diào)減至 ，故幅相曲線在第第象限與 第象限間變化。開環(huán)概略幅相曲線如圖所示,102,例1 已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng),的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線,解,1)將式子標(biāo)準(zhǔn)化解,2)畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線,G

25、1(s)=10,20dBdec,3,1,4,2,L()/dB,L1,L3,L2,L4,1,10,0.5,40dB/dec,20dB/dec,G3(s)=0.1S+1,3）將各環(huán)節(jié)的曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線,三、系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性,103,例2,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫bode圖,步驟,1）找交接頻率,2）寫出頻率特性表達(dá)式,交接頻率,104,3）畫漸近特性,105,通過上例可知,根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的低頻段和各轉(zhuǎn)折頻率即可確定系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線,低頻段幅頻特性近似表示為,低頻段曲線的斜率,低頻段曲線的高度,L()20lgK-20lg,20dB/dec,L(1)=20l

26、gK,106,繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的一般步驟和方法,寫出以時(shí)間常數(shù)表示、以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘積形式的系統(tǒng)頻率特性,2)求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,并從小到大依次標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上,3)計(jì)算20lgK 的分貝值,其中K 是系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。 過=1,20lgK 這一點(diǎn),做斜率為-20dB/dec的直線,此即為低頻段的漸近線或其延長(zhǎng)線,其中是開環(huán)系統(tǒng)包含串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù),107,4) 繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的其它漸近線。 從低頻段漸近線開始,從左到右,每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率就按上述規(guī)律改變一次斜率。直到繪出轉(zhuǎn)折頻率最高的環(huán)節(jié)為止； 如有必要再利用誤差曲線修正,得到精確對(duì)數(shù)幅頻特性的光滑曲線,5) 畫

27、出各典型環(huán)節(jié)的相頻特性，疊加后得到開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性曲線,慣性環(huán)節(jié)：-20dB/dec 振蕩環(huán)節(jié)： -40dB/dec 一階微分環(huán)節(jié)：+20dB/dec 二階微分環(huán)節(jié)：+40dB/dec,注意：對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上要標(biāo)明斜率,108,例3 試?yán)L制下列傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖,20db/十倍頻程,40db/十倍頻程,20db/十倍頻程,60db/十倍頻程,例4繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線,解,a.確定轉(zhuǎn)折頻率,1=1,2=2.5,3=5,4=1/0.04=25,b.確定L()起始段的高度和斜率 過=1，L()=20dB點(diǎn)畫斜率為-20dB/dec的直線,109,1,1,2,2.5,3,5,4

28、,25,Kv,20db/十倍頻程,40db/十倍頻程,20db/十倍頻程,40db/十倍頻程,80db/十倍頻程,110,例5:畫出系統(tǒng)的Bode圖,解,將式子標(biāo)準(zhǔn)化,各轉(zhuǎn)折頻率為,1,20dB/dec,20,2,40dB/dec,20dB/dec,40dB/dec,L()/dB,1=1,2=2,3=20,低頻段曲線,20lgK=20lg10=20dB,相頻特性曲線,0,-90o,-180o,111,例6系統(tǒng)開環(huán)傳函為： 試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性,解,1.該系統(tǒng)是II型系統(tǒng),2.低頻漸近線過點(diǎn)(1,20,斜率為： -20=-40dB/dec,112,3.開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性,一階微分,振蕩環(huán)節(jié)

29、,慣性環(huán)節(jié),斜率變化,環(huán)節(jié),20dB/dec,20dB/dec,40dB/dec,113,例8開環(huán)系統(tǒng)傳函為： ， 試畫出該系統(tǒng)的伯德圖,解,1.該系統(tǒng)是1型系統(tǒng),2.低頻漸近線過點(diǎn)(1,20lgK,斜率為：-20=-20dB/dec,3.伯德圖如下,114,例9系統(tǒng)開環(huán)傳函為： ， 試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性,解,1.該系統(tǒng)是0型系統(tǒng),2.低頻漸近線過點(diǎn)(1,20,斜率為： -20=0dB/dec,3.開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如下,115,紅線為漸近線，藍(lán)線為實(shí)際曲線,116,3）繪制低頻段漸近特性線：由于一階環(huán)節(jié)或二階環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù) 幅頻漸近特性曲線在交接頻率前斜率為 ，在交接頻率處斜率發(fā)生變化，故

