測量誤差及測量平差

1、第五章 測量誤差的基本知識,測量誤差概述 衡量觀測值精度的指標 誤差傳播定律 等精度觀測直接平差 不等精度觀測直接平差,一、研究測量誤差的目的,第一節(jié) 測量誤差概述,分析測量誤差產生原因、性質和積累的規(guī)律； 正確處理觀測結果，求出最可靠值； 評定測量結果的精度； 通過研究誤差發(fā)生的規(guī)律，為選擇合理的測量方法提供理論依據,第一節(jié) 測量誤差概述,二、誤差產生的原因（觀測條件） 儀器原因 儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。 人的原因 判斷力和分辨率的限制,經驗,等。 外界影響 氣象因素(溫度變化,風,大氣折光,等,三、真誤差（觀測誤差、誤差）： 觀測值與真值之差稱為測量誤差,l-X,觀測值,真值,3

2、.偶然誤差3 在相同的觀測條件下對某量作一系列觀測，其誤差的出現，大小和符號都具有不確定性，但又服從于一定的統計規(guī)律性。 也叫隨機誤差,2.系統誤差2 在相同的觀測條件下對某量作一系列觀測，其誤差的出現，大小、符號保持不變或按一定的規(guī)律變化，如經緯儀豎盤指標差等,四.測量誤差的分類,第一節(jié) 測量誤差概述,1.粗差1 在相同觀測條件下作一系列的觀測，其絕對值超過限差的測量偏差。觀測時的儀器精度達不到要求、技術規(guī)格的設計和觀測程序不合理，以及觀測者粗心大意和儀器故障或技術上的疏忽等,四.測量誤差處理,第一節(jié) 測量誤差概述,1. 粗差 大級量的觀測誤差 盡量避免出現， 含有粗差的觀測值都不能使用 各

3、類測量規(guī)范可有效防止粗差出現,2系統誤差 對系統誤差，通常采用適當的觀測方法或加改正數 來消除或減弱其影響。 例如：在水準測量中采用前后視距相等來消除 視準軸不平行橫軸誤差、地球曲率差和大氣折光差； 在水平角觀測中采用盤左盤右觀測來消除 視準軸誤差、橫軸誤差和照準部偏心差； 在鋼尺量距時，加尺長改正來消除尺長誤差， 加溫度改正來消除溫度影響， 加高差改正來消除鋼尺傾斜的影響等,四.測量誤差處理,第一節(jié) 測量誤差概述,3偶然誤差 原因不固定、 難以控制，既不可避免，又消除不了。但具有規(guī)律性 如估讀誤差、照準誤差、不斷變化的溫度、風力等外界環(huán)境。 對偶然誤差，通常采用多次觀測來減少誤差、提高觀測成

4、果的質量,四.測量誤差處理,第一節(jié) 測量誤差概述,3.偶然誤差,第一節(jié) 測量誤差概述,3.偶然誤差,第一節(jié) 測量誤差概述,偶然誤差的特性,1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值； （有界性） 2、絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多；（趨向性） 3、絕對值相等的正誤差和負誤差出現的機會相等；（對稱性） 4、當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨于零。（抵償性,第一節(jié) 測量誤差概述,3偶然誤差,四.測量誤差處理,第一節(jié) 測量誤差概述,第二節(jié) 衡量觀測值精度的標準,精度：是指在對某一量值的多次觀測中，各個觀測值之間的 離散程度。 若觀測值非常集中，則精度高； 若觀測

5、值非常離散，則精度低。 主要取決于偶然誤差 測量中常用的評定精度標準有： 中誤差 相對誤差 極限誤差,例5-1 對某三角形內角之和觀測了5次，與180相比較其誤差分別為+4、-2、0、-4、+3，求觀測值的中誤差,一.中誤差,i=Li-X,解,例5-2 對某三角形內角和分別由兩組各作了10次等精度觀測，其真誤差如下，求其中誤差，并比較兩組的精度。 第一組：-3，-2，2，4，-1，0，-4，3，2，-3； 第二組：0，1，-7，-2，-1，1，8，0，3，-1。 解,一.中誤差,m1=2.7是第一組觀測值的中誤差； m2=3.6是第二組觀測值的中誤差,一.中誤差,計算結果表明m1m2, 第一組

