2024年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

PAGE第1頁共9頁中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“?數(shù)學(xué)周報(bào)?杯〞2024年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題題號(hào)一二三總分1～56～1011121314得分評(píng)卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；3．草稿紙不上交.一、選擇題〔共5小題，每題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分〕1．假設(shè)，那么的值為〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．假設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足，那么a的取值范圍是〔〕．〔A〕a≤〔B〕a≥4〔C〕a≤或a≥4〔D〕≤a≤4〔第3題〕3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，那么AD邊的長(zhǎng)為〔〕．〔第3題〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕4．在一列數(shù)……中，，且當(dāng)k≥2時(shí)，〔取整符號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，〕，那么等于〔〕．(A)1(B)2(C)3(D)4〔第5題〕5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A〔1，1〕，B〔2，－1〕，C〔－2，－1〕，D〔－1，1〕．y軸上一點(diǎn)P〔0，2〕繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，…，那么點(diǎn)P2024的坐標(biāo)是〔〕．〔第5題〕〔A〕〔2024，2〕〔B〕〔2024，〕〔C〕〔2024，〕〔D〕〔0，2〕二、填空題6．a(chǎn)＝－1，那么2a3＋7a2－2a－12的值等于．7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，那么t＝．〔第8題〕8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O〔0，0〕，A〔0，6〕，B〔4，6〕，C〔4，4〕，D〔6，4〕，E〔6，0〕．假設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M〔2，3〕，且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩局部，那么直線l的函數(shù)表達(dá)式是．〔第8題〕〔第9題〕9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．假設(shè)CD＝CF，那么．〔第9題〕10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．假設(shè)的最小值滿足，那么正整數(shù)的最小值為．三、解答題〔共4題，每題20分，共80分〕11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：〔第12A題〕．〔第12A題〕〔第11題〕〔第11題〕〔第12B題〕〔第12B題〕12．如圖，拋物線〔a0〕與雙曲線相交于點(diǎn)A，B.點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔1，4〕，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3〔O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕.〔1〕求實(shí)數(shù)a，b，k的值；〔2〕過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).13．求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.14．從1，2，…，2024這2024個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“?數(shù)學(xué)周報(bào)?杯〞2024年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案1\解：由題設(shè)得．2\解．C因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式≥0,解得a≤或a≥4．3\解：D如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．由可得〔第3題〕BE=AE=，CF＝，DF＝2，〔第3題〕于是EF＝4＋．過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得AD＝．4\解：B由和可得，，，，，，，，……因?yàn)?024=4×502+2，所以=2．5\解：B由可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為〔2，0〕，〔2，〕．記，其中．根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：，，，．令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為〔〕，即〔〕，由于2024=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為〔2024，〕．6\解：0由得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7\解：15設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為〔千米/分〕，并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①，②．③由①②，得，所以，x=30．故〔分〕．8\解：如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N．由得點(diǎn)M〔2，3〕是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩局部．又因?yàn)辄c(diǎn)N〔5，2〕是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N〔5，2〕的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩局部．〔第8題〕于是，直線即為所求的直線．〔第8題〕設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，那么解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．9\解：見題圖，設(shè)．因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以．又因?yàn)镕C＝DC＝AB，所以即，解得，或〔舍去〕．又Rt△∽R(shí)t△，所以，即=．10\解：因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．〔第12B題〕11\證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，〔第12B題〕因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………〔5分〕連接AE，AF，那么〔第11題〕，〔第11題〕所以，△ABC∽△AEF.…………〔10分〕作AH⊥EF，垂足為H，那么AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以.…………〔20分〕〔第12題〕12\解：〔1〕因?yàn)辄c(diǎn)A〔1，4〕在雙曲線上，〔第12題〕所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B〔t，〕，，AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，那么有解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝〔舍去〕．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔，〕．因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線〔a0〕上，所以解得…………〔10分〕〔2〕如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C〔，4〕，于是CO＝4.又BO=2，所以.〔第12題〕設(shè)拋物線〔a0〕與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔，0〕.〔第12題〕因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，所以∠COB=.〔i〕將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為〔4，〕.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)〔8，〕是符合條件的點(diǎn).〔ii〕作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，得到點(diǎn)〔1，〕；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E２〔2，〕是符合條件的點(diǎn)．所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是〔8，〕，或〔2，〕.…………〔20分〕13\解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或.……〔5分〕〔1〕假設(shè)，令，k是正整數(shù)，于是，，故，從而.所以解得…………〔10分〕〔2〕假設(shè)，令，k是正整數(shù).當(dāng)時(shí)，有，，故，從而或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是這不可能.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………〔20分〕14\解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，，，…，〔即1991〕滿足題設(shè)條件.…………〔5分〕另一方面，設(shè)是從1，2，…，2024中取出的