大學(xué)物理：第19章振動

1、1,第4篇 波動與光學(xué),2,第19章 振動 1 簡諧振動的描述 2 簡諧振動的能量 3 阻尼振動與阻尼受迫振動 4 簡諧振動的合成,3,機(jī)械振動： 物體位置在某一值附近來回往復(fù)的變化,等等,1 簡諧振動的描述,廣義振動： 一個(gè)物理量在某一定值附近往復(fù)變化 該物理量的運(yùn)動形式稱振動,物理量,4,簡諧振動,振動的形式,5,重要的振動形式是 簡諧振動(SHV) simple harmonic vibration,物理上：一般運(yùn)動是多個(gè)簡諧振動的合成 數(shù)學(xué)上： 付氏級數(shù) 付氏積分 也可以說， SHV是振動的基本模型 或說，振動的理論建立在SHV的基礎(chǔ)上 注意：以機(jī)械振動為例說明振動的一般性質(zhì),6,一.

2、簡諧振動的判據(jù),表征了系統(tǒng)的能量,位移,振幅,最大位移,由初始條件決定,1.運(yùn)動學(xué)表達(dá)式,廣義：振動的物理量,彈簧諧振子,特征量,7,位相 周相,系統(tǒng)的周期性 固有的性質(zhì) 稱固有頻率,圓頻率,相位,初相位,角頻率,取決于時(shí)間零點(diǎn)的選擇,初位相,8,2. 動力學(xué)方程 以彈簧諧振子為例,設(shè)彈簧原長為坐標(biāo)原點(diǎn),由牛頓第二定律,令,簡諧振動,整理得,9,例1 復(fù)擺（物理擺）的振動,對比諧振動方程知,但若做小幅度擺動 即當(dāng),由轉(zhuǎn)動定律,得,一般情況不是簡諧振動,時(shí),滿足的方程,10,振動的物理量,固有圓頻率,角位移,振動表達(dá)式,11,思考: 1)證明單擺小幅度擺動時(shí)的運(yùn)動是簡諧振動， 并求出振動的頻率。

3、 2）若令一單擺的頻率與本例中的復(fù)擺的頻率 相等，單擺的擺長l應(yīng)為多少？ （此擺長l叫復(fù)擺的等值單擺長,12,例2 電磁震蕩電路,振動的物理量是電量,電流也是諧振物理量,對比,13,1）諧振動表達(dá)式,從對象的運(yùn)動規(guī)律出發(fā) （電學(xué)規(guī)律 力學(xué)規(guī)律等,SHV的標(biāo)準(zhǔn)形式,2）動力學(xué)方程,S H V 的判據(jù),14,二. 簡諧振動的描述,1.解析描述,15,均是作諧振動的物理量,頻率相同,振幅的關(guān)系,相位差,超前 落后,16,2.曲線描述,17,3.旋轉(zhuǎn)矢量描述,用勻速圓周運(yùn)動 幾何地描述 S H V,規(guī)定,端點(diǎn)在x軸上的投影式,逆時(shí)針轉(zhuǎn),以角速度,18,1） 直觀地表達(dá)振動狀態(tài),當(dāng)振動系統(tǒng)確定了振幅以后

4、， 表述振動的關(guān)鍵就是相位，即 表達(dá)式中的余弦函數(shù)的綜量,而旋轉(zhuǎn)矢量圖 可直觀地顯示該綜量,分析解析式,可知,用圖代替了文學(xué)的敘述,19,如 文學(xué)敘述說，t 時(shí)刻彈簧振子質(zhì)點(diǎn) 在正的端點(diǎn),旋矢與軸夾角為零,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運(yùn)動,意味,意味,20,質(zhì)點(diǎn)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動,同樣,注意到,21,向正方向運(yùn)動,或,或,22,由圖看出：速度超前位移,加速度超前速度,稱兩振動同相,2） 方便地比較振動步調(diào),位移與加速度,稱兩振動反相,若,23,3）方便計(jì)算 用熟悉的圓周運(yùn)動代替三角函數(shù)的運(yùn)算 例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和勁度系數(shù)為k的彈簧 組成的彈簧諧振子。 t = 0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)過平衡位置且向正方向

5、運(yùn)動。 求：物體運(yùn)動到負(fù)的二分之一振幅處時(shí) 所用的最短時(shí)間,24,解：設(shè) t 時(shí)刻到達(dá)末態(tài) 由已知畫出t = 0 時(shí)刻的旋矢圖,再畫出末態(tài)的旋矢圖,由題意選藍(lán)實(shí)線所示的位矢 設(shè)始末態(tài)位矢夾角為 因?yàn)?得,繁復(fù)的三角函數(shù)的運(yùn)算用勻速圓周運(yùn)動的一個(gè)運(yùn)動關(guān)系求得,25,2 簡諧振動的能量 如，彈簧諧振子,系統(tǒng)機(jī)械能守恒 以彈簧原長為勢能零點(diǎn),26,1) 普適,2) 時(shí)間平均值,3) 由簡諧振動能量求振動,27,例 勁度系數(shù)為k的輕彈簧掛在質(zhì)量為m， 半徑為R的勻質(zhì)圓柱體的對稱軸上， 使之作無滑動的滾動,證明：圓柱體的質(zhì)心作諧振動 并求出諧振動的角頻率,有時(shí)由諧振動能量求諧振動的特征量會更方便,28,

