1.1.2余弦定理

1、.1.1.2 余弦定理.知識(shí)歸納 1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的2倍，即： 2.理解定理：從余弦定理的三個(gè)等式中，可得到它的變形，即余弦定理的推論： 由余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角；由此可知，余弦定理可以看作勾股定理的推廣。余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具。在一個(gè)三角形中，如果知道了兩邊及其夾角的值，由余弦定理就可以求出

2、第三邊。余弦定理的每一個(gè)等式中包含四個(gè)不同的量，他們分別是三角形的三邊和一個(gè)角，知道其中三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量。由余弦定理的結(jié)構(gòu)可知，應(yīng)用余弦定理，我們可以利用已知的兩邊和夾角，計(jì)算出三角形的第三邊，在結(jié)合三角形的正弦定理及內(nèi)角和定理，可求出其他的角，即已知兩邊和他們的夾角，可求第三邊和其他兩個(gè)角。由余弦定理的推論可知，利用三角形的三邊可以計(jì)算出三角形的三個(gè)角。余弦定理的推導(dǎo)應(yīng)牢牢抓住勾股定理：，并依此為思考線索得出結(jié)論。（推導(dǎo)過程見課本）重難點(diǎn)知識(shí)講解1余弦定理證明的其他方法(1)用坐標(biāo)法證明余弦定理如圖：以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0，0)、B(c，0)、C(b

3、cosA，bsinA)，由兩點(diǎn)間距離公式得BC2b2cos2A2bccosAc2b2sin2A，即a2b2c22bccosA同理可證：b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC(2)用勾股定理證明余弦定理當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，ADbsinC，BDBCCDabcosC在RtABD中，根據(jù)勾股定理AB2AD2BD2,所以c2(bsinC) 2(abcosC) 2整理得c2a2b22abcosC.當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，如圖ADbsinC，BDCDBCbcosCa，在RtABD中，根據(jù)勾股定理，有AB2AD2BD2，即c2(bsinC) 2(bcosCa) 2，整理得c2a2b2

4、2abcosC同理可證：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB2余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系(1)對(duì)于余弦定理c2a2b22abcosC中，若C90，則c2a2b2，此即為勾股定理，也就是說勾股定理是余弦定理的特殊情況(2)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，也是解三角形的重要工具在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一余弦定理也為求三角形的有關(guān)量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓等)提供了工具，它可以用來判定三角形的形狀，證明三角形中的有關(guān)等式，在一定程度上，它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛特別提示：在利用余弦定理求三角形的邊長時(shí)容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理

5、中涉及的是邊長的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時(shí)需特別注意三角形三邊長度所應(yīng)滿足的基本條件3解三角形問題的類型解三角形的問題可以分為以下四類：(1)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形此種情況的基本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對(duì)的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再用正弦定理求出第三邊，注意判斷解的個(gè)數(shù)(2)已知三角形的兩角和任一邊，解三角形此種情況的基本解法是若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求第三邊若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊(3)已知兩邊和它們的夾角，解三角

6、形 此種情況的基本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角 (4)已知三角形的三邊，解三角形 此種情況的基本解法是先用余弦定理求出一個(gè)角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個(gè)角，最后用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個(gè)角 要解三角形，必須已知三角形的一邊的長若已知條件中一條邊的長也不給出，三角形可以是任意的，因此無法求解.例題分析題型一 余弦定理的簡單運(yùn)用例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos= 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又 ，即 評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。題型二 余弦定理的綜合運(yùn)用例2. 解：，

7、即題型三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3如圖，在四邊形ABCD中，BCa，DC2a，四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D的度數(shù)之比為3 ：7 ：4 ：10，求AB的長 【點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息： BCa，DC2a； 四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D度數(shù)之比為3：7：4：10 解答本題可先由四個(gè)內(nèi)角之比及四邊形內(nèi)角和為360得到四個(gè)內(nèi)角的大小，在BCD中用余弦定理求BD，再在ABD中用正弦定理求AB 【解析】設(shè)四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D的大小為3x、7x、10x、10x(x0)， 由四邊形內(nèi)角和為360可得， 3x7x4x10x360，x15， 即A45，B105，C60，D150 連接BD，在BCD中，由余弦定理得，

8、 BD2a2(2a) 22a2acos603a2， BDa 此時(shí)，CD2BC2BD2，且BCCD， BCD為直角三角形，且BDC30， ADB15030120 在ABD中， ， ABa 【規(guī)律方法】在多邊形的計(jì)算中需構(gòu)造三角形解決，應(yīng)恰當(dāng)?shù)貙⒍噙呅畏纸鉃閹讉€(gè)三角形，通過作輔助線轉(zhuǎn)化為三角形中的問題，并根據(jù)給出條件選擇余弦定理或正弦定理求解本題中求ADB的度數(shù)是關(guān)鍵，要善于挖掘隱含條件BC2BD2CD2也可通過余弦定理求出BDC的度數(shù). 課時(shí)小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。練習(xí):一、 選擇題1在ABC中，則角為（） 在ABC中，已知，邊上的中線，則sin的值為（） 在ABC中，若，并有sinAsinBcosC,那么ABC是（）直角三角形 等邊三角形 等腰三角形等腰直角三角形二、填空題ABC中，ABC，則_5. 在ABC中，已知,ABC,則_三、解答題6在ABC中