復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的控制 張玉林,報告提綱,一、控制論二、混沌三、規(guī)則網(wǎng)絡(luò)時空混沌的牽制控制四、無標(biāo)度動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的牽制控制五、一般復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,一、控制論,控制論,1、控制論的發(fā)展2、控制論的主要方法3、控制論的主要特征,控制理論作為一門科學(xué)技術(shù)，已經(jīng)廣泛地運用于我們社會生活的方方面面,洗衣機智能控制,電冰箱溫度控制,標(biāo)志階段,1.1947年控制論的奠基人美國數(shù)學(xué)家韋納（N.Weiner）把控制論引起的自動化同第二次產(chǎn)業(yè)革命聯(lián)系起來，并與1948年出版了控制論關(guān)于在動物和機器中控制與通訊的科學(xué)，書中論述了控制理論的一般方法，推廣了反饋的概念，為控制理論這門學(xué)科奠定了基礎(chǔ),控制論之父韋納,2.我國

2、著名科學(xué)家錢學(xué)森將控制理論應(yīng)用于工程實踐，并與1954年出版了工程控制論,錢學(xué)森,復(fù)雜系統(tǒng)理論：把系統(tǒng)的研究拓廣到開放復(fù)雜巨系統(tǒng)的范 籌，以解決復(fù)雜系統(tǒng)的控制為目標(biāo),回顧控制理論的發(fā)展歷程可以看出，它的發(fā)展過程反映了人類由機械化時代進入電氣化時代，并走向自動化、信息化、智能化時代,復(fù)雜航天器控制,控制論的三個基本部分 1.信息論。主要是關(guān)于各種通路（包括機器、生物機體）中信息的加工傳遞和貯存的統(tǒng)計理論。 2.自動控制系統(tǒng)的理論。主要是反饋論，包括從功能的觀點對機器和物體中（神經(jīng)系統(tǒng)、內(nèi)分泌及其他系統(tǒng)）的調(diào)節(jié)和控制的一般規(guī)律的研究。 3.自動快速電子計算機的理論。即與人類思維過程相似的自動組織邏

3、過程的理論,控制論的四個特征 第一個特征，是要有一個預(yù)定的穩(wěn)定狀態(tài)或平衡狀態(tài)。例如在上述的度控制系統(tǒng)中，速度的給定值就是預(yù)定的穩(wěn)定狀態(tài)。 第二個特征，是從外部環(huán)境到系統(tǒng)內(nèi)部有一種信息的傳遞。例如，在度控制系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速的變化引起的離心力的變化，就是一種從外部傳遞到統(tǒng)內(nèi)部的信息。 第三個特征，是這種系統(tǒng)具有一種專門設(shè)計用來校正行動的裝置。例如速度控制系統(tǒng)中通過調(diào)速器旋轉(zhuǎn)桿張開的角度控制蒸汽機的進汽閥門升降裝置。 第四個特征，是這種系統(tǒng)為了在不斷變化的環(huán)境中維持自身的穩(wěn)定，內(nèi)部都具有自動調(diào)節(jié)的機制，換言之，控制系統(tǒng)都是一種動態(tài)系統(tǒng),反饋控制系統(tǒng) 基于反饋原理建立的自動控制系統(tǒng)。所謂反饋原理，就是根據(jù)

4、系統(tǒng)輸出變化的信息來進行控制，即通過比較系統(tǒng)行為（輸出）與期望行為之間的偏差，并消除偏差以獲得預(yù)期的系統(tǒng)性能。在反饋控制系統(tǒng)中，既存在由輸入到輸出的信號前向通路，也包含從輸出端到輸入端的信號反饋通路，兩者組成一個閉合的回路。因此，反饋控制系統(tǒng)又稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)。反饋控制是自動控制的主要形式。在工程上常把在運行中使輸出量和期望值保持一致的反饋控制系統(tǒng)稱為自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)，而把用來精確地跟隨或復(fù)現(xiàn)某種過程的反饋控制系統(tǒng)稱為伺服系統(tǒng)或隨動系統(tǒng),反饋控制系統(tǒng) 反饋控制系統(tǒng)包括：（一）負(fù)反饋（negative feedback）：凡反饋信息的作用與控制信息的作用方向相反，對控制部分的活動起制約或糾正作用的，

