勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)解析

1、勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)解析1勻速圓周運(yùn)動(dòng)的定義(1)軌跡是圓周的運(yùn)動(dòng)叫圓周運(yùn)動(dòng)。(2)質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，如果在相同時(shí)間里通過(guò)的弧長(zhǎng)相等，這種運(yùn)動(dòng)叫勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的圓周運(yùn)動(dòng)形式，也是最基本的曲線運(yùn)動(dòng)之一。(4)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種理想化的運(yùn)動(dòng)形式。許多物體的運(yùn)動(dòng)接近這種運(yùn)動(dòng)，具有一定的實(shí)際意義。一般圓周運(yùn)動(dòng)，也可以取一段較短的時(shí)間(或弧長(zhǎng))看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2周期(1)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間。(2)周期用符號(hào)T表示，單位是秒。(3)周期是反映重復(fù)性運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)快慢的物理量。它從另一個(gè)角度描述了物體的運(yùn)動(dòng)。3線速度(1)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)的弧長(zhǎng)s跟通過(guò)這

2、段弧長(zhǎng)所用時(shí)間t的比值，叫運(yùn)動(dòng)物體線速度大小。線速度的方向?yàn)閳A周上某點(diǎn)的切線方向。(2)線速度的計(jì)算公式： (3)線速度的意義：線速度實(shí)質(zhì)上還是物體某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，雖然是用弧長(zhǎng)和時(shí)間的比定義了速度大小，但當(dāng)時(shí)間t趨于零時(shí)，弧長(zhǎng)和為區(qū)別角速度而取名為線速度。4角速度轉(zhuǎn)過(guò)這些角度所用時(shí)間t的比值，叫物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度。(2)角速度計(jì)算公式： (3)角速度單位為：弧度/秒(rad/s)。(4)角速度是矢量，方向?yàn)橛沂致菪▌t的大拇指的指向。(5)角速度是描述轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量。在描述轉(zhuǎn)動(dòng)效果時(shí)，它比用線速度描述更具有代表性。5向心加速度(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小不

3、變，速度的方向時(shí)刻在變，由于速度方向的變化，質(zhì)點(diǎn)一定具有加速度，該加速度反映速度方向變化的快慢，該加速度的方向沿著半徑指向圓心。設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿半徑是r的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻它處于A點(diǎn)，速度是vA，經(jīng)過(guò)很短時(shí)間t后，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，速度為vB。根據(jù)矢量合成的三角形法則可知，矢量vA與v之和等于vB，所以v是質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)的加速度。如圖4-20。時(shí)v便垂直于vA。而vA是圓的切線，故v是指向圓心的。即A點(diǎn)加速度指向圓心，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度又叫向心加速度。(2)向心加速度的大小從圖中看出，圖乙中的矢量三角形跟圖甲中的OAB是相似形。如果用v表示vA、vB大小，則或 a=2r (3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向

4、心加速度的大小不變，方向始終指向圓心，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng)。(4)上述加速度是勻速圓周運(yùn)動(dòng)情況下推導(dǎo)的，仍然適應(yīng)于一般圓周運(yùn)動(dòng)，式中的v、必須用瞬時(shí)值。6向心力及實(shí)例分析(1)使物體產(chǎn)生向心加速度的力叫向心力。向心力的來(lái)源：向心力不是接力的性質(zhì)命名的力，它是一種效果力。當(dāng)分析做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受力時(shí)，只能分析接力的性質(zhì)命名的力，決不能在分析場(chǎng)力、彈力、摩擦力的同時(shí)，再考慮向心力。向心力是物體所受各個(gè)力的合力。向心力的作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，即只能改變速度的方向，維持物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。向心力大小的計(jì)算公式：由牛頓第二定律：(2)實(shí)例分析做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，都需要向心力，向心力是

5、物體所受各種力的合力。例如，水平放在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的唱片上的物體，在隨唱片一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。物體所受的向心力是物體和唱片之間的靜摩擦力，如圖4-21所示。自行車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí)，做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力及地面給自行車的作用力提供，或者說(shuō)是地面給自行車的靜摩擦力提供，如圖4-22所示。7離心現(xiàn)象及應(yīng)用(1)離心運(yùn)動(dòng)。物體做圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力。質(zhì)量為m的物體以角速度沿半徑是r的圓周運(yùn)動(dòng)。若向心力為m2r，則物體維持圓周運(yùn)動(dòng)；若向心力小于m2r，則不足以將物體拉到圓周上，物體離圓心越來(lái)越遠(yuǎn)；若向心力突然消失，則物體由于慣性沿切線方向飛出。這種物體離圓心越來(lái)越遠(yuǎn)的現(xiàn)象叫離心現(xiàn)象。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