30、在 頻段內(nèi)，開環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近特性的斜率取決于 ，因而直線斜率為 為獲得低頻漸近線，還需確定該直線上的一點(diǎn)，可以采用以下三種方法： 方法一：在 范圍內(nèi)，任選一點(diǎn) ，計(jì)算 方法二：取頻率為特定值 ，則,2）確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的 軸上,1）開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解,對(duì)數(shù)頻率特性曲線繪制的步驟,117,方法三：取 為特殊值0，則有 ，即 過 在 范圍內(nèi)作斜率為 的直線。顯然，若有 ，則點(diǎn) 位于低頻 漸近特性曲線的延長(zhǎng)線上,4）作 頻段漸近特性線：在頻段 ，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線。每?jī)蓚€(gè)相鄰交接頻率之間為直線，在每個(gè)交接頻率點(diǎn)處，斜率發(fā)生變化

31、，變化規(guī)律取決于該交接頻率對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類，如下表所示,118,注意：當(dāng)系統(tǒng)的多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同交接頻率時(shí)，該交接頻率 點(diǎn)處斜率的變化應(yīng)為各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的斜率變化值的代數(shù)和。 以 的低頻漸近線為起始直線，按交接頻率 由小到大順序和由表確定斜率變化，再逐一繪制直線,119,四、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定,1.頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn),2.傳遞函數(shù)確定,根據(jù)Bode圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增益 K 和的值，轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)等參數(shù),120,1）= 0,低頻漸近線為,系統(tǒng)的伯德圖,20lgK,X,L()=20lgK,即,1）根據(jù)低頻段漸近線或其延長(zhǎng)線在 =1的分貝值，根據(jù)傳函中積分環(huán)節(jié)的不同分別確定開環(huán)增益K

32、,121,低頻段的曲線或其延長(zhǎng)線與橫軸相交點(diǎn)的頻率為0,2）= 1,0,20lgK,L()=20lgK,1,20lgK=20lg0,K=0,系統(tǒng)的伯德圖,因?yàn)?故,122,3）= 2,20lgK=40lg0,K=02,系統(tǒng)的伯德圖,L()=20lgK,1,20lgK,低頻段的曲線與橫軸相交點(diǎn)的頻率為0,0,因?yàn)?故,123,2)確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)； 低頻段斜率為-20dB/dec，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有個(gè)積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為 型系統(tǒng),3)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式； 當(dāng)某處系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此即為某個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,124,0 =3.16,例1 最小相位系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)

33、的傳遞函數(shù),解,對(duì)數(shù)頻率特性曲線,1=0.5,2=2,K= (0)2 =10,125,例2.已知某最小相位系統(tǒng)由頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲得的對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù),1)確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù),1,解,2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù),低頻段的漸近線為-20dB/dec,126,0.1, 20)和(1, 20lgK)都位于-20dB/dec的直線上,K=1,3)確定開環(huán)增益K,127,例3例5-7已知某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)漸進(jìn)特性曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù),1)確定積分環(huán)節(jié)(或微分環(huán)節(jié))的個(gè)數(shù),-1,解,2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù),低頻段的漸近線為+20dB/dec,一個(gè)微分環(huán)節(jié),128,1

34、, 0)和(1, 12)位于+20dB/dec的直線上,1 =3.98,2, 12)和(100, 0)都位于-40dB/dec的直線上,2 =50.1,求1, 2 ,129,K=1,3)確定開環(huán)增益K,20lgK=0,諧振峰值,130,例4 由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖 所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù),0 =3.16,解,由圖可得,20lgMr=3dB,Mr=1.41,得,1=0.92,2=0.38,根據(jù),取,0.38,S2,3.162,由頻率曲線得,G(s),0.25S2+0.38S+1,2S+1,131,例5 已知采用積分控制液位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 和對(duì)數(shù)頻率特性曲線,試求系統(tǒng)的傳 遞函數(shù),解,將測(cè)得

35、的對(duì)數(shù) 曲線近似成漸近線,s),1,S+1,S/4+1,132,5. 頻率域穩(wěn)定判據(jù),本節(jié)主要內(nèi)容： 1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2 、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 3 、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),133,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它是頻率分析法的重要內(nèi)容。 奈氏判據(jù)能夠： 判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定(絕對(duì)穩(wěn)定性)； 確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度(相對(duì)穩(wěn)定性)； 分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑,134,幅角定理,1.點(diǎn)的映射,閉環(huán)特征函數(shù) F(s)=1+G(s)H(s,s,F(s,奈魁斯特判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù) 理論中的映射定理,又稱幅角定理,一、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