6、觀測精度高于第二組觀測精度。 不難看出，第一組誤差分布比較集中，而第二組誤差分布比較離散，表明第二組觀測結果不穩(wěn)定，精度比第一組低,中誤差的幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標,一.中誤差,中誤差的幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標,二.相對誤差,相對誤差是中誤差的絕對值與觀測值之比 化成分子為1的分數式,T2T1，所以200m測量精度較高,例：用鋼尺分別丈量了100米及200米兩段距離， 觀測值中誤差均為0.01米，則相對誤差為,二.相對誤差,相對誤差越小，觀測結果越可靠 經緯儀測角時，不能用相對誤差來衡量測角精度,距離測量相對較差,反映往返測量的符合程度，相對較差越小，結果越

7、可靠,三. 極限誤差(容許誤差,偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內的概率為： 大于一倍中誤差的偶然誤差出現的可能性為32% 大于兩倍中誤差的偶然誤差出現的可能性為5% 大于三倍中誤差的偶然誤差出現的可能性為0.3,或 限=3m,如果對某量進行直接觀測，則可由觀測值的真誤差來計算出中誤差，從而判斷觀測成果的質量。 但在實際測量中，有些未知量往往不是直接測量得到的，而是通過觀測其他一些相關的量后間接計算出來的。 各獨立觀測值含有誤差時，則其函數必受其誤差的影響而相應地產生誤差。這種函數誤差的大小除了受到觀測值誤差大小的影響外，也取決于函數關系。 闡述函數中誤差與觀測值中誤差之間關系的定

8、律稱為誤差傳播定律,第三節(jié) 誤差傳播定律 觀測值函數的中誤差,第三節(jié) 誤差傳播定律,一.觀測值的函數,例,高差,平均距離,實地距離,三角邊,和或差函數,線性函數,倍數函數,一般函數,坐標增量,一般函數,設有函數： Z=f（X1，X2，Xn） 式中X1，X2，Xn為獨立變量， X1，X2，Xn中誤差分別為m1，m2，mn， Z的中誤差為,一、一般函數的中誤差,一、一般函數的中誤差,泰勒級數展開,一、一般函數的中誤差,設每項獨立變量觀測了k次,一、一般函數的中誤差,函數中誤差,Z=f（X1，X2，Xn,一、一般函數的中誤差,二、求觀測值函數的中誤差基本步驟,1按問題的要求，列出具體的函數關系式 2

9、對各觀測值求偏導數（或全微分） 3寫出函數中誤差與觀測值中誤差的關系式 4計算相應函數值的中誤差,例5-3 有一長方形建筑物，測得其長為29.40米，寬為9.20米，測量中誤差相應為0.02米和0.01米。求該建筑物的面積及其中誤差。 解：設長為x1,寬為x2，面積為S，則有 S=x1x2=29.409.20=270.48平方米 該建筑物的面積為S=270.480.35平方米,三、幾種觀測值典型函數的中誤差,1、和差函數的中誤差 設有和差函數： 按函數中誤差計算公式，得到,當等精度觀測時： 上式可寫成,Z=x1x2 xn,2、倍數函數的中誤差 設有倍數函數： 按函數中誤差計算公式，得到,mz=

