04論文《貝克萊悖論與點態(tài)連續(xù)性概念及有關(guān)問題》

1、論文第04篇：貝克萊悖論與點態(tài)連續(xù)性概念及有關(guān)問題討論微積分的11篇論文第04篇（本文發(fā)表在高等數(shù)學研究2013年第5期上，以原文為準）貝克萊悖論與點態(tài)連續(xù)性概念及有關(guān)問題徐利治（大連理工大學 數(shù)學科學院，遼寧 大連 116024）摘要：貝克萊類型的悖論可由函數(shù)的點態(tài)連續(xù)性概念及正則化賦值所澄清微分學基礎(chǔ)與極限理論無可質(zhì)疑微積分的模式真理性有別于量子物理學的物理學真理性關(guān)鍵詞：微積分；極限；形式悖論；點態(tài)連續(xù)性；模式真理性中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A文章編號：1008-1399(2013)05-0033-03最近看到高等數(shù)學研究2012年第4、5、6期上，有關(guān)討論“微分之謎”的三篇

2、文章，引起我的好奇和興趣，特撰此文，供感興趣者參考1 從貝克萊悖論說起數(shù)學史告訴我們，17世紀60年代至80年代，牛頓與萊布收稿日期：2013-03-01；修改日期：2013-05-20作者簡介：徐利治（1920-），男，江蘇張家港人，教授，從事計算數(shù)學、組合數(shù)學及數(shù)學方法論研究Email：尼茨不約而同地發(fā)明了微積分學早期的微積分學被牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”按流數(shù)術(shù)的算法，一個可微分函數(shù)y=f (x)的導數(shù)(x)=，其中左端差商的算法中，必須假定x0，差商的除法完成后，接著又令x=0，才能獲得(x)當年，牛頓以運動學為背景，利用流數(shù)術(shù)界定并計算瞬時速度及曲線

3、的切線斜率時，常把上述統(tǒng)一算法的結(jié)果稱之為“終極比”(Ultimate ratio)，這表明牛頓的心目中是有“變量趨限”的直覺思想的但當時作為變量數(shù)學的微分學還處于萌芽時期（幼兒時期），還想不到采用抽象層次較高的極限思想及其運作方式來表述所論對象，以致在粗略而濃縮的算法中出現(xiàn)了“x0與x=0”的形式矛盾 18世紀著名的英國主教貝克萊正是抓住了上述形式矛盾在他于1734年出版的分析學家(Analyst)一書中，對微分學導數(shù)概念及其算法的“不合邏輯性”進行了一系列質(zhì)難，其后，人們就把“x0與x=0”（也即“dx0和dx=0”）的形式矛盾稱之為“貝克萊悖論”確實，在常量數(shù)學中，每個量都是一意確定的，

4、假如在同一個代數(shù)等式中相繼出現(xiàn)“x0與x=0”，則就成為荒謬的式子了貝克萊頭腦中根本沒有變量概念，仍以代數(shù)學的觀點看待含有變量的算式，從而提出了上述悖論，自然是不必奇怪的事情了事實上正因為牛頓的流數(shù)術(shù)算法中，未能明確宣示變量觀點，致使貝克萊基于常量數(shù)學的傳統(tǒng)理念，對流數(shù)術(shù)進行全面攻擊，還把“流數(shù)”（即導數(shù)）譏之為“消逝量的鬼魂”看來這真是一種帶有必然性的“數(shù)學歷史現(xiàn)象”，這一現(xiàn)象也說明人類對“變量數(shù)學”的理性建模要經(jīng)歷艱辛過程同樣不必奇怪的一個現(xiàn)象是，有了極限論之后，居然還出現(xiàn)了一個“現(xiàn)代型的貝克萊悖論”，這就是文1與文3中再三論述的一種“悖論”文1，3甚至試圖以此來顛覆極限理論但正如文2短評