5、稱為負(fù)反饋1. 意義：維持穩(wěn)態(tài)2. 缺點：滯后、波動（二）正反饋（positive feedback ）：凡反饋信息的作用與控制信息的作用方向相同，對控制部分的活動起增強作用的，稱為正反饋意義：加速生理過程，使機體活動發(fā)揮最大效應(yīng)。反饋控制系統(tǒng)由控制器、受控對象和反饋通路組成。在反饋控制系統(tǒng)中，不管出于什么原因（外部擾動或系統(tǒng)內(nèi)部變化），只要被控制量偏離規(guī)定值，就會產(chǎn)生相應(yīng)的控制作用去消除偏差。因此，它具有抑制干擾的能力，對元件特性變化不敏感，并能改善系統(tǒng)的響應(yīng)特性,二、混沌,混沌的產(chǎn)生,混沌的產(chǎn)生(續(xù),混沌的產(chǎn)生(續(xù),奇異吸引子,湍 流(turbulence,復(fù)雜、不規(guī)則、貌似游走無常的流體

6、運動。 例如：水流的漩渦； 以前的理論解釋：模態(tài)（modes）周期運動。 當(dāng)流體受到外力的作用時，一定數(shù)目的模態(tài)就被激發(fā)出來； 沒有模態(tài)被激發(fā)，流體就處于定常狀態(tài)； 如果單一模態(tài)被激發(fā)，就是周期振蕩； 如果幾個模態(tài)被激發(fā)，流動變得不規(guī)則； 許多模態(tài)被激發(fā)時，就是湍流,混沌的定義,設(shè)V為一個集合,f:V V稱為在V上是混沌的,如果: f 對初始條件的敏感依賴性; f 是拓?fù)鋫鬟f的; 周期點在V中是稠密的,煙頭燃燒，沒有 任何外力的情況下，煙會自動分解。 在什么時候分解？ 什么原因分解？ 分解時刻是否可以預(yù)測,一維邏輯斯蒂映射,映射(mapping)也叫迭代(iteration) xn+1=2xn

7、，若x1=3 ,則x2=6，x3=12。 從控制系統(tǒng)的角度看，這也叫反饋(feedback)，把輸出當(dāng)作輸入，不斷滾動。很容易想到，反饋的結(jié)果有若干種： 發(fā)散的、收斂的、周期的等等。 但是我們要問一下，一共有多少種可能的運動類型?是否存在既不收斂也不發(fā)散，也不周期循環(huán)的迭代過程,這就是有界非周期運動，它與混沌有關(guān),邏輯斯蒂映射的形式為 其中a是參數(shù)，取值范圍是-2,4，通常人們只注意0,4這一半，其實另一半 -2,0也一樣有趣。x的取值為0,1。映射的不動點是指滿足關(guān)系=a(1- )的相點,解得_1=0,_2=1-1/a。設(shè)映射用 f 表示，f 的2次迭代記作f 2，3次迭代記作f 3，等等

8、。注意，這種記法不表示乘方關(guān)系。f 的不動點也叫f 的周期1點。f 2的不動點實際上是f 的周期2點。同理f n的不動點與f 的周期n點是一回事,映射f 的周期m點的穩(wěn)定性由乘子 完全決定。映射f 的周期點(包括不動點，它為周期1點)的穩(wěn)定性可具體定義為： 1，吸引，穩(wěn)定；1，排斥，不穩(wěn)定；=1，中性；=0，超穩(wěn)定,以參數(shù)a為橫坐標(biāo)、以x的穩(wěn)定定態(tài)(stable steady states)為縱坐標(biāo)作圖， 得到1、圖2等。從圖中可以看出開始是周期加倍分岔(也稱周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌區(qū)中又有周期窗口。窗口放大后又可見到同樣結(jié)構(gòu)的一套東西。此 所謂無窮自相似結(jié)構(gòu),在洛斯阿拉莫

9、斯國立實驗室任職的費根鮑姆在研究周期倍化過程中，發(fā)現(xiàn)相鄰分岔間距之 比收斂到一個不變的常數(shù)： 不僅僅對于邏輯斯蒂映射有這個常數(shù)，對于一維“單峰”映射，都能算出同一個常數(shù) 來。 的含義是什么？意義何在,混沌,混沌可以說他是確定性的行為； 或者，若考慮他出現(xiàn)在稍微有點隨機性的實際系統(tǒng)中，也可以說他是近似與確定性的，然而卻不是看起來像確定性的。 在某些動力系統(tǒng)中，兩個幾乎一致的狀態(tài)經(jīng)過充分長的時間后會變得毫無一致性,混沌可以理解為貌似隨機的確定性,三、規(guī)則網(wǎng)絡(luò)時空混沌的牽制控制,牽制控制的原始基本思想: 希望能夠僅對網(wǎng)絡(luò)中的一部分節(jié)點直接施加常數(shù)輸入控制而達(dá)到有效抑制整個網(wǎng)絡(luò)的時空混沌行為的目的.早

