線段之和最短問題

1、線段之和最短問題一 常見數(shù)學(xué)模型：1.如圖，直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。2.如圖，直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。3. 如圖，直線l1和l2的異側(cè)兩點A、B，分別在直線l1、l2上求作一點P、Q兩點，使AP+PQ+QB最小。4. 如圖，直線l1的同側(cè)兩點A、B，分別在直線l1上求作一點P、Q兩點，且PQ=a，使AP+PQ+QB最小。5.如圖，點P是MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B使PAB的周長最小。6.如圖，點P，Q為MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。為方便歸類，將這

2、種情況稱為“兩點之間線段最短型”5.如圖，點A是MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小6. .如圖，點A是MON內(nèi)的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小為方便歸類，將以上兩種情況，稱為“垂線段最短型”練習(xí)題1在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當(dāng)n =_時，AC + BC的值最小2如圖，護(hù)城河在CC處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD，EE，設(shè)護(hù)城河是東西南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設(shè)計兩座橋梁DD，EE的位置，使由A地經(jīng)過兩座橋梁

3、后到B地的路程最短？最短路程是多少？3如圖AOB = 45，P是AOB內(nèi)一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值4如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為_。5如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示ACCE的長；(2)請問點C滿足什么條件時，ACCE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式+錯誤！未定義書簽。的最小值6桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長1

4、8厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。7著名的恩施大峽谷和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路x同側(cè)，、到直線x的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，到直線y的距離為，請你在x旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值8如圖，在銳角ABC中，AB = ，BAC45，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB

5、上的動點，則BM+MN的最小值是_9如圖，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值 10如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM 求證：AMBENB； 當(dāng)M點在何處時，AMCM的值最?。划?dāng)M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.參考答案1在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當(dāng)n =_時，AC + BC的值最小點C（1，n），說明點C在直線

6、x=1上，所以作點A關(guān)于直線x=1的對稱點A，連接AB，交直線x=1于點C，則AC+BC的值最小設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b 2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)當(dāng)x = 1時，y = -(2/5)故當(dāng)n = -(2/5)時，AC+BC的值最小2如圖，護(hù)城河在CC處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD，EE，設(shè)護(hù)城河是東西南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設(shè)計兩座橋梁DD，EE的位置，使由A地經(jīng)過兩座橋梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如圖，作BBa，A

7、A b，且BB = 4，AA = 4，連接AB，交河岸于點E，D，分別過點E、D架設(shè)橋梁DD，EE，則ADDEEB是最短路線。因為四邊形ADDA、四邊形BEEB都是平行四邊形，所以BE = BE，AD = AD，因為A，B之間線段最短，所以ADDEEB是最短路線，又BF = 64，AF = 84，所以BF = 60，AF = 80，在直角三角形ABF中，由勾股定理得，AB = 100，最短路線為108米3如圖AOB = 45，P是AOB內(nèi)一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA、OB于點Q，R，連

8、接OP1，OP2，則OP = OP1 = OP2 = 10 且P1OP2 = 90由勾股定理得P1P2 = 104如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為_。即是在直線AB上作一點E，使EC+ED最小作點C關(guān)于直線AB的對稱點C，連接DC交AB于點E，則線段DC的長就是EC+ED的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC=5如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示ACCE的長；(2)請問點C滿足什么條件

9、時，ACCE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式+錯誤！未定義書簽。的最小值(1)AC = ，CE = 則AC+CE = + (2)A、C、E三點共線時AC+CE最小連接AE，交BD于點C，則AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右圖，AE的長就是這個代數(shù)式的最小值在直角AEF中,AF = 5 EF = 12 根據(jù)勾股定理 AE = 13（3）求代數(shù)式（0x4）的最小值如右圖，AE的長就是這個代數(shù)式的最小值在直角AEF中AF = 3 EF = 4則AE = 5所以，這個代數(shù)式的最小值是56桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離

10、杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作A點關(guān)于杯口的對稱點A。則BA=15厘米7著名的恩施大峽谷和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值分別作點A、B關(guān)于x軸、y軸的對稱點A，B，連接AB，交x軸、

11、y軸于點P、Q，則四邊形PABQ的周長最小構(gòu)造如圖在RtABC中，BC = 30+30+40 = 100， AC = 10 +40 =50所以AB = =508如圖，在銳角ABC中，AB = ，BAC45，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是_作點B關(guān)于AD的對稱點B，過點B作BEAB于點E，交AD于點F，則線段BE的長就是BM的最小值在等腰RtAEB中，根據(jù)勾股定理得到，BE = 49如圖，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值 作AB關(guān)于AC的對稱線段AB，過點B作BNAB，垂足為N

12、，交AC于點M，則BN = MB+MN = MB+MNBN的長就是MB+MN的最小值則BAN = 2BAC= 60，AB = AB = 2，ANB= 90，B = 30。所以AN = 1在直角ABN中，根據(jù)勾股定理BN = 10如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM 求證：AMBENB； 當(dāng)M點在何處時，AMCM的值最?。划?dāng)M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.(2)連接AC，交BD于點M，則AM+CM的值最小連接CE交BD于點M，則AM+BM+