高中數學解題思想方法全部內容

1、目 錄前言 2第一章 高中數學解題基本方法 3一、 配方法 3 二、 換元法 7三、 待定系數法 14四、 定義法 19五、 數學歸納法 23六、 參數法 28七、 反證法 32八、 消去法 九、 分析與綜合法 十、 特殊與一般法 十一、 類比與歸納法 十二、 觀察與實驗法 第二章 高中數學常用的數學思想 35一、 數形結合思想 35二、 分類討論思想 41三、 函數與方程思想 47四、 轉化（化歸）思想 54第三章 高考熱點問題和解題策略 59一、 應用問題 59二、 探索性問題 65三、 選擇題解答策略 71四、 填空題解答策略 77附錄 一、 高考數學試卷分析 二、 兩套高考模擬試卷 三

2、、 參考答案 前 言美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法。我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個方面對數學思想方法進行考查： 常用數學方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法等； 數學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、

3、演繹法等； 數學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等。數學思想方法與數學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數學思想方法則是一種數學意識，只能夠領會和運用，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決，掌握數學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數學知識忘記了，數學思想方法也還是對你起作用。數學思想方法中，數學基本方法是數學思想的體現，是數學的行為，具有模式化與可操

4、作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數學思想是數學的靈魂，它與數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得?？梢哉f，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”。為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數學基本方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想。最后談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點

5、問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的內容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現。再現性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數學知識。編者：東升高中 高建彪fggjb163.ne一章 高中數學解題基本方法一、 配方法配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用

6、“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(ab)a2abb，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結合其它數學知識和性質，相應有另外的一

7、些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。、再現性題組：1. 在正項等比數列a中，asa+2asa+aa=25，則 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1，則sincos的值為_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函數ylog (2x5x3)的單調遞增區(qū)間是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點P(x,x)在圓x+y=4上，則實數a_。【簡解】 1小題：利用

8、等比數列性質aaa，將已知等式左邊后配方（aa）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標準方程形式(xa)(yb)r，解r0即可，選B。 3小題：已知等式經配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對稱軸，結合定義域和對數函數及復合函數的單調性求解。選D。5小題：答案3。、示范性題組：例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉換為數學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合

9、形式可得。【解】設長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。長方體所求對角線長為：5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發(fā)現使用配方法將三個數學式進行聯系，即聯系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設方程xkx2=0的兩實根為p、q，若()+()7成立，求實數k的取值范圍?！窘狻糠匠蘹kx2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實根， k80即k2或k2綜合起來，k的

10、取值范圍是：k 或者 k?！咀ⅰ?關于實系數一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結構特征聯想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對“”討論，結果將出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對“”的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。例3. 設非零復數a、b滿足aabb=0，求()() ?！痉治觥?對已知式可以聯想：變形為()()10，則 （為1的立方虛根）；或配方為(ab)ab 。則代入所求式即得?！窘狻坑蒩abb=0變形得：()()10 ，設，則10，可知為1

11、的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 ?！咀ⅰ?本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用的性質，計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯想和展開。【另解】由aabb0變形得：()()10 ，解出后，化成三角形式，代入所求表達式的變形式()()后，完成后面的運算。此方法用于只是未聯想到時進行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由aabb0解出：ab，直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復數的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。、鞏固性題組：1. 函數y(xa)(xb) （

12、a、b為常數）的最小值為_。A. 8 B. C. D.最小值不存在2. 、是方程x2axa60的兩實根，則(-1) +(-1)的最小值是_。A. B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知x、yR，且滿足x3y10，則函數t28有_。A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值4. 橢圓x2ax3ya60的一個焦點在直線xy40上，則a_。A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或65. 化簡：2的結果是_。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 設F和F為雙曲線y1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足FPF90，則FPF的面積是_

13、。7. 若x1，則f(x)x2x的最小值為_。8. 已知，cos(-)，sin(+)，求sin2的值。(92年高考題)9. 設二次函數f(x)AxBxC，給定m、n（m0； 是否存在一個實數t，使當t(m+t,n-t)時，f(x)1，t1，mR，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs), 將y表示為x的函數yf(x)，并求出f(x)的定義域； 若關于x的方程f(x)0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。二、換元法解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，

14、將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現。例如解不等式：4220，先變形為設2t（

15、t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖捣匠痰膯栴}。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數y的值域時，易發(fā)現x0,1，設xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（r0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如

