制作管道的數(shù)學(xué)建模

1、.制作管道的數(shù)學(xué)建模一、教學(xué)目標(biāo)：1.通過學(xué)習(xí)探究與實(shí)踐的課題四制作管道為載體讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建模解決問題的過程。2.活用三角知識(shí)解決實(shí)際問題。3.增強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐動(dòng)手能力通過參與問題解決的活動(dòng)，逐步增強(qiáng)合作意識(shí)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)和綜合意識(shí)。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題。難點(diǎn)：數(shù)學(xué)模型的建立。三、教學(xué)過程：展示圖片，解釋課題四在實(shí)際生活中產(chǎn)生的背景，引出問題“大口徑的管道用鋼板卷曲焊接而成，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)鋼板切割方案，標(biāo)出焊縫位置。”學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作：提供給學(xué)生圓柱形物體、可裁成任意寬度紙帶的紙張、剪刀、膠帶。請(qǐng)同學(xué)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)探究。生1：用紙帶纏繞圓柱形物體，用鉛

2、筆在紙帶上做好剪裁記號(hào)，攤開紙帶裁去多余部分。生2：用膠帶包裹好圓柱體模型（無蓋），將圓柱側(cè)面沿膠帶接縫螺旋線剪開。學(xué)生操作后還可以將圓柱一邊在黑板上滾動(dòng)，一邊將其剪開的側(cè)面展開并粘于黑板上，讓大家體會(huì)剛才的操作過程。生3：纏繞一個(gè)長為圓柱高，寬為圓柱底面半周長的矩形。啟發(fā)：空調(diào)是把送風(fēng)管、排冷凝水管、電線包裹纏繞在一起，形狀不一定是圓柱，那會(huì)有什么不同呢？比如纏繞包裹的對(duì)象不是圓柱，而是一個(gè)正三棱柱、正四棱柱、任意直棱柱或者一把直尺呢？紙制的側(cè)面即可以是一個(gè)圓柱的側(cè)面，也可以折成任意等高，等底面周長的任意直棱柱側(cè)面。這樣運(yùn)用拓?fù)渌枷氚蚜讍栴}平幾化，思考起來更為簡(jiǎn)單。（黑色粗線條處為折痕。）

3、實(shí)際使用紙帶的長度為：學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：切割方案主要由一個(gè)角度決定，（裁去直角三角形的一個(gè)銳角或者剪裁為平行四邊形紙帶的一個(gè)內(nèi)角）。紙帶不同或圓柱不同得到的角度也不同。學(xué)生提出問題：進(jìn)一步關(guān)注這個(gè)角度與哪些變量有關(guān)。學(xué)生解決問題： 1、引導(dǎo)學(xué)生建模解決問題：角度的大小與紙帶的寬度、圓柱底面周長有關(guān)。故設(shè)紙帶寬為，圓柱底面半徑為，高為。設(shè)紙帶被裁為平行四邊形后一個(gè)銳內(nèi)角。已知：紙帶寬為，圓柱底面半徑為，高為。求：紙帶被裁為平行四邊形后一個(gè)銳內(nèi)角；所需紙帶的長度。解：如圖所示：，而紙帶被裁為平行四邊形后一個(gè)銳內(nèi)角。圖中為圓柱底面周長，為圓柱螺旋線一個(gè)周期，為包裹一周后被包圓柱的高度。，（詢問學(xué)生如果纏

4、繞完畢非整數(shù)周，該如何所需計(jì)算紙帶長度。）實(shí)際使用紙帶的長度為：2、引發(fā)學(xué)生討論啟發(fā)方式1：老師取出與之前相同的模型沿圓柱母線剪開，提問與剛才的剪開方式對(duì)比能說明什么？啟發(fā)方式2：演示紙帶寬度發(fā)生變化時(shí)，所需紙帶長度的變化情況。學(xué)生想到嘗試另一種計(jì)算紙帶長度方式：從面積出發(fā)。實(shí)際使用膠帶的長度為：3、拓展思考一這樣的問題在實(shí)際生活中很常見，比如用手膠包裹羽毛球拍的握把，安裝空調(diào)時(shí)包裹連接室外掛機(jī)的管道，包在自行車龍頭握把上的防滑膠帶等。有時(shí)僅僅起裝飾作用，要求包裹時(shí)在膠帶間留出等寬的空白條（比如美發(fā)店的旋轉(zhuǎn)燈箱）；有時(shí)為了達(dá)到更好的保護(hù)效果，要求圓柱表面均被兩層膠帶包裹覆蓋（比如包裹連接空調(diào)室

