(2015-2017)三年高考真題精編解析一專題17 橢圓及其綜合應(yīng)用

1、.1.【2017浙江，2】橢圓的離心率是ABCD【答案】B【解析】試題分析：，選B2.【2017課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（ab0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為ABCD【答案】A【解析】試題分析：以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即：，整理可得，即，從而，橢圓的離心率，故選A.【考點(diǎn)】橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式e；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a

2、，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).3.【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m1)與雙曲線C2：y2=1(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e2b0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).【解析】試

3、題分析：（1）根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過，兩點(diǎn).另外知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，在設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直，通過計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)設(shè)l：（），將代入，寫出判別式，韋達(dá)定理，表示出，根據(jù)列出等式表示出和的關(guān)系，判斷出直線恒過定點(diǎn).試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.

4、即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，欲使l：，即，所以l過定點(diǎn)（2，）【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.8.【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。【答案】(1) 。(2)證明略?！窘馕觥吭囶}分析：(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用得到點(diǎn)P與點(diǎn),M坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求得軌跡方程為。(2)利用可得坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合(1)中的結(jié)論整理可得，即，據(jù)此即可得出題中的結(jié)論。試題解析：（1）設(shè),設(shè), 。由得。因?yàn)樵贑上，所以。因此點(diǎn)P的軌跡方程為。（2）由題意

5、知。設(shè),則，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F?！究键c(diǎn)】軌跡方程的求解；直線過定點(diǎn)問題。9.【2017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（）求橢圓的方程；（）如圖，動直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.【答案】（I）.（）的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.【解析】試題分析：（I）本小題由，確定即得.（）通過聯(lián)立方程組化簡得到一元二次方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，應(yīng)用弦長公式確定及圓的半

6、徑表達(dá)式.試題解析：（I）由題意知，所以，因此橢圓的方程為.（）設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知，且，所以.由題意可知圓的半徑為由題設(shè)知，所以因此直線的方程為.聯(lián)立方程得，因此.由題意可知，而，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，所以，因此，所以最大值為.綜上所述：的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.【考點(diǎn)】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).10.【2017天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異

7、于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.【答案】（1），.（2），或.【解析】試題分析：由于為拋物線焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出所在直線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程.試題解析：（）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，解得，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為

8、，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.【考點(diǎn)】直線與橢圓綜合問題11.【2017江蘇，17】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, ,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線,過點(diǎn)作直線的垂線.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的交點(diǎn)在橢圓上,求點(diǎn)的坐標(biāo).F1OF2xy(第17題)【答案】（1）（2）【解析】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c. 因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由（1）知，.設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，故.當(dāng)時，與相交于，與題設(shè)不符.當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為

9、.因?yàn)椋灾本€的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：，直線的方程：. 由，解得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對稱性，得，即或.又在橢圓E上，故.由，解得；，無解.因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.12.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（）（）（II）【解析】試題分析：根據(jù)可知軌跡為橢圓,利用橢圓定義求方程；（II

10、）分斜率是否存在設(shè)出直線方程,當(dāng)直線斜率存在時設(shè)其方程為,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式把面積表示為x斜率k的函數(shù),再求最值.試題解析：（）因?yàn)?故,所以,故.又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以.由題設(shè)得,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）.過點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時,其方程為,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問題【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組

11、成, .其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用.13.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個頂點(diǎn).（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)P是E上的動點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.（i）求證：點(diǎn)M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（）;（）（i）見解析；（ii）的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】試題分析：（）根據(jù)橢圓

12、的離心率和焦點(diǎn)求方程；（）（i）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ii）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：（）（i）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程得，由，得且，因此,將其代入得，因?yàn)?，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上.（ii）由（i）知直線方程為，令得，所以，又，所以，所以，令，則，當(dāng)，即時，取得最大值，此時，滿足，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3. 二次函數(shù)的圖象和性

13、質(zhì).14.【2015江蘇高考，18】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或【解析】試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個獨(dú)立條件即可：一是離心率為，二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得（2）因?yàn)橹本€AB過F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出

14、AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB長，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程.（2）當(dāng)軸時，又，不合題意當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標(biāo)為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而，故直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而因?yàn)?，所以，解得此時直線方程為或【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系差法”解決，往往會更簡單。15.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（）求橢

15、圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（）先化簡條件：，即M再OA中垂線上，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍試題解析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（2）（）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（）知，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.所以，直線的斜率