6、物體，在合外力突然消失或者合外力不足以提供所需的向心力時(shí)將做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫離心運(yùn)動(dòng)。(2)離心現(xiàn)象的應(yīng)用利用物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力不足時(shí)，做離心運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，可以做成離心機(jī)械，如脫水器，分離器等?！纠?】機(jī)械手表中的分針與秒針可視為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分針與秒針從重合至第二次重合，中間經(jīng)歷的時(shí)間為A1分鐘 B59/60分 C60/59分 D61/60分【分析思路】 解該題時(shí)，不少同學(xué)簡(jiǎn)單認(rèn)為只要秒針轉(zhuǎn)一圈，則分針與秒針就第二次重合，而忽視了在這段時(shí)間分針也要轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度?？紤]到分針和秒針的同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)诙沃睾蠒r(shí)，它們轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)相差2k?！窘忸}方法】 由公式=t求出時(shí)間t內(nèi)分針和秒針轉(zhuǎn)

7、過(guò)的角度，令兩角度之差為2，求解時(shí)間t?！窘忸}】 由于秒針每轉(zhuǎn)一周所用時(shí)間為1分鐘；分針轉(zhuǎn)一周所用時(shí)間為60分鐘。所以角速度分別為：設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩針再次重合，則1t-2t2選答案C。【例2】 在水平放置的可旋轉(zhuǎn)的平臺(tái)上面放一勁度系數(shù)為k，質(zhì)量可忽略不計(jì)的輕彈簧。它的一端固定在軸上，另一端拴一質(zhì)量為m的小物體A，這時(shí)彈簧沒有形變，長(zhǎng)為L(zhǎng)0，如圖所示。A與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，且設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。盤由靜止起轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度逐漸增大。(1)當(dāng)盤以某角速度0旋轉(zhuǎn)時(shí)，A相對(duì)盤面滑動(dòng)，求0。(2)當(dāng)角速度為1時(shí)，求A隨盤作圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑l1。(3)當(dāng)角速度由1減小時(shí)，物體能在半徑為L(zhǎng)1的原軌道

8、上作圓周運(yùn)動(dòng)，求這時(shí)角速度2?！痉治鏊悸贰咳鐖D所示。物體A隨盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心力由彈簧和靜摩擦力提供。靜摩擦力的大小隨著外界條件的變化而發(fā)生變化，方向隨著運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的不同而不同。當(dāng)較小時(shí)僅靜摩擦力足以提供向心力；隨著增大，向心力不足，則物體做離心運(yùn)動(dòng)，彈簧伸長(zhǎng)，產(chǎn)生彈力，合力提供向心力；當(dāng)再次減小時(shí)，首先由靜摩擦力減少，當(dāng)靜摩擦方向改變時(shí)，彈力才能再次發(fā)生變化?！窘忸}方法】對(duì)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體A按照不同情況，分析它所受的提供向心力的彈力和靜摩擦力的大小和方向。根據(jù)牛頓第二定律列出物體做圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的方程?！窘忸}】(1)當(dāng)盤以0旋轉(zhuǎn)時(shí)，A則要滑動(dòng)，彈簧沒有發(fā)生形變，向心力由靜摩擦力提供

9、，在A相對(duì)盤面將滑動(dòng)時(shí)為最大靜摩擦力fmax。在rL0處，A與盤相對(duì)靜止，隨盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度范圍為0(2)當(dāng)0時(shí)，A作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力增加，僅最大靜摩擦力已不夠，A沿半徑向外滑動(dòng)，使彈簧伸長(zhǎng)而產(chǎn)生彈力，彈力隨半徑的增大而增大。到1時(shí)，A增大到最大半徑L1隨盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)。由牛頓第二定律可列出：(3)在半徑為L(zhǎng)1，角速度減小時(shí)，靜摩擦力由最大值減為一般值。到=時(shí)，f=0，僅彈力提供向心力。由牛頓第二定律：k(L1-L0)=m2L1當(dāng)角速度再繼續(xù)減小時(shí)，彈力提供向心力已超過(guò)向心力，A有向圓心滑動(dòng)的趨勢(shì)，因而造成靜摩擦力的方向變成沿半徑向外。當(dāng)減小到最小時(shí)，靜摩擦力又達(dá)到最大值。記這時(shí)的=。由牛頓第二