16、上幾例中的t0和0,。、再現性題組：1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2.設f(x1)log(4x) （a1），則f(x)的值域是_。3.已知數列a中，a1，aaaa，則數列通項a_。4.設實數x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) log(22)2的解集是_。【簡解】1小題：設sinx+cosxt,，則yt，對稱軸t1，當t，y；2小題：設x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域為(,log4；3小題：已知變形為1,設b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設xyk，則x2kx10, 4k4

17、0,所以k1或k1；5小題：設3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設log(21)y，則y(y1)2，解得2y0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。【解】 設sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx f(x)g(t)(t2a) （a0），t-,t-時，取最小值：2a2a當2a時，t，取最大值：2a2a ；當00恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項有何聯系？進行對數式的有關變形后不難發(fā)現，再實施換元法?！窘狻?設logt，則loglog3log3l

18、og3t，log2log2t，代入后原不等式簡化為（3t）x2tx2t0，它對一切實數x恒成立，所以：，解得 t0即log001，解得0a0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑梢阎獥l件1，可以發(fā)現它與ab1有相似之處，于是實施三角換元。【解】由1，設cos，sin，即： 代入不等式xyk0得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數形結合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式axbyc0 (a0)所表示的區(qū)域為直線axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上xyk0的區(qū)

19、域。即當直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時。當直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數解，消元后由0可求得k3,所以k0)，則f(4)的值為_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數y(x1)2的單調增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設等差數列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范圍是_。6. 不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。7. 函數y2x的值域是_。8. 在

20、等比數列a中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D C A B O x9. 實數m在什么范圍內取值，對任意實數x，不等式sinx2mcosx4m10,y0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數法要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入

21、一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。使用待定系數法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式；第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對應系數相等列方程； 由恒等的概念用數值代入法列方程； 利

22、用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。、再現性題組：1. 設f(x)m，f(x)的反函數f(x)nx5，那么m、n的值依次為_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx20的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數是_。A.

23、297 B.252 C. 297 D. 2074. 函數yabcos3x (b0，7x0，x0。設V(15aax)(7bbx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，則解得：a， b ， x3 。 從而V()(x)x()27576。所以當x3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm?！咀ⅰ烤挡坏仁綉脮r要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數，可以用“待定系數法”求。本題解答中也可以令V(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數，本題也體現了“湊配法”和“函數思想”。、鞏固性題組：1. 函數ylogx

24、的x2,+)上恒有|y|1，則a的取值范圍是_。A. 2a且a1 B. 0a或1a2 C. 1a2或0a2. 方程xpxq0與xqxp0只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為_。A. 1 B. 1 C. pq D. 無法確定 3. 如果函數ysin2xacos2x的圖像關于直線x對稱，那么a_。A. B. C. 1 D. 14. 滿足C1C2CnC500的最大正整數是_。A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無窮等比數列a的前n項和為Sa , 則所有項的和等于_。A. B. 1 C. D.與a有關6. (1kx)bbxbxbx，若bbbb1，則k_。7. 經過兩直線11x3y90與12x

25、y190的交點，且過點(3,-2)的直線方程為_。 8. 正三棱錐底面邊長為2，側棱和底面所成角為60，過底面一邊作截面，使其與底面成30角，則截面面積為_。9. 設yf(x)是一次函數，已知f(8)15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數列，求f(1)f(2)f(m)的值。10. 設拋物線經過兩點(-1,6)和(-1,-2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y2x7和拋物線截得的線段長是4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數學定義解題。數學中的定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概

26、念。定義是千百次實踐后的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。、再現性題組：1. 已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，AB的元素個數為n，則_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 設MP、OM、AT分別是46角的正弦線、余弦線和正切線，則_。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP3. 復數za2，z2，如果|z| |z|，則實數a的取值范圍是_。A. 1a1 C. a0 D. a14. 橢圓1上有一點P，它到左準線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_。A. 8 C. 7.5 C. D. 35. 奇函數f(x)的最小正周期為T，則f()的值為_。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺的側棱與底面成45角，則其側面與底面所成角的正切值為_。【簡解】1小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復數模的定義得0得：0x1設xx， x+x (x+x)( x+x)1 f(x)f(x)0即f(x)在(,1)上是減函數 0的解集是(1,2