高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)列的綜合應(yīng)用 理

1、第2講數(shù)列的綜合應(yīng)用,高考定位高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1)通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形后，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問(wèn)題；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和的基本的幾種方法；(3)數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題.題型一般為解答題，且為壓軸題,真 題 感 悟,考 點(diǎn) 整 合 1.數(shù)列求和的常用方法 (1)公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解. (2)倒序相加法：適用于與首、末等距離的兩項(xiàng)之和等于首、末兩項(xiàng)之和，且和為常數(shù)的數(shù)列.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，要把握數(shù)列通項(xiàng)公式的基本特征，即通過(guò)倒序相加可以得到一個(gè)常數(shù)列，或者等差數(shù)列、等比數(shù)列

2、，從而轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列的求和方法，這也是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn),5)拆項(xiàng)分組法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))，再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和. (6)并項(xiàng)求和法：與拆項(xiàng)分組相反，并項(xiàng)求和是把數(shù)列的兩項(xiàng)(或多項(xiàng))組合在一起，重新構(gòu)成一個(gè)數(shù)列再求和，一般適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和，注意對(duì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)奇偶性的討論,熱點(diǎn)一有關(guān)數(shù)列中計(jì)算的綜合問(wèn)題,例1】 (2011江蘇卷)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)的和為Sn，已知對(duì)任意的整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)nk時(shí)，SnkSnk2(SnSk)都成立. (1)設(shè)M1，a22，求a5的值； (2)設(shè)M3，4，求數(shù)列an的

3、通項(xiàng)公式,解(1)由題設(shè)知，當(dāng)n2時(shí)，Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1，從而an1an2a12.又a22，故當(dāng)n2時(shí)，ana22(n2)2n2.所以a5的值為8. (2)由題設(shè)知，當(dāng)kM3，4且nk時(shí)，SnkSnk2Sn2Sk且Sn1kSn1k2Sn12Sk，兩式相減得an1kan1k2an1，即an1kan1an1an1k，所以當(dāng)n8時(shí)，an6，an3，an，an3，an6成等差數(shù)列，且an6，an2，an2，an6也成等差數(shù)列. 從而當(dāng)n8時(shí)，2anan3an3an6an6，(*)且an6an6an2an2.所以當(dāng)n8時(shí)，2anan2an2，即an2anan

4、 an2.于是當(dāng)n9時(shí)，an3，an1，an1，an3成等差數(shù)列，從而 an3an3an1an1，故由(*)式知2anan1an1，即an1ananan1.當(dāng)n9時(shí)，設(shè)danan1,探究提高此類問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，實(shí)際復(fù)雜，思維量和計(jì)算量較大，難度較高,熱點(diǎn)二有關(guān)數(shù)列中證明的綜合問(wèn)題,探究提高不等式證明是數(shù)列問(wèn)題中的常見題型，一般方法是利用不等式證明的常規(guī)方法，如綜合法、分析法等直接證明方法，也可以應(yīng)用反證法等間接證明方法,訓(xùn)練2】 (2014江蘇卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱an是“H數(shù)列”. (1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n(nN*)，證

5、明：an是“H數(shù)列”； (2)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a11，公差d0.若an是“H數(shù)列”，求d的值； (3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列an，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立,熱點(diǎn)三數(shù)列中的探索性問(wèn)題,探究提高數(shù)列中的比較大小與其它比較大小的方法類似，也是差比法或商比法.另外探索充要條件要從充分性、必要性兩個(gè)方面判斷與尋找,1.數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題 (1)如果是證明不等式，常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問(wèn)題，同時(shí)要注意比較法、放縮法、基本不等式的應(yīng)用； (2)如果是解不等式，注意因式分解的應(yīng)用. 2.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題 (1)函數(shù)條件的轉(zhuǎn)化：直接利用函數(shù)與數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把函數(shù)解析式中的自變量x換為n即可. (2)數(shù)列向函數(shù)的轉(zhuǎn)化：可將數(shù)列中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，但要注意函數(shù)定義域,3.數(shù)列中的探索性問(wèn)題 處理探索性問(wèn)題的一般方法是：假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或其中的一部分結(jié)論成立