36、,135,2.圍線的映射,z1 , z2 zm為F(s)的零點(diǎn) p1 , p2 , pn為F(s)的極點(diǎn),136,1）在s平面上順時(shí)針不包圍F(s)任何零、極點(diǎn)的圍線s ，映射到F(s)平面上的s必不包圍F(s)的坐標(biāo)原點(diǎn),137,2）在s平面上順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)的圍線s，映射到F(s)平面上的s必順時(shí)針包圍F(s)的坐標(biāo)原點(diǎn)一周,逆時(shí)針,極點(diǎn),p0,138,3）s平面上順時(shí)針包圍F(s)的z個(gè)零點(diǎn)（或P個(gè)極點(diǎn)）的圍線s，映射到F(s)平面的s必順（或逆）時(shí)針包圍F(s)的坐標(biāo)原點(diǎn)z(或P）周,如果s平面上的封閉曲線以順時(shí)針方向包圍函數(shù) F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn),則F(s)平面上

37、的映射 曲線相應(yīng)地包圍坐標(biāo)原點(diǎn)N次, = P -Z 若P , N為正值，包圍方向?yàn)槟鏁r(shí)針; 若P , N為負(fù)值，包圍方向?yàn)轫槙r(shí)針。 這種映射關(guān)系,稱為映射定理,一般情況,139,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 F(s)=1+G(s)H(s)=0,代入特征方程,得,其開環(huán)傳遞函數(shù),特征函數(shù),140,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是： 系統(tǒng)特征方程式的根,即F(s)的零點(diǎn),都位 于S平面的左半平面,或者說F(s)的所有零 點(diǎn)都不在S平面的右半平面內(nèi),s包圍了根平面的整個(gè)不穩(wěn)定區(qū)。 稱作奈氏軌跡,開環(huán)傳函中無s=0極點(diǎn),141,F（j）=1+G(j)H(j,G(j)H(j,的映射,的映射,以實(shí)軸為對(duì)稱,142,在

38、s平面上的奈氏軌跡線順時(shí)針包圍F(s)的P個(gè)極點(diǎn)和z個(gè)零點(diǎn)，那么奈氏軌跡線映射到GH平面的GH(j)為逆時(shí)針包圍 (-1，j0)點(diǎn)N 周，且N=P-Z,式中： Z閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的特征根的個(gè)數(shù)； P開環(huán)傳遞函數(shù)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù),二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù),143,關(guān)于奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的說明： P=(即開環(huán)是穩(wěn)定的）, 如果系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的，則Z=0，所以N必為0, 也即開環(huán)頻率特性曲線G(j)不包圍(-1,j 0)點(diǎn)； (2) P0（即開環(huán)不穩(wěn)定）,若使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定則Z=0，所以N=P-Z=P 即開環(huán)頻率特性曲線G(j)逆時(shí)針包圍(-1,j 0)點(diǎn)P周 （3） G(j)通過(-1,j 0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處

39、于臨界穩(wěn)定狀態(tài),144,反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是半閉合曲線GH不穿過(-1,j0)點(diǎn)且逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)的正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)P,奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù),145,例1 試用奈氏判據(jù)分析下面系統(tǒng)的穩(wěn)定性,解:頻率特性,系統(tǒng)的奈氏曲線如圖： 因?yàn)镻=0，N=0， 計(jì)算Z=P-N=0， 所以該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,146,例2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。 G(s)H(s),P=0， N=0 Z=0， 系統(tǒng)穩(wěn)定,147,例3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。 G(s)H(s),P=0，N=-2 Z=P-N=2， 系統(tǒng)不穩(wěn)定,148,開環(huán)傳函中有s=0的極點(diǎn),s,

40、P=0，N= -2 Z=P-N=2， 系統(tǒng)不穩(wěn)定,149,當(dāng)開環(huán)傳函有個(gè)s=0的極點(diǎn)時(shí)，起終點(diǎn)為=0、0的半徑無窮小半圓，映射到GH平面的頻特是從=0起，以無窮大半徑順時(shí)針繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)過180后終止于=0點(diǎn),150,解:開環(huán)頻率特性,幅頻特性和相頻特性,151,a)當(dāng) 時(shí),因?yàn)镻=0,N=0， 所以Z=0， 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定,152,b)當(dāng) 時(shí),系統(tǒng)臨界穩(wěn)定,153,c)當(dāng) 時(shí),因?yàn)镻=0,N=-2， 所以Z=P-N=2， 該系統(tǒng)閉環(huán)是不穩(wěn)定的,154,例5 設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性,解,先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線(型系統(tǒng),映