16、的取值范圍為.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程16.【2015高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.()求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).( i )求的值；（ii）求面積的最大值.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） .【解析】試題分析：（I）根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定的值，從而得到橢圓的方程；（II）（i）設(shè)，由題意知，然后利用這兩點(diǎn)分別在兩上橢圓上確定的值; （ii）設(shè)，利用方程組結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長，選將的面

17、積表示成關(guān)于的表達(dá)式，然后，令，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出的面積的最大值，并結(jié)合（i）的結(jié)果求出面積的最大值.試題解析：（I）由題意知，則 ,又可得 ,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（II）由（I）知橢圓E的方程為,（i）設(shè)，由題意知因?yàn)?又，即 ,所以，即 .所以因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為所以的面積令 ,將代入橢圓C的方程可得由，可得 由可知因此 ,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值由（i）知，面積為 ,所以面積的最大值為 .17.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢

18、圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先寫過點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進(jìn)而可得，再利用可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程試題解析：（I）過點(diǎn)，的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.解法二：由（I）知，橢圓的方程為. （2）因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由

19、，得，解得.故橢圓的方程為.考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.18.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先聯(lián)立和，可得，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個，再利用對稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個公共點(diǎn)

20、時，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍試題解析：（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故，因此（II）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點(diǎn)，滿足記直線，的斜率分別為，且，由（I）知，故因此，因?yàn)槭疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個公共點(diǎn)的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為考點(diǎn)：1、弦長；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率19.【2015高考新課標(biāo)2，理20】（本題滿分12分）已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過點(diǎn)，延長線段與交于

21、點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由【答案】()詳見解析；（）能，或【解析】()設(shè)直線，將代入得，故，于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個交點(diǎn)的充要條件是，由()得的方程為設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由得，即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即于是解得，因?yàn)?，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形【考點(diǎn)定位】1、弦的中點(diǎn)問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】()題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問題，故可以采取“點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：設(shè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方

22、程并作差，出現(xiàn)弦的中點(diǎn)和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（）根據(jù)()中結(jié)論，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)，利用以及直線過點(diǎn)列方程求的值20.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，（）當(dāng)時，求的面積；（）當(dāng)時，求的取值范圍【答案】（）；（）.【解析】試題解析：（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時，的方程為，.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（II）由題意，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得

23、，即.當(dāng)時上式不成立，因此.等價于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.21.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】（1）由已知，點(diǎn)在橢圓E上.因此，解得.所以橢圓的方程為.所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為.下面證明：對任意的直線，均

24、有.當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為.聯(lián)立得.其判別式，所以，.因此.易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.又，所以，即三點(diǎn)共線.所以.故存在與P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.22.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分）已知橢圓C：（）的離心率為，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)M，直線PB與軸交于點(diǎn)N.求證：為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，即，的面積為1，即，橢圓中列方程求解；（2）根據(jù)已知條件分別求出，的值，求其乘積為定值.所以橢圓的方程為.（2

25、）由（）知，設(shè)，則.當(dāng)時，直線的方程為.令，得.從而.直線的方程為.令，得.從而.所以.當(dāng)時，所以.綜上，為定值.考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.算。23.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分）已知橢圓E：的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個頂點(diǎn)，直線與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)T.（）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.【答案】（），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（）.【解析】試題分析：（）由橢圓兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個頂點(diǎn)可得，從而可得

26、，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個參數(shù)，再利用直線和橢圓只有一個公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，方程有兩個相等實(shí)根，解出b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）首先設(shè)出直線方程為，由兩直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，得，同時設(shè)交點(diǎn)，把方程與橢圓方程聯(lián)立后消去得的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得，再計(jì)算，比較可得值.試題解析：（I）由已知，即，所以，則橢圓E的方程為.由方程組得.方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓E的方程為.點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）.由方程組可得.方程的判別式為，由，解得.由得.所以，同理，所以.故存在常數(shù)，使得.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).24.【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右

27、焦點(diǎn)分別為過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若求橢圓的離心率【答案】（1）；（2）【解析】試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義可得長軸長，即參數(shù)的值，而由，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于的一個等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)，則，于是有，這樣在中求得，在中可建立關(guān)于的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此,從而由,知，因此【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問題，考查運(yùn)算求解能力25.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（II）設(shè)點(diǎn)C的坐