10、期的工作包括由胡崗等人對由L 個節(jié)點組成的一維離散時間最近鄰耦合映像格子所做的探索,未控制的狀態(tài)方程為,牽制控制基本問題 一.可行性問題. 二.有效性問題,牽制控制的可行性問題,參考文獻(xiàn) 1.Wang X F, Chen G R. Pinning control of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium. IEEE Transactions on

11、Circuits and Systems I, 2004,這方面的研究目前主要集中在對部分節(jié)點施加線性反饋而使得整個動態(tài)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定在期望的同步狀態(tài). 在理論方面已經(jīng)清楚的是, 只要網(wǎng)絡(luò)的耦合強度和反饋控制增益合適, 那么只需控制部分節(jié)點就能夠?qū)崿F(xiàn)控制目標(biāo),有效性問題 即如何選取受控節(jié)點才能使得達(dá)到控制目標(biāo)所花的代價盡可能小.這里的代價包括所需直接控制的節(jié)點數(shù)量、網(wǎng)絡(luò)耦合強度和反饋控制增益幅值等. 已有的研究表明, 利用網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦?有選擇地對網(wǎng)絡(luò)中少量關(guān)鍵節(jié)點直接施加控制要比隨機選擇部分節(jié)點加以控制具有明顯優(yōu)勢. 參考文獻(xiàn) 1.Wang X F, Chen G R. Pinning contr

12、ol of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium. IEEE Transactions onCircuits and Systems I, 2004,為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,表示映像格子的空間坐標(biāo),表示耦合強度,表示局域動力學(xué),胡崗等對有L個節(jié)點組成的一維離散時間最近鄰耦合印象格子,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,受控制的狀態(tài)方程為,其中I 是相鄰

13、的兩個被牽制控制節(jié)點之間的距離. L=I 為被牽制節(jié)點的個數(shù),當(dāng)j = 0時,否則,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,gn是用來控制所牽制節(jié)點的反饋控制器.由于最初考慮的是常數(shù)輸入,所以這種控制稱為牽制控制.后來人們做了適當(dāng)推廣,輸入已不再限于常數(shù). 在這個耦合映像格子中,一共有L/I 個節(jié)點被直接施加了牽制控制.只有對足夠多的節(jié)點施加牽制控制才能有效地控制時空混沌,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,Parekh等人針對離散時間耦合映像格子使用了下面的牽制控制方法,其中,是第n個時刻對i節(jié)點的牽制強度,當(dāng)j = 0時,否則,Parekh研究發(fā)現(xiàn)： 只有對網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都施加牽制控制,才能將耦合映像格

14、子中的時空混沌穩(wěn)定到平衡狀態(tài). 比較施加牽制控制的節(jié)點的不同分布,發(fā)現(xiàn)可以通過均勻或隨機分布牽制控制節(jié)點來達(dá)到全局控制時空混沌的效果. 因此, 牽制控制的強度和控制器分布的密度都決定了耦合映像格子中時空混沌控制的有效性,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,Parekh 和Sinha 后來又進一步將耦合映像格子的時空混沌控制拓展到了反控制(anticontrol)16, 即通過牽制控制, 使得耦合映像格子由非混沌狀態(tài)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài), 或者將耦合映像格子中比較弱的混沌進一步增強. 有關(guān)混沌反控制(反饋混沌化) 的詳細(xì)論述參見專著17,參考文獻(xiàn) 16.Parekh N, Sinha S. Controlling sp