41、射曲線順時(shí)針包圍(-1, j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1, j0)一圈，所以：N=1-1=0。 P=0 Z=P-N=0 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,155,例6 某型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性,解,先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線(型系統(tǒng),映射曲線順時(shí)針包圍(-1, j0)兩圈，所以：N=-2。 P=0 Z=P-N=2 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,156,對(duì)應(yīng)的曲線為起始點(diǎn) 逆時(shí)針作半徑無窮大、圓心角為 的圓弧，如圖中虛線所示,因?yàn)槟问锨€為由 的范圍變化時(shí)的曲線，因此含有積分環(huán)節(jié)時(shí),注意,157,通常，只畫出=0+的開環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為

42、：Z=P-2N。式中，N為=0+變化時(shí)，開環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù),不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0,包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=-1,158,根據(jù)半閉合曲線 可獲得 包圍原點(diǎn)的圈數(shù)R。設(shè)N為 穿越 點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)， 表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）， 表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則,閉合曲線 包圍原點(diǎn)圈數(shù)R的計(jì)算,159,圖a,圖b,圖c,圖d,D圖中，b點(diǎn)從上向下運(yùn)動(dòng)至實(shí)軸停止為半次正穿越,點(diǎn)A，B為奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，按穿越負(fù)實(shí)軸上 段的方向，分別有,160,若規(guī)定G(j)H(j)曲線沿相角增加的方向，從上往下穿越負(fù)實(shí)軸上(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)為正穿越，正穿越

43、次數(shù)為N+ 。從下往上的穿越為負(fù)穿越，負(fù)穿越次數(shù)為N-。G(j)H (j)曲線起始或終止于負(fù)實(shí)軸上，算作1/2 次穿越。奈氏穩(wěn)定判據(jù)可表述為,161,系統(tǒng)的奈氏圖與伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系,_,G(j) H(j,1, j0,0,_,c,1, j0)點(diǎn),1)奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； (2)奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的-180。相位線； (3)（-1，j0）點(diǎn)左側(cè)對(duì)應(yīng)于伯德圖上L()0的部分,三、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),162,奈氏曲線上的正負(fù)穿越與伯德圖上的正、負(fù)穿越,正穿越-在L()0范圍內(nèi)從下向上穿越 -180。線(相角增加) 負(fù)穿越-在L()0范圍內(nèi)從上向下穿越 -180。線

44、(相角減小,GK(j)對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用正、負(fù)穿越情況來表示,正穿越-逆時(shí)針包圍(-1,j0) 負(fù)穿越-順時(shí)針包圍(-1,j0,163,對(duì)數(shù)相頻曲線 確定 1）開環(huán)系統(tǒng)無虛軸上極點(diǎn)時(shí)， 等于 曲線,2）開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié) 時(shí)，復(fù)數(shù)平面的 曲線，需從 的開環(huán)幅相曲線的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 起，逆時(shí)針補(bǔ)作 半徑為無窮大的虛圓弧。對(duì)應(yīng)地，需從對(duì)數(shù)相頻特性曲線 較小且 的點(diǎn)處向上補(bǔ)作 的虛直線, 曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成,164,對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),設(shè)開環(huán)頻率特性GK(s)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：=0+時(shí)，開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()0的所有頻段內(nèi)，相頻特性對(duì)-180。線的正負(fù)穿

45、越次數(shù)差N =N+-N-=P/2。 閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為：Z =-2N +P ，式中N為正負(fù)穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,165,例1 利用對(duì)數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的開環(huán)傳 遞函數(shù)為 解：作出其開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性，如下張圖所示。 由于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P0，因而該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 充要條件：在 dB的頻域內(nèi)，相頻特性 不 穿越 線，或正、負(fù)穿越數(shù)之差為零。由圖可見 在 的頻域內(nèi) 總大于 ，故閉環(huán)系統(tǒng) 是穩(wěn)定的,166,167,例2 利用對(duì)數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函 數(shù)為 解：作出其開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性，如下張圖所示。 該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有2個(gè)積

46、分環(huán)節(jié),且 時(shí), ，用虛線繪出相頻特性的增補(bǔ) 部分。由圖知 dB的頻段上, 0， 1， R 2，而P 0，則Z2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,168,系 統(tǒng) 伯 德 圖,169,例5-11 已知開環(huán)系統(tǒng)型次 ，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特 性曲線如圖所示，圖中 時(shí)， ，試 確定閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 解 因?yàn)?，需在低頻處 由 曲線向上補(bǔ)作 的 虛直線于 ，如圖所示。 知 ， 按對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 故閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,170,四、條件穩(wěn)定系統(tǒng),若開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)P0，當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)(如開環(huán)增益)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。這種閉環(huán)穩(wěn)定是有條件的系統(tǒng)，稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 若無論開環(huán)傳遞