10、定律：k(L1-L0)-mgm2L1把已求出的L1代入上式得：本題所求2?！纠?】 質(zhì)量為m的小球，系在細(xì)棍的一端，手握細(xì)棍的另一端使小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4-25所示。圓半徑30厘米，線速度為2.1米/秒，比較小球通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)細(xì)棍對(duì)球的拉力。(不計(jì)細(xì)棍質(zhì)量)【分析思路】由于桿作用于球上，所以球可以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分析清球在最高點(diǎn)及最低點(diǎn)受力，應(yīng)用向心力公式即可求解。應(yīng)當(dāng)泣意桿能提供各種方向的力?！窘忸}方法】對(duì)球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)受力進(jìn)行分析，假定桿給球的力的方向，按指向圓心方向?yàn)檎?，列牛頓第二定律方程求解?！窘忸}】小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，向心加速度向下，所以棍對(duì)小球的拉力TA和小球

11、受的重力mg的合力方向向下，有：TA+mg=mv2/R小球經(jīng)最低點(diǎn)B時(shí)，向心加速度的方向向上，所以棍對(duì)小球的拉力TB和小球受的重力的合力方向向上。由牛頓第二定律TB-mgmv2/R則TA/TB=4.9m/24.5m1/5下面對(duì)進(jìn)行討論：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的線速度增大時(shí)，由(1)(2)二式可知，TB、TA都要增大。在最低點(diǎn)B，當(dāng)小球線速度減小時(shí)，由式知TB減小，當(dāng)v接近于零時(shí)，棍在B點(diǎn)對(duì)小球的拉力接近于小球的重力。在最高點(diǎn)A點(diǎn)，當(dāng)v減小時(shí)，力提供向心力)，若小球運(yùn)動(dòng)的線速度繼續(xù)減小，由(2)式知TA為負(fù)值，這時(shí)棍給小球的力是向上的支持力。當(dāng)v減小到零時(shí)TA=-mg，即對(duì)細(xì)棍上的物體在豎直面內(nèi)做圓運(yùn)動(dòng)，運(yùn)

12、動(dòng)的速率是沒有要求的，可人為控制。而若用繩子代替細(xì)棍，繩對(duì)小球只能提供拉力，在小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)不可能給小球向上的力。這就是說(shuō)用繩子維持小球做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最內(nèi)除最高點(diǎn)和最低點(diǎn)合力方向沿繩指向圓心外，其余位置合力方向不是沿繩即沿半徑指向圓心，如圖4-26所示，合力的作用效果即改變速度的方向，又改變速度的大小，所以繩子維持小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)一定是變速圓周運(yùn)動(dòng)。【例4】一光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線間的夾角為=30，如圖4-27所示，一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)的繩(質(zhì)量不計(jì))，一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體(物體可視為質(zhì)點(diǎn))，物體以速率v繞圓錐體

13、的軸線做水平面內(nèi)的勻【分析思路】物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，當(dāng)角速度很小時(shí)，物體在圓錐體上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)增大，T、N都發(fā)生變化，且T增大，N減少，當(dāng)大到一定值時(shí)，物體將離開錐面做圓錐擺運(yùn)動(dòng)。顯然當(dāng)N=0時(shí)的線速度值為物體的臨界速度。通過(guò)比較已知速度與臨界速度的關(guān)系討論出物體所處的狀態(tài)，由物體的受力列出相應(yīng)的牛頓方程求解?！窘忸}方法】由物體的受力分析，令N0求出物體的臨界速度，比較臨界速度與v1、v2的關(guān)系，分清物體在不同情況下的受力，然后應(yīng)用牛頓定律求解?！窘忸}】如圖所示，設(shè)物體在圓錐體上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體受繩對(duì)它的拉力T，重力為G，錐面的支持力N。因?yàn)槲矬w

14、做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以三個(gè)力的合力必沿半徑指向圓心，是物體做圓運(yùn)動(dòng)的向心力。將三為沿水平方向與豎直方向分解，據(jù)牛頓第二定律：由式知，當(dāng)v增大時(shí)，所需的向心力Fx要增大，式中，m，r一定，只能使T增大，因同時(shí)要保證式成立，N將減小，當(dāng)v增大到某一值時(shí)，N減小為0，當(dāng)v繼續(xù)增大時(shí)，物體將離開錐面，r都變大，此時(shí)物體做圓錐擺運(yùn)動(dòng)。先求物體能在圓錐體上做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度vm，此時(shí)由兩式得：(1)因v1vm，物體在圓錐體上做圓運(yùn)動(dòng)滿足方程聯(lián)立得：(2)因v2vm，此時(shí)物體離開了圓錐體，擺線與軸線的夾角30，N=0。受力分析如圖4-29所示，滿足下列方程：將式代入得 T2mg【說(shuō)明】此題第二問(wèn)中學(xué)