5、外掛機(jī)的管道）。請(qǐng)同學(xué)們按要求設(shè)計(jì)剪裁膠帶的方案，求出所需膠帶的長度。4、拓展思考二我們平時(shí)吃的可愛多冰淇凌它的外包裝是圓錐形的?？梢杂眉垘Юp繞制成嗎？生：不行。將事先制作好的圓錐剪開。那如果允許重疊呢？包裹圓錐的一段比如一個(gè)圓臺(tái)都不可以嗎？那粉筆是接近圓柱的一個(gè)圓臺(tái)可以用紙帶纏繞包裹嗎？生：可以。回顧小結(jié)這堂課我們通過仔細(xì)觀察、動(dòng)手實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)抽象出跟問題相關(guān)的核心變量，并且進(jìn)一步研究他們之間的具體數(shù)量關(guān)系，解決實(shí)際問題。體驗(yàn)了建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題這一過程。課后作業(yè)與思考：1、在物理實(shí)驗(yàn)中，用一根長為9厘米、直徑為1厘米的圓柱形磁棒，在它的外面用一段漆包線纏繞10圈，并使漆包線的兩個(gè)端

6、點(diǎn)落在磁棒的同一母線的兩端。問需要用多長的漆包線纏繞，才能使得漆包線既不會(huì)打結(jié)也不會(huì)松弛？2、某個(gè)山區(qū)為了經(jīng)濟(jì)開發(fā)，要在一座山上修建一條盤山公路，其入口處在山腳下的公路邊，終點(diǎn)是從山頂?shù)缴侥_的連線上的半山腰處，該山的形狀近似一個(gè)圓錐，山坡的長度為千米，沿山腳一圈的長度為千米，問該條道路至少長多少千米？教學(xué)過程詳案：請(qǐng)學(xué)生觀察自來水管、薯片包裝盒的照片。師：圖中的自來水管、薯片盒子是如何制作的。生：用矩形長條的鋼板、硬紙板卷曲纏繞焊接、粘合而成。（學(xué)生如果回答用矩形鋼板直接卷成圓柱側(cè)面。指出實(shí)際制作過程中影響制作工藝的一些原因：厚鋼板越窄越容易卷曲；便于生產(chǎn)線連續(xù)制作；一些物理因素。）把課本上制

7、作大口徑管道的示意圖展示給學(xué)生看。師：如果依此方法制作一根大口徑的自來水管道，我們有什么問題有待解決的？生：如何剪裁切割鋼板？生：需要多長的鋼板？師：卷曲鋼板時(shí)有什么工藝要求嗎？生：鋼板不重疊，緊密連接無間隔縫隙。（把學(xué)生提出的問題歸納后書寫于黑板上，制作工藝要求也寫在黑板上。）（如果學(xué)生提到：水管口徑、鋼板寬度等。指出制作材料、產(chǎn)品都有統(tǒng)一規(guī)格，都已經(jīng)確定的了，否則規(guī)格不一樣安裝水管時(shí)就接不上了。）就像做一件衣服先確定如何剪裁，得出買多少布，然后制作就是了。請(qǐng)學(xué)生2人一組按照工藝要求（不重疊無間隔）動(dòng)手操作探索剪裁方案。請(qǐng)同學(xué)上來示范，或者把學(xué)生剪裁成功的紙帶粘于黑板上。師：要確定剪裁方案，也就是要確定這一刀如何剪，實(shí)際就是要決定這個(gè)角。師：角的大小由哪些因素決定呢？請(qǐng)兩組學(xué)生（每組2人）上來操作。第一組：用不等寬的兩條紙帶纏繞膠水瓶子。第二組：用等寬的紙帶纏繞膠水瓶以及與膠水瓶等高的薯片罐子。把4條紙帶分組粘于黑板上請(qǐng)學(xué)生觀察角與紙帶寬，角與口徑的關(guān)系。繼而發(fā)現(xiàn)：紙帶寬也就是鄰邊，底面周長也就是斜邊。請(qǐng)同學(xué)用剛才的實(shí)驗(yàn)結(jié)果解釋三張照片上焊縫角度的區(qū)別。請(qǐng)同學(xué)觀察