5、所指出，文1的論據(jù)是不成立的其實文3的答辯也是無用的，此點且容后文細說“原始的貝克萊悖論”中，“x0”是直接由于x作為除數(shù)(分母)之故，而“現(xiàn)代型貝克萊悖論”中觀察到“x0”的條件蘊含于極限過程“x0”之中，僅從這一點來看，后者似乎要比前者高出一個層次事實上，只要明確了函數(shù)的“點態(tài)連續(xù)性”概念和“正則化賦值”定義，即可看出無論是原始的或現(xiàn)代的貝克萊悖論，其實都不是真正的悖論，它們恰好體現(xiàn)了變量極限過程的本質(zhì)下一節(jié)將闡明這一數(shù)學真理2 貝克萊悖論不是悖論正如人們所知，有了極限論（即建立在實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極限理論）實變函數(shù)就有了在一點處的“躍距”概念和“點態(tài)連續(xù)性”概念如設(shè)函數(shù)y=f (x)在x=0處

6、有左右側(cè)極限f (0-)和f (0+)（可按-語言加以定義，此處從略），即f (x)=f (0-)，f (x)=f (0+)這里可以假設(shè)f (0)原先并無定義，而左右極限之差d=| f (0+)-f (0-)|便稱為緊接0點處的“躍距”對xOy坐標平面上的曲線y=f (x)而言，其幾何意義是十分明顯的如果補充定義f (0) = f (0+)-f (0-)，也即把0點左右側(cè)的極限均值作為 f 在x = 0處的賦值，則就稱 f 在0點處獲得正則化(normalization) 特別地，如果f (0+)=f (0-)=，則可記f (x)=，此時“躍距”為0，可稱之為“點態(tài)連續(xù)性條件”再給出正則化賦值

7、的結(jié)果f (0) =(+)=f (x)，即可見函數(shù)（及曲線）已獲得在x = 0處的“連續(xù)性表征”很明顯，正是根據(jù)函數(shù)極限的存在性所導致的“點態(tài)連續(xù)性條件”以及“正則化”（連續(xù)化）賦值手段而得出了上式，故上式自然具有無可質(zhì)疑的邏輯合理性現(xiàn)在，作為簡例取f (x)=（m為正整數(shù)），并設(shè)函數(shù)在x=0點處原無定義易知函數(shù)在0點處的極限為0，故由“連續(xù)性表征式”立得= 0這其中當然已經(jīng)用到了點態(tài)連續(xù)性條件與連續(xù)化賦值手段特別地，令m=1，將自變量x改記為x，則就得到了文1，3中稱之為“悖論”根源的合理等式（又稱“蛇足”）x= 0再返回到使用極限手續(xù)計算可微函數(shù)的導數(shù)的整個過程（文獻1，3中曾以y=x2為

8、例列出了極限算式）只需認識到差商極限的存在性已蘊含了函數(shù)點態(tài)連續(xù)性條件并保證了正則化（連續(xù)化）賦值的合理性，則就不致于會把極限等式中先后出現(xiàn)的“x0與x=0”的合理現(xiàn)象看成為悖論了 最后要說明的是，雖然文1，3中的思辨性論述（即把極限過程中的變量“x0”與過程完成后對正則化極限賦值時取定的常數(shù)“x=0”混為一談），根本不可能構(gòu)成對極限論的真正沖擊，但是貝克萊型悖論的重復出現(xiàn)，至少表明在大學微積分（或數(shù)學分析）的教學中，有必要花一定時間，或在教材中用一定篇幅，來講述或討論悖論出現(xiàn)的歷史必然性及其在極限論觀點下得以消除的理論根據(jù)3 略談微積分的模式真理性文1首段就說到極限理論存在“三大錯誤”，這里

9、我只想指出其中第3條所謂“與物理實踐不相符合”的說法是有相當?shù)览淼?，并由此?lián)想到微積分的“模式真理性”概念確實有別于物理學真理觀 20世紀50年代，有一位學物理的青年教師朋友對我說，按照量子論，有普朗克（Planck）的最短時間單位和最小長度單位，即10-44 s，10-33 cm，由此他曾提出疑問，按照微分學界定的牛頓瞬時速度概念=是否并無實際意義？的確，小于tp的時間并不存在，故時間變量t0的過程自然是不可能實現(xiàn)的由此類推，因為小于lp長度的線段也不存在，所以物理世界中并不存在數(shù)學上所說的光滑曲線和光滑曲面，當然用導數(shù)計算切線斜率的過程也是不切實際的可是另一方面我們又知道，將微積分學及其發(fā)