47、函數(shù)的系數(shù)怎樣變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng),171,本節(jié)主要內(nèi)容： 1、相角裕度和幅值裕度的概念 2 、舉例說明,5. 穩(wěn)定裕度,172,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s),開環(huán)頻特GH(j)距離 (-1，j0)點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度?？珊饬肯到y(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,1，j0)點(diǎn)： 頻率特性的幅值是1，幅角是-180,一、穩(wěn)定裕度,173,頻率特性幅值為1時(shí)的相位與-180的差值,相位裕度,穩(wěn)定裕度在幅相圖上的表示法,幅值為時(shí),開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率,174,c,1,正相位 裕量,G(j,負(fù)相位 裕量,G(j,c, 00 時(shí)曲線包圍（-1，j0）點(diǎn) 系統(tǒng)不穩(wěn)定,00時(shí)曲線不包圍（-1，j0）

48、點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定,175,相位為-180時(shí)頻率特性幅值的倒數(shù),幅值裕度h,開環(huán)傳遞函數(shù)與負(fù)實(shí)軸相交的頻率,176,2.穩(wěn)定裕度在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的表示法,相位裕度,幅值裕度h(db,177,c,正幅值裕量,正相位裕量,x,0,90,180,L()/dB,c,負(fù)幅值裕量,負(fù)相位裕量,x,穩(wěn)定系統(tǒng),不穩(wěn)定系統(tǒng),一般，為確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，描述系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，需要同時(shí)給出幅值裕度和相位裕度兩個(gè)量，缺一不可。 工程上： =30。60。，A()0.5，即L6 dB,178,穩(wěn)定裕度在極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的表示法,179,例1試求一單位反饋控制系統(tǒng),當(dāng)K=10和K =100時(shí),系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度,2、K

49、100 由圖可得系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度分別為 = -25 h= -12db,1、K10 由圖可得系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度分別為 =21 h=8db,20lg2=6db,20lg20=26db,180,輔助計(jì)算(K=10時(shí),相角裕度,幅值裕度,181,例2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),求系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量,解,G(j)H(j,1,G(j,繪制出系統(tǒng)奈氏圖,求曲線與實(shí)軸的交點(diǎn),P()+jQ(,令,Q()=0,得,x =3.16,可得幅值裕量,1,11,令,得,c =0.784,180o+(c,180o-90o-tg-10.78-tg-10.10.78,47.4o,182,例3 某位置控制系統(tǒng)的

50、結(jié)構(gòu)如圖。試?yán)L制 系統(tǒng)開環(huán)的伯德圖，并確定系統(tǒng)的相 位穩(wěn)定裕量,解,繪制出系統(tǒng)伯德圖如圖,183,6.32,20dB/dec,60dB/dec,40dB/dec,L()/dB,由圖用近似計(jì)算式可確定c,c=6.32,180o+(c,180o-90o-tg-10.256.23-tg-10.16.23,90o-57.67o-32.3o= 0.03o,184,例512 已知單位反饋系統(tǒng) 設(shè)K分別為4和10時(shí)，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。 解： 可得 K=4時(shí),185,K=10 時(shí) 分別作出K=4和K=10 的開環(huán)幅相曲線即閉合曲線 ，如圖 所示。由奈氏判據(jù)知： K=4 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定， ； K=10 時(shí)

51、，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，,186,例514 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定系統(tǒng)開環(huán)增益K5和K20時(shí)的相位裕度和幅值裕度。 解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)知，轉(zhuǎn)折頻率為 ， 。 按分段區(qū)間描述方法，寫出對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線的表達(dá)式為,187,188,當(dāng)K5時(shí)，要滿足 ， 只能在區(qū)間1，10， 且 ，則 當(dāng)K=20時(shí)，同理可得 ， ， 。 由前面知 求得,189,可求得當(dāng)K5時(shí)，hL(x) 20lgK/ x26dB； 當(dāng)K20時(shí)，h L(x) 6dB。 繪制K5和K20時(shí)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，如前面圖所示。從 圖中也可概略讀出K5和K20時(shí)的幅值裕度。顯然，當(dāng) K5時(shí)h 0dB, ，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；而當(dāng)K20時(shí)