二次函數(shù)經(jīng)典解題技巧

1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課 題二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總匯教學(xué)目標(biāo)介紹一些些能加快速度的計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容3求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法（1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱(chēng)軸是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9.拋物線中，的作用 （1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，故：

2、時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則 .11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.12.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋

3、物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)

4、與沒(méi)有交點(diǎn). （6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（1）點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等 （2）點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于 （3）點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義如下圖，過(guò)反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。 ?？键c(diǎn)三、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x

5、=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的 2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間） 3、直線斜率： b為直線在y軸上的截距4、直線方程： 一般兩點(diǎn)斜截距 1，一般 一般 直線方程 ax+by+c=0 2，兩點(diǎn) 由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式: -最最常用，記牢 3，點(diǎn)斜 知道一點(diǎn)與斜率 4，斜截 斜截式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)斜截式: ykxb(k0) 5 ，截距 由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)截距式： 記牢可大幅提高運(yùn)算速度 5、 設(shè)兩條直線分別為，： ： 若，則有且。 若6、 點(diǎn)P（x0，y0

6、）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 對(duì)于點(diǎn)P（x0，y0）到直線滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距離有 常用記牢2、 如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1， 0）和點(diǎn)B（0，-5）（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得ABP的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）根據(jù)題意，得2分解得 3分二次函數(shù)的表達(dá)式為4分（2）令y=0，得二次函數(shù)的圖象與x軸 的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)C（5, 0）.5分由于P是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，連結(jié)AB，由于，要使ABP的周長(zhǎng)最小，只要最小.6分由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連結(jié)BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則= BP+PC

7、=BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得的最小值為BC.因而B(niǎo)C與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).8分設(shè)直線BC的解析式為，根據(jù)題意，可得解得所以直線BC的解析式為.9分因此直線BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，解得所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）.10分壓軸題中求最值此種題多分類(lèi)討論，求出函數(shù)關(guān)系式，再求各種情況的最值，最后求出最值。典型例題：1如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B90，BC6，AD3，DCB30.點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng).已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊EFG設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x0）.EFG的邊長(zhǎng)是_（用含有x的代數(shù)式表示

8、），當(dāng)x2時(shí)，點(diǎn)G的位置在_；若EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求當(dāng)0x2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)2x6時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；探求中得到的函數(shù)y在x取含何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值.B E F CA DG解： x，D點(diǎn) 當(dāng)0x2時(shí)，EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以yx2；分兩種情況：.當(dāng)2x3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，B E F CA DGNM圖1EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，F(xiàn)NCFCN30,FNFC62x.GN3x6.由于在RtNMG中，G60，所以，此時(shí) yx2（3x6）2.當(dāng)3x6時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，EFG與梯形

9、ABCD重疊部分為ECP，EC6x,y（6x）2.當(dāng)0x2時(shí)，yx2在x0時(shí)，y隨x增大而增大，B E C FA DGPH圖2x2時(shí)，y最大；當(dāng)2x3時(shí)，y在x時(shí)，y最大；當(dāng)3x6時(shí)，y在x6時(shí)，y隨x增大而減小，x3時(shí)，y最大.綜上所述：當(dāng)x時(shí)，y最大如圖，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線與AB交于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).（2）當(dāng)0t0時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)（4，）在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍.【參考公式：二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）.】解：（1）由題意，得解得C（3,）. （2）根據(jù)題意，得AE=t，OE=8-t. 點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為(8-t)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t， PQ= (8-t)-t=10