15、生最易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是角度仍然使用，或半徑記為 RLsin。這點(diǎn)要引起注意?！纠?】 一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿可以繞通過(guò)其一端的水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿最初處于水平位置，桿上距O為a處放有小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))，桿與其上小物體最初均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖4-30所示，若此桿突然以角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)當(dāng)取什么值時(shí)，小物體與桿可能相碰？【分析思路】物體相遇的條件是在相同的時(shí)間內(nèi)物體的路程或位移相等。本題中是物體自由下落的位移與由于桿的轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的相同時(shí)間內(nèi)的桿的兩位置與B所在豎直線交點(diǎn)間的距離相等，從圖)中看出，此最大距離為BD長(zhǎng)，即atg1。物體做自由落體，起始速度較小，速度逐漸變大。而桿在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在相

16、同時(shí)間內(nèi)，BC大于自由落體高度，當(dāng)兩者相等時(shí)則相遇，相遇的最大距離為BD，即為的最大值。若再增大時(shí)，當(dāng)物體落至D點(diǎn)時(shí)，桿已轉(zhuǎn)過(guò)OD位置。則此時(shí)不可能相碰，但當(dāng)再增大時(shí)，即在物體沒有到達(dá)D之前桿可能再次轉(zhuǎn)入AOD區(qū)域。這種情況物體與桿也能相碰，這種情況相遇的最長(zhǎng)時(shí)間是在D點(diǎn)相遇，此時(shí)的為這種情況的最小值，只要大于該值均能在AOD區(qū)域內(nèi)相碰。如圖?！窘忸}方法】應(yīng)用自由落體求出物體下落到D點(diǎn)所用的時(shí)間，再由圓周運(yùn)動(dòng)求解出桿到OD所用的時(shí)間。相遇具有距離相等，同時(shí)還具有等時(shí)性?！窘忸}】小物體作自由落體運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t里下落BC=atg=此時(shí)A點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)角度=t，可見在不同的角度時(shí)相遇要有不同的值，小物體追上

17、桿的臨界情況是在D點(diǎn)相碰，所以有：消去時(shí)間t有：若很大時(shí)，即轉(zhuǎn)一圈后追上小物體并與小物體相碰，如圖4-31(b)所示。此為第二種情況相遇的最小角速度。故物體與桿相遇的條件是：1或2例6在一個(gè)水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有A、B、C三個(gè)物體，它們跟臺(tái)面間的摩擦因數(shù)相同A的質(zhì)量為2m，B、C各為mA、B離轉(zhuǎn)軸均為r，C為2r則 A若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，A、C的向心加速度比B大B若A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)未發(fā)生滑動(dòng)，B所受的靜摩擦力最小C當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，C最先發(fā)生滑動(dòng)D當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，A比B先滑動(dòng)分析 A、B、C三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它們的角速度都等于轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度，設(shè)為根據(jù)向心

18、加速度的公式an=2r，已知rA=rBrC，所以三物體向心加速度的大小關(guān)系為aA=aBaCA錯(cuò)三物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由轉(zhuǎn)臺(tái)的靜摩擦力提供向心力，即f=Fn=m2r，所以三物體受到的靜摩擦力的大小分別為fA=mA2rA=2m2r，fB=mB2rB=m2r，fC=mC2rC=m22r=2m2r即物體B所受靜摩擦力最小B正確由于轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體的靜摩擦力有一個(gè)最大值，設(shè)相互間摩擦因數(shù)為，靜摩擦力的最大值可認(rèn)為是fm=mg由fm=Fn，即 mg=m2mr，得不發(fā)生滑動(dòng)的最大角速度為 即離轉(zhuǎn)臺(tái)中心越遠(yuǎn)的物體，使它不發(fā)生滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的最大角速度越小由于rCrA=rB，所以當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速逐漸增加時(shí)，物體C最先發(fā)生滑動(dòng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加時(shí)，物體A、B將同時(shí)發(fā)生滑動(dòng)C正確，D錯(cuò)答 B、C例7如圖4-14光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B，相距l(xiāng)0=0.1m長(zhǎng)l=1m的柔軟細(xì)線一端拴在A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為500g的小球小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)把細(xì)線拉直，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在A、B上若細(xì)線能承受的最大張力Tm=7N，則從開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂歷時(shí)多長(zhǎng)？分析 小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大