10、kmx,三、幾種觀測值典型函數的中誤差,Z=kx,3、線性函數的中誤差 設有線性函數： 按函數中誤差計算公式，得到,三、幾種觀測值典型函數的中誤差,Z=k1x1+k2x2+knxn,例1：量得某圓形建筑物得直徑D=34.50m,其中誤差 , 求建筑物得圓周長及其中誤差,四、中誤差計算,解：圓周長,四、中誤差計算,四、中誤差計算,例3：用長30m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差為5mm，求全長D及其中誤差,四、中誤差計算,化為弧度,第四節(jié) 測量平差原理,為了進行檢核及提高觀測成果的精度，常采用重復測量。 重復測量會形成多余觀測，在觀測值結果之間產生矛盾，也就是說要產生閉合差。 因此，必須

11、對這些帶有偶然誤差的觀測成果進行數據處理。 采用一定的估計原理處理各種測量數據求測量值和參數的最佳估值并進行精度估計的工作稱為測量平差。 測量平差的基本原理為最小二乘法原理,第四節(jié) 測量平差原理,在相同條件下進行的觀測是等精度觀測，所得到的觀測值稱為等精度觀測值。 不同觀測條件下所獲得的觀測值稱為不等精度觀測值。 對一個未知量的直接觀測值進行平差，稱為直接觀測平差。 等精度直接觀測平差，不等精度直接觀測平差。 平差結果最接近真值，最或是值，最或是誤差,一、算術平均值 在相同觀測條件下，對某一未知量進行n次觀測，其觀測值分別為l1、l2、ln，則算術平均值是該量的最可靠的值,第四節(jié) 等精度觀測的

12、直接平差,最或是誤差,二、觀測值的中誤差,v為觀測值的改正值（最或是誤差,按觀測值的改正值計算觀測值的中誤差的公式,第四節(jié) 等精度觀測的直接平差,三、算術平均值的中誤差,由于是等精度觀測，m1=m2=mn=m，m為觀測值的中誤差，由此得到計算算術平均值的中誤差（最或是值的這些中誤差,第四節(jié) 等精度觀測的直接平差,對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法,例6距離誤差,例5：對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術 平均值 ； 觀測值的中誤差m ； 算術平均值的中誤 差 M ； 算術平均值的相對中誤差,例6：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數據如下， 682

13、530、682536、682524、 682542、682518， 求算術平均值、觀測值的中誤差和算術平均值的中誤差,第四節(jié) 等精度觀測的直接平差,X=682530,m=9,mx=4,增加觀測次數可以提高算術平均值的精度,增加到一定程度精度不再提高， 應設法提高觀測值本身的精度,一、權的概念 權用于非等精度觀測中； 權用于衡量觀測值的質量，觀測值的權表示該觀 測值在這組觀測值中所占的比重。 觀測值的精度越高，其權越大；精度越低，其權越小。 權只有相對意義，只取正值,第五節(jié) 不等精度觀測的直接平差,2.權的表示方法,一般取一次觀測、一測回、單位長度等的測量誤差 作為單位權中誤差,權p=1的中誤差

14、稱為“單位權中誤差”， 通常 用 或 表示，所以權也表示為,式中c為任意正數,權用字母p表示，并定義權 p與中誤差的平方成反比,二.加權平均值,1.加權平均值的計算： 對某一未知量，以不等精度觀測得n個觀測值,其中誤差分別為： 觀測值的權為,上式也稱為加權平均值或廣義算術平均值,則該未知量的最或是值為,計算加權平均值的實用公式,即,二.加權平均值,1.加權平均值中誤差的計算,單位權中誤差,加權平均值中誤差,例7：對某水平角進行了三組觀測，各組分別觀測2，4，6測回 計算該水平角的加權平均值,加權平均值,1 2 402014 4 2 8 2 4 402017 7 4 28 3 6 402020 10 6 60 L0 = 402010 12 96,例8：如圖，從已知水準點A,B,C,D經四條水準路線，測得E點的高程及水準路線長見下表。求E點的最或是值及其中誤差，單位權中誤差,觀測數據,不同精度觀測的數據處理,0,0,0,5.58,9,0.62,1.62,58.767,4,p=2.64 pv