10、展起來的諸分支學科應用于解決各類高端科技問題時，卻往往顯示出“不可思議的有效性”，這又怎樣解釋呢？ 后來接受了科學反映論，弄清楚數(shù)學是研究抽象模式的科學，才讓我開始悟通了上述疑問的合理答案 如所知，科學反映論的一個重要觀點是，一般正常人發(fā)育健全的頭腦，簡稱“人腦”，往往具有以“抽象概念形式”反映事物間實在關(guān)系的本能人腦機制的這種本能及其局限性，又決定了理性思維產(chǎn)生的抽象概念必然具有“單相性”（分離性與一意性）、“簡單性”（理想性）與邏輯合理性（可演繹性）所以一般說來，抽象概念形式往往只能是簡略地、定向地反映事物實在關(guān)系的特定方面或某些被分離出來的共性特征，因此其邏輯合理性當然不可能等同于實在關(guān)

11、系所蘊含的現(xiàn)實真理性 因為微積分學是處理變量變化過程與計算方法的理想化模式，它是抽象過程的產(chǎn)物，所以即可用上述觀點來說明其特征與功能正是為了尋求具有簡單性與統(tǒng)一性的有關(guān)變量變化過程的表述與計算方法，才不得不在基礎(chǔ)性的極限論中引入“x0與x”等理想性的抽象概念反過來不妨設(shè)想一下，假如只許可使用物理世界中存在的量子單位如t=tp與x=lp等數(shù)量來處理“變化率問題”，情況將變得如何偏狹而煩瑣顯而易見，正是因為t=0與x=0是對t=tp與x=lp的高精度逼近與近似，所以在含有量子單位的物理問題計算中，如果代之以t0與x0等極限過程，實際上就是對物理計算過程的高精度近似，由此類推，即可理解為什么微積分應

12、用于力學、物理學及技術(shù)科學等實際問題的分析計算時，能有“不可思議的有效性”了極限理論的引入不只是使微積分有了嚴謹合理的邏輯基礎(chǔ)，從而具備了數(shù)學的模式真理性，而且使眾多的變量算法，獲得了統(tǒng)一的簡單形式，成為可操作的數(shù)學工具雖然微積分的模式真理性往往能以高精度的近似性來反映物理世界的現(xiàn)實真理性，但前者畢竟具有本質(zhì)上的局限性例如，維爾斯特拉斯(Weierstrass)提供的“連續(xù)而處處不可微函數(shù)”的例子以及后來出現(xiàn)的眾多例子，其構(gòu)造都不存在于物理世界中它們只是理想化地存在于合理的邏輯框架中事實上，數(shù)學中的一切概念都具有“理想化”性質(zhì)，只是由于和事物的實在關(guān)系存在某種或隱或顯的“對應關(guān)系”，或高精度近

13、似關(guān)系時，才獲得應用的可能性4 結(jié)束語多年前，我曾聞知，讀過分析學家著作的后人們已經(jīng)早有評論，認為該著作中并未發(fā)現(xiàn)有任何形式邏輯上的差錯，只是其觀點與結(jié)論未能反映導數(shù)算法所蘊含的變量極限過程的概念本質(zhì)這一現(xiàn)象有其客觀原因我想，類似的評論也適用于文1，3再者，有關(guān)數(shù)學模式論，已有不少文獻20年前鄭毓信和我合作的著作4中，曾詳細地討論了“模式真理性”問題最后要說的是，多年來高等數(shù)學研究編輯部一直寄贈刊物給我，以至在我現(xiàn)今93歲時，還能有機會從讀刊興趣中，引發(fā)出寫作此文的動機，特在此謹向該刊編輯部諸同志致以誠摯的感謝參考文獻：1師教民論極限理論的微分之謎J高等數(shù)學研究，2012，(15)4：44-4

14、62張景中關(guān)于論極限理論的微分之謎的思考J高等數(shù)學研究，2012，(15)5：223師教民答關(guān)于的思考J高等數(shù)學研究，2012，(15)6：29-304徐利治，鄭毓信數(shù)學模式論M南寧：廣西教育出版社，1993On Berkeleys Paradox, Point-wiseContinuity Concept andRelated QuestiousXU Lizhi（Hsu.L.C） (School of mathematical Science, Dalian University of Technology, Dalian 116024, PRC)Abstract：The reasonable fact that x0 and x=0 occuring, re-spectively, within and after the limit process of x0 for getting the derivative(x), does not create any riddle or paradox as descriled in somepapers. Also re