15、atio temporal dynamics in excitable systems. SFI Working Paper, 2000 17.陳關(guān)榮, 汪小帆. 動力系統(tǒng)的混沌化. 上海：上海交通大學(xué)出版社, 2006,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,牽制控制的思想同樣被用于連續(xù)時間系統(tǒng). 考慮如下描述的連續(xù)時間最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò),規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,式中r為控制參數(shù). 假設(shè)只對一個節(jié)點施加牽制控制, 也就是說, 對于N 個(節(jié)點編號為0,1,2,N) 滿足循環(huán)邊界條件的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò),只對節(jié)點0施加負(fù)反饋控制.通過分析特征值穩(wěn)定域和Lyapunov指數(shù)發(fā)現(xiàn): 當(dāng)r = 0 時, 只通過牽制控制一個節(jié)點來控

16、制整個網(wǎng)絡(luò)是不可能的.顯然r 的存在所代表的耦合連接影響了牽制控制器的效率. 當(dāng)r 達(dá)到一定值時, 此時網(wǎng)絡(luò)間的相鄰局部耦合已經(jīng)到達(dá)了一定的密度, 于是只控制一個節(jié)點就能夠?qū)⒄麄€網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定住,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,報告提綱,四、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,設(shè)連續(xù)時間耗散耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò)有N個節(jié)點， 為 第i個節(jié)點的狀態(tài)變量,在存在耦合作用下第i個節(jié)點所滿足的狀態(tài)方程是,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,上式中ki 為節(jié)點i 的度. 假設(shè)網(wǎng)絡(luò)是連通的, 那么耦合矩陣A是一個對稱且不可約矩陣,它有一個重 數(shù)為1的零特征根, 而其余特征根均為負(fù)實數(shù),無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,假設(shè)網(wǎng)絡(luò)是連通的,那么耦合矩陣A

17、是一個對稱且不可約矩陣,它有一個重數(shù)為1的零特征根, 而其余特征根均為負(fù)實數(shù)。 為了將動態(tài)網(wǎng)絡(luò)控制到如下定義的平衡點 希望對占網(wǎng)絡(luò)節(jié)點總數(shù)的比例為 的小部分節(jié)點實施牽制控制.這里假設(shè)選擇節(jié)點i1， i2，il作為被牽制控制的節(jié)點, 這里l= 的整數(shù)部分,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,被牽制控制的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程可以寫為,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,這里對被牽制控制的節(jié)點所施加的是線性狀態(tài)反饋控制,d 0是反饋增益,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,將上方程在由定義的平衡點 處線形化，可以得到方程,其中 是f(x)在x處的Jacobi矩陣B=AD, D =diag(d1,d2, dN), 其中當(dāng) 時,控制增益dik = d,

18、 而 時di = 0,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,這里對被牽制控制的節(jié)點所施加的是線性狀態(tài)反饋控制,d 0是反饋增益.基于線性化方法推知, 當(dāng)存在一個常數(shù) 使得 是Hurwitz穩(wěn)定矩陣時,只要耦合強度滿足下面的條件 動態(tài)網(wǎng)絡(luò)就可以被牽制控制到平衡點,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特點是少數(shù)節(jié)點具有相對很高的度而大部分節(jié)點的度相對很低. 對其一般采用兩種不同的牽制策略： 一種是隨機牽制(random pinning), 即在網(wǎng)絡(luò)中隨機地選擇若干個節(jié)點施加牽制控制； 另一種是特定牽制(specific pinning), 即依次選擇網(wǎng)絡(luò)中度最大的若干節(jié)點施加牽制控制,二、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特點是少數(shù)節(jié)點

19、具有相對很高的度而大部分節(jié)點的度相對很低. 對其一般采用兩種不同的牽制策略： 一種是隨機牽制(random pinning), 即在網(wǎng)絡(luò)中隨機地選擇若干個節(jié)點施加牽制控制； 另一種是特定牽制(specific pinning), 即依次選擇網(wǎng)絡(luò)中度最大的若干節(jié)點施加牽制控制,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,無標(biāo)度動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的特定控制的有效性可以從以下兩個方面來理解: 在其它參數(shù)都相同的情況下, 為達(dá)到控制目標(biāo), 只控制那些度很大的節(jié)點所需要控制的節(jié)點個數(shù), 比隨機牽制所需要控制的節(jié)點個數(shù)可能要少很多. 如果選取數(shù)目相同的節(jié)點數(shù)加以控制, 那么為達(dá)到控制目標(biāo), 特定牽制策略所需要的最小耦合強度可能比隨機牽制策略所需要的最小耦合強度小很多,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制,牽制控制陳無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)到不平衡穩(wěn)定點,這一小節(jié)通過介紹牽制控制陳無標(biāo)度動態(tài)