6、彈簧原長處為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)原點(diǎn)處為勢能零點(diǎn) 質(zhì)心在xc時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能為,解：分析振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒 建坐標(biāo)如圖,注意上式中的是剛體轉(zhuǎn)動的角速度,29,兩邊對t求導(dǎo)數(shù) 得,將,代入上式,得,30,與動力學(xué)方程比較知，物理量xc的 運(yùn)動形式是諧振動,方便,圓頻率,周期,31,3 阻尼振動與阻尼受迫振動 一. 阻尼振動 二 .受迫振動 三.共振,32,一. 阻尼振動 1.阻尼振動 系統(tǒng)在振動過程中 受到粘性阻力作用后 能量將隨時(shí)間逐漸衰減 系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比 比例系數(shù) 叫阻力系數(shù) 關(guān)系式為,33,令,稱阻尼因子,系統(tǒng)固有頻率,2.阻尼振動的動力學(xué)方程,由牛頓第二定律有,整理得,式中,34,如

7、果無阻尼,是諧振動的形式,存在阻尼,仍振動但能量會衰減,如果能振動起來（欠阻尼情況）， 上述方程的解是什么形式呢？ 從物理上考慮,阻尼振動方程為,3.振動表達(dá)式,35,所以，解的形式必定是 在諧振動的基礎(chǔ)上乘上一衰減因子， 即形式為,可以證明,36,37,二 .受迫振動 1.受迫振動 振動系統(tǒng)在外界驅(qū)動力的作用下維持等幅振動 2.受迫振動的動力學(xué)方程 設(shè)驅(qū)動力按余弦規(guī)律變化 即,由牛頓第二定律有,38,整理得,其中,固有頻率,阻尼因子,39,3.穩(wěn)定狀態(tài)的振動表達(dá)式 受迫振動系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí) 應(yīng)做與驅(qū)動力頻率相同的諧振動 其表達(dá)式為,用旋矢法可求出上式的A和,40,41,畫任意時(shí)刻旋矢圖,由旋矢

8、圖可知,得,位移與驅(qū)動力的相位差,42,在弱阻尼即 0的情況下,系統(tǒng)的振動速度和振幅都達(dá)到最大值 共振,當(dāng) = 0時(shí),三.共振,共振現(xiàn)象 普遍 有利有弊,160年前，拿破侖入侵西班牙 橋塌 幾十年后，圣彼德堡卡坦卡河 1940年，美國，橋，大風(fēng)，流速,演示共振,43,小號發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎,44,1940年華盛頓的塔科曼大橋建成,同年7月的一場大風(fēng)引起橋的共振,橋被摧毀,視頻再現(xiàn)橋塌過程,45,4 簡諧振動的合成 一.振動方向相同 振動頻率相同的 兩個(gè)SHV的合成 二.振動方向相同 振動頻率相同 振幅相同 相鄰相位差相同 的N個(gè)SHV的合成 三. 振動方向相同 頻率略有差別的 振幅相等的

9、 兩個(gè)SHV的合成 四. 兩個(gè)垂直方向諧振動的合成 五.諧振分析,46,當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)諧振動時(shí) 就需考慮振動的合成問題 本節(jié)只討論滿足線性疊加的情況 本節(jié)所討論的同頻率的諧振動合成結(jié)果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基礎(chǔ) 本節(jié)所討論的不同頻率的諧振動合成結(jié)果 可以給出重要的實(shí)際應(yīng)用,47,一.振動方向相同 振動頻率相同的 兩個(gè)SHV的合成,結(jié)果： 仍是諧振動 振動頻率仍是,振動的振幅,雙光束干涉的理論基礎(chǔ),48,若,反相，合振動減弱,同相，合振動加強(qiáng),特殊結(jié)果,若,若,兩振動同相 兩振動反相,可能的最強(qiáng)振動 “振動加振動”不振動,49,二. 振動方向相同 振動頻率相同 振幅相同 相鄰相位

10、差相同 的N個(gè)SHV的合成,50,線性相加,用旋矢法求解,由圖得,51,一般情況,特例 1,主極大,2,的倍數(shù)的整數(shù),極小,52,3,次極大,多光束干涉的理論基礎(chǔ),53,例：三個(gè)同頻率 同振幅A0 同方向的SHV 相鄰相位差為 /2 求：合振幅A,解：畫旋矢圖,3,由圖很容易得到 A = 2A0,或?qū)⒁阎獥l件代入公式,得出結(jié)果（請自解,54,三. 振動方向相同 頻率略有差別的 振幅相等的 兩個(gè)SHV的合成 拍 分振動,線性相加,結(jié)論： 合成已不再是諧振動 但考慮到 1 2 可以用 諧振動表達(dá)式等效，加深認(rèn)識,55,分析,則,較,隨時(shí)間變化緩慢,將合成式寫成諧振動形式,56,合振動可看做是振幅緩

11、變的諧振動 合成振動如圖示,表達(dá)式為,57,拍 合振動的周期性的強(qiáng)弱變化叫做拍 拍頻 單位時(shí)間內(nèi)合振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻,測未知頻率的一種方法,由式,得,演示 兩音叉拍,58,四. 兩個(gè)垂直方向諧振動的合成 1. 同頻率的諧振動合成,線性相加,軌跡方程是橢圓,即，合成的一般結(jié)果是橢圓,59,不同，橢圓形狀、旋向也不同,60,例1 用旋矢法作圖,61,a,SHV,b,振動方向旋轉(zhuǎn),c,正橢圓 若,偏振光干涉的理論基礎(chǔ),例2 特殊結(jié)果,圓,62,2.頻率比是簡單的正整數(shù),合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線李薩如圖,例如左圖,應(yīng)用：測定未知頻率,演示垂直合成,63,五.諧振分析,利用付里葉分解，可將任意振動分解成若干SHV的疊加(合成的逆運(yùn)算,對周期性振動,T 周期,k = 1 基頻（,k